立体几何：轨迹问题、新定义问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

立体几何：轨迹问题、新定义问题专项训练 立体几何：轨迹问题、新定义问题专项训练 考点一 立体几何中的轨迹问题 1．（24-25高二下·北京·开学考试）在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 2．（24-25高二上·北京西城·期末）在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（   ） A．椭圆的一部分 B．线段 C．圆的一部分 D．抛物线的一部分 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）在直四棱柱中，底面为菱形且，，，．平面过点、且与平行，点在平面上且满足，则点的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线一部分 D．抛物线一部分 4．（2025·广东广州·模拟预测·多选）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（   ） A．满足平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度小于 C．存在点P满足 D．存在点P满足 5．（24-25高三下·山西·开学考试·多选）在直三棱柱中，，，，分别为棱，的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为，则（   ） A．存在一半径为的球，使得三棱柱的所有顶点都在该球面上 B．存在一半径为2的球与三棱柱的所有侧棱相切，与上、下底面也相切 C．的中点在以为球心，半径为的球面上 D．点的轨迹长为 6．（2025·广东佛山·模拟预测·多选）已知在正三棱柱中，，分别为棱，，的中点，动点在侧面内，动点在底面内，则（    ） A．平面 B．沿该三棱柱的表面从点M到达点B的最短路径的长为 C．若点P在线段上（点P与点H不重合），则 D．若点P在线段上，且，则线段中点的轨迹所形成图形的面积为 7．（2025·山西临汾·一模·多选）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（   ） A．的最小值为 B．动点在面内运动轨迹的长度为 C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分 D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4 8．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试·多选）如图所示，已知正三棱锥底面边长为m，侧棱长为n，分别为的中点，连接，则下列说法正确的是（    ）    A．四边形EFGH为矩形 B．向量不共面 C．点P在内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分 D．若侧棱长，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为 9．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）在正方体中，棱长为6，点在棱上，，为的中点，若动点在平面内运动，且满足，则点的轨迹所形成的面积为 ；三棱锥体积的最大值为 . 10．（24-25高三下·山西·开学考试）正方体的棱长为2，则以的中点为球心，为半径的球与侧面相交，则交线（在正方形内部）的长度为 ． 11．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 12．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 13．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，已知直三棱柱.将此直三棱柱绕直线旋转一周.设直线旋转后所得的图形与平面的交线为旋转后所得的图形与平面的交点为（在的左边）. (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出的轨迹方程； (2)为平面上一点，且，过的直线交于两点，（在直线的右侧）分别为的中点. ①若直线的斜率存在，分别为，证明：为定值； ②若为的中点，试问：的外接圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 考点二 立体几何新定义问题 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 2．（24-25高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 4．（24-25高三上·湖北·阶段练习）三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 5．（24-25高二上·福建泉州·期中）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 6．（23-24高一下·重庆·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：轨迹问题、新定义问题专项训练 立体几何：轨迹问题、新定义问题专项训练 考点一 立体几何中的轨迹问题 1．（24-25高二下·北京·开学考试）在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 【答案】B 【详解】 如图建系，设正方体边长为，则， 可得， 又因为，所以， 化简得，即得， 动点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：B. 2．（24-25高二上·北京西城·期末）在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（   ） A．椭圆的一部分 B．线段 C．圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、，设点， ，， ， 化简得， 所以，动点的轨迹方程为抛物线的一部分. 故选：D. 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）在直四棱柱中，底面为菱形且，，，．平面过点、且与平行，点在平面上且满足，则点的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线一部分 D．抛物线一部分 【答案】B 【详解】在直四棱柱中，因为底面为菱形，， 且，所以， 由余弦定理得， 所以，又因为，所以， 因为，又因为， 点在为旋转轴，为半径的圆锥的侧面上， 因为平面过点、且与平行，点在平面上， 所以点的轨迹为平面与圆锥的侧面的交线上， 由于，所以平面不与圆锥垂直， 所以点的轨迹为椭圆. 故选：B． 4．（2025·广东广州·模拟预测·多选）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（   ） A．满足平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度小于 C．