第一章：03 第三讲代数式、整式及其运算（含因式分解）--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

第三讲 代数式、整式及其运算（含因式分解） 教材知识 中考考点 课标要求 代数式 1.列代数式 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 2.代数式求值 会把具体数代入代数式进行计算 整式及其运算 3.整式的加减 了解整数指数幂的意义和基本性质； 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算； 理解乘法公式，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理 4.幂的运算 5.整式的乘除 6.整式的混合运算 因式分解 7.因式分解 能用提公因式法、公式法等进行因式分解 命题点1 代数式的意义、列代数式及代数式求值 （一）、代数式 1、代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子．例．特别地，单独一个数或一个字母也是代数式． 【要点解读】 列出的代数式化为最简后，若最后一步是加、减时，有单位必须将代数式用括号括起来再加单位． 2、代数式的值：用具体数值代替式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果． 3、代数式求值的一般方法： （1）直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，并按原来的运算顺序计算求值； （2）整体代入法：①观察已知条件和所求代数式； ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，过程中一般会用的因式分解、乘法公式等； ③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值． 4、 非负数： （1） 常见的非负数有：，， （2） 若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，例：若，则，，， 即 0 ． 1．（2024·四川广安）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 【详解】解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 2．（2024·新疆）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握代数式的书写格式是解题的关键． 根据总价=数量×单价，进而求出篮球的总价即可． 【详解】解：若每个篮球30元，则购买n个篮球需元， 故答案为：． 3．（2024·广州）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【知识点】有理数乘法运算律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 4．（2024·广州）若，则 ． 【答案】11 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 5．（2024·四川成都）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 命题点2 整式的相关概念及其运算 （一）、整式的相关概念 1、整式：单项式和多项式统称为整式 2、单项式：由数与字母的乘积表示的式子（单独一个数或一个字母也是单项式）．例如：，，，． 类别 定义 示例 系数 单项式中的数字因数 次数 单项式中，所有字母的指数的和 3、多项式：几个单项式的和．例如：，，． 类别 定义 示例 项 组成多项式的每个单项式 项数 组成多项式的单项式的个数 次数 多项式中次数最高项的次数 （二）、整式的运算 1、整式的加减 整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项 （1） 合并同类项 将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如 【要点解读】 ①同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项； ②常数项都是同类项． （2） 去（添）括号法则 符号 法则 示例 括号前是“＋” 去、添括号不变号 括号前是“－” 去、添括号都变号 2、幂的运算 类别 运算法则 表示 逆用 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 （都是正整数） （都是正整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （都是正整数） （都是正整数） 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （都是正整数） （都是正整数） 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 （，都是正整数，并且） （，都是正整数，并且） 零次幂 任何非零数的0次幂都等于1 ____ 负指数幂 指数转正，再取倒数 （，是正整数） ____ 3、整式的乘除 （1）整式的乘法 类别 运算法则 示例 单项式×单项式 ①系数相乘； ②同底数幂相乘； ③单独含有的字母连同指数不变 单项式×多项式 ①单项式乘多项式的每一项； ②积相加 多项式×多项式 ①将多项式的每一项分别相乘； ②积相加 （2）整式的除法 类别 运算法则 示例 单项式÷单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变 多项式÷单项式 ①用多项式的每一项除以单项式； ②商相加 4、乘法公式 （1）平方差公式：． 【要点解读】 平方差公式的实质是符号相同项的平方减去符号相反项的平方，与位置、系数、指数、项数都无关． ①位置：； ②系数：； ③指数：； ④项数：． （2）完全平方公式： 【要点解读】 完全平方公式的拓展： ①； ②； ③ 5、 整式的混合运算 整式混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 角度一：整式的相关概念 6．（2024·吉林长春）单项式的次数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的次数是：， 故答案为：． 7．（2023·江西）单项式的系数为 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案是：． 【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义． 8．（2022·四川攀枝花）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意； B、a是单项式，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项符合题意； D、是单项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 9．（2022·湖南永州）若单项式的与是同类项，则 ． 【答案】6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同． 角度二：整式的运算（含幂的运算） 10．（2024·河南）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 11．（2024·湖北）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：D． 12．（2024·新疆）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法、积的乘方运算法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 13．（2024·甘肃兰州）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D． 14．（2024·山东泰安）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用平方差公式进行运算 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（2024·四川德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 角度三：乘法公式及其应用 16．