存在点P满足 D．存在点P满足 【答案】AC 【详解】对A：如图： 取中点，中点，连接，则易证平面平面，此时平面， 故平面时，点的轨迹为线段. 因为正方体棱长为2，所以，故A正确； 对B：如图： 因为，且，所以，此时点轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，易得分别为，中点， 所以，故劣弧的长度大于，故B错误； 对C：如图： 当为正方形中心时，，，， 所以，所以，故C正确； 对D：如图： 做点关于平面的对称点，则在直线上，且，连接， 则，且.故D错误. 故选：AC 5．（24-25高三下·山西·开学考试·多选）在直三棱柱中，，，，分别为棱，的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为，则（   ） A．存在一半径为的球，使得三棱柱的所有顶点都在该球面上 B．存在一半径为2的球与三棱柱的所有侧棱相切，与上、下底面也相切 C．的中点在以为球心，半径为的球面上 D．点的轨迹长为 【答案】BC 【详解】对于A，在直三棱柱中，，则， 的外接圆半径为，三棱柱的外接球半径，A错误； 对于B，分别是的中点，则以的中点为球心，2为半径的球， 球心到三条侧棱的距离都等于2，且到上下底面距离也都为2，满足题意，B正确； 对于C，，令的中点为，在直角中，， 即的中点在以为球心，半径为的球面上，C正确； 对于D，平面，则平面， 而平面，则，且点在上，则， ，，在直角中，， 则点在以为圆心，半径为的圆上，当点与重合时，点与重合， 点为的中点；当点与重合时，点为中点， 而四边形为正方形，则，因此点的轨迹所对圆角为，轨迹长为，D错误． 故选：BC 6．（2025·广东佛山·模拟预测·多选）已知在正三棱柱中，，分别为棱，，的中点，动点在侧面内，动点在底面内，则（    ） A．平面 B．沿该三棱柱的表面从点M到达点B的最短路径的长为 C．若点P在线段上（点P与点H不重合），则 D．若点P在线段上，且，则线段中点的轨迹所形成图形的面积为 【答案】AB 【详解】对于A，如图所示，因为分别为，AC的中点， 所以，，则四边形是平行四边形，得到， 又平面，平面，即平面，故A正确； 对于B，将底面与侧面沿棱旋转展平， 如图，作，结合等边三角形性质得，， 由勾股定理得； 将侧面与侧面沿棱旋转展平，如图，作， 易得，， 由勾股定理得， 因为，所以沿该三棱柱的表面从点 到达点的最短路径的长为，故B正确； 对于C，如图，分别取，的中点，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形， 则，因为正三棱柱中平面，且面， 所以，故，若，则， 又，且面，则平面， 而面，则，因为O为的中点，所以， 与，矛盾，故C错误； 对于D，因为底面，面，所以， 如图，设的中点为，由，可得， 又，所以的轨迹所形成的图形的面积小于 以为球心，以1为半径的球面的，即，故D错误． 故选：AB 7．（2025·山西临汾·一模·多选）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（   ） A．的最小值为 B．动点在面内运动轨迹的长度为 C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分 D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4 【答案】BD 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设关于平面的对称点为，则， 所以，解得，所以， 又点，点到平面的距离相等，所以， 所以，解得或（舍去），所以， 所以，故A错误； 因为平面，若动点在平面内时，则， 又，则，可得的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧， 且在四边形的圆弧是圆的， 所以动点在面内运动轨迹的长度为，故B正确； 动点的轨迹是以为轴，为顶点的圆锥在正方体内的部分， 底面半径为， 易得，又平面，平面，所以平面， 又是圆锥的母线，所以平面与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误； 设正四面体的底面正三角形的中心为， 由正四面体的性质可得平面， 由正弦定理可得， 所以正四面体的高为， 设正四面体的内切球的半径为， 则，所以， 设半径是的球的内接正四面体的边长为，则可将内接正四面体补形成边长为 的正方体， 则，解得， 在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确． 故选：BD. 8．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试·多选）如图所示，已知正三棱锥底面边长为m，侧棱长为n，分别为的中点，连接，则下列说法正确的是（    ）    A．四边形EFGH为矩形 B．向量不共面 C．点P在内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分 D．若侧棱长，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为 【答案】ACD 【详解】解：对于A，分别为的中点， 根据中位线定理得， ，所以四边形为平行四边形， 取中点，连接，    正三棱锥，得， 得平面， 平面，平面， ，又，，四边形EFGH为矩形，A正确； 对于B，四边形为矩形，， 向量可以由向量线性表示，向量 共面，B错误； 对于C，点P在内，过点P作底面，底面BCD，则， 过点P作，连接， 平面，所以平面，平面，得，    所以为二面角的平面角， 当确定时，二面角的平面角是定值，， 点P到点A距离与到底面距离相等， 定值，且， 根据椭圆第二定义，到定点A和到定直线BC的距离比为定值的点的轨迹为椭圆正确； 对于D，若侧棱长，正三棱锥为正四面体，设， 以中点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：    ， 设平面的法向量， ，解得其中一个解为， 法向量，，D正确. 故选： 9．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）在正方体中，棱长为6，点在棱上，，为的中点，若动点在平面内运动，且满足，则点的轨迹所形成的面积为 ；三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由点在平面内，设，由， 得，化简得， 因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为； 在正方体中，，， ，设平面的一个法向量， 则，取，得，， 到平面的距离为，而， 因此点到平面的距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：； 10．（24-25高三下·山西·开学考试）正方体的棱长为2，则以的中点为球心，为半径的球与侧面相交，则交线（在正方形内部）的长度为 ． 【答案】/ 【详解】如图：作，垂足为E，则平面， 设为球心，为半径的球与相交于， 则， 即以的中点为球心，为半径的球与侧面相交， 交线为以E为圆心，2为半径的圆弧（如图示）， 在中，，同理，则， 所以交线的长度． 故答案为：． 11．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，分别为，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，则， 整理可得，即点的轨迹方程为， 令，则；令，则； 可知点的轨迹即为点与两点之间的线段， 所以轨迹长度为. 故答案为：. 12．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 / 【详解】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为. 建系如图，设，则. . 令， . 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. （法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大， 由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大， 则P在点M处时，取得最小值，此时， 则P在点N处时，取得最大值，此时， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 13．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，已知直三棱柱.将此直三棱柱绕直线旋转一周.设直线旋转后所得的图形与平面的交线为旋转后所得的图形与平面的交点为（在的左边）. (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出的轨迹方程； (2)为平面上一点，且，过的直线交于两点，（在直线的右侧）分别为的中点. ①若直线的斜率存在，分别为，证明：为定值； ②若为的中点，试问：的外接圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②是，定点为. 【详解】（1）由题设直线与直线为异面直线，且是它们的公垂线， 所以直线旋转后所得的图形是中间细两头粗的旋转体，直线是轴， 由此想象知，直线旋转后所得的图形与平面的交线为为双曲线， 且，过点，令，可得， 所以； （2）①由，且，则，可设，且， 令，则，故， 所以， 联立与，得，整理得，显然， 所以，，则，， 综上，为定值，得证； ②令、，且，则， 结合题设及图知 ， 令，即的斜率分别为， 则， 结合题设及图知 ， 显然，则，又为平行四边形，则， 所以，即共圆，故的外接圆过定点. 若时，，则，，其中点，， 此时中垂线为，而中垂线为， 则它们的交点，即为外接圆的圆心，半径为，故圆为，显然过原点； 若时，，联立，得，整理得， 由图，得，，则，， 此时，，， ，故中垂线为， ，故中垂线为， 联立直线方程得，圆心为，显然与时圆心横纵坐标都不相同，不可能有第二个定点， 综上，的外接圆过定点. 考点二 立体几何新定义问题 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 【答案】(1)（i）2；（ii）证明见解析； (2). 【详解】（1）（i），则. （ii）当时，设直线上任意一点， 因此； 当时，设，， 因此； 当时，同理， 所以. （2）设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 2．（24-25高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由直线的点方向式方程为可知直线的一个方向向量坐标为 由平面的一般式方程为可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）由平面可知平面的一个法向量为， 由平面可知平面的一个法向量为， 设两平面交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 因为，即，且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得， 即， 故平面与平面夹角的余弦值为 ． 3．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)①答案见解析；②； (3)证明见解析， 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3） ， 由题意知点到平面的距离为， 4．（24-25高三上·湖北·阶段练习）三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接， 即为斜线与平面所成角， 即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角， ，，， 又，，，平面， 平面， 平面，， 根据几何关系可得，， ． （2）取中点为，连接，，，，易知， ，． 又，，，平面，平面， 平面， 平面平面， 直线在平面上的射影必在交线上， 直线与底面所成角为， ，， 由三余弦定理得，得， ， 即直线与底面所成角的正弦值为． （3）证明：设，，，，，，直线与底面所成角为，直线在底面投影与AB夹角为，在底面投影与AC夹角． 由平行六面体的对称性，不妨令，， 由三余弦定理， 则. 由题意得， ， ， ， 由，可得： 则 ， 当且仅当且时等号成立． 5．（24-25高二上·福建泉州·期中）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)2 (2)①；② 【详解】（1）根据离散曲率的定义得， ，， ， 所以 （2）①因为平面，平面， 所以，且，，平面, 所以平面，平面, 所以， 所以， 所以，所以， 如图，将三棱锥补成正方体， 因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角， 而是等边三角形，所以，， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，，，， 所以,， 设，，， 在中，， 又，所以， 所以， 所以， 解得：或（舍） 故. 6．（23-24高一下·重庆·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②， 【详解】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）①由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②由AD是球的直径，则， 且，，平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD，则， 且，平面ABC，可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以， 不妨先令，则， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 可得，， 则， 设平面OBC法向量，则， 取，则，可得， 设平面EST法向量，则， 取，则，可得， 要使sinθ取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等． 则取最大值，为最小值， 此时点，可得，， 设平面AEC中的法向量，则， 取，则，可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$