（2023·浙江绍兴）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据同底数幂相除法则判断选项A；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公式判断选项C；根据完全平方公式判断选项D即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算正确，符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键． 17．（2024·上海）计算 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 18．（2023·四川凉山）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 19．（2023·甘肃兰州）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 20．（2023·四川攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 角度四：整式的化简及求值 21．（2024·重庆）计算：； 【答案】； 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算、合并同类项 【分析】根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可； 【详解】解：原式， ； 22．（2024·重庆）计算：； 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、分式加减乘除混合运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶ 先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； 【详解】解： ； 23．（2024·四川南充）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 24．（2024·吉林）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】求一个数的算术平方根、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 命题点3 因式分解 1、 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解． 2、 基本方法： （1） 提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式． 【要点解读】 ①公因式：指多项式中各项都含有的相同的因式，可以是单项式，也可以是多项式． ②提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得的对应项为，如 ③ （2） 公式法 利用乘法公式分解因式的方法叫做公式法． 类别 表示 示例 平方差公式 完全平方公式 典例： （3）十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式因式分解． 将二次项的系数分解，写在十字的左边，将常数项分解写在十字的右边，交叉相乘再相加为一次项系数． 【要点解读】 ① 当常数项为正数时，分解成同号两因数，且与一次项系数符号相同． ② 当常数项为负数时，分解成异号两因数，绝对值大的因数与一次项系数符号相同． （4）分组分解法 当项数多于三项时，例如，没有公因式，又不能直接利用公式法分解时，可以利用分组分解法将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组，再提公因式，即可达到因式分解的目的． 如： 25．（2024·四川自贡）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 26．（2024·山东德州）分解因式∶ ． 【答案】/ 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 27．（2024·西藏）分解因式： ． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（2024·淄博一模）分解因式 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键． 利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 29．（2023·黑龙江绥化）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 30．（2024·四川眉山）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用．先提取公因式，然后利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 31．（2024·山东淄博）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 命题点4 规律探究题 角度1 数式规律的探究 32．（2024·江苏扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 33．（2024·云南）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键． 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 34．（2024·宁夏）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 角度2 图形规律的探究 35．（2024·重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 36．（2024·青海）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．    【答案】15 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可． 【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒， 第（2）个图形有根火柴棒， 第（3）个图形有根火柴棒， …… 第（n）个图形有根火柴棒， ∴第（7）个图案中有根火柴棒， 故答案为：15 37．（2024·西藏）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】 本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“”的个数为，解题的关键是明确题意，发现题目中个数的变化规律． 【详解】 解：∵第1个图案用了个“”， 第2个图案用了个“”， 第3个图案用了个“”， 第4个图案用了个“”， ……， ∴第n个图案中“”的个数为， 故答案为：． 1．（2021·江西）在下列表述中，不能表示代数式“4”的意义的是（　　） A．4的倍 B．的4倍 C．4个相加 D．4个相乘 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【详解】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果． A．4的倍用代数式表示4，故本选项正确； B．的4倍用代数式表示4，故本选项正确； C．4个相加用代数式表示+++=4，故本选项正确； D．4个相乘用代数式表示•••=4，故本选项错误； 故选D． 2．（2024·四川广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、判断点所在的象限、合并同类项 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 3．（2024·山东烟台）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则； 根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可 【详解】A．，故选项不符合题意； B． ，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故选项符合题意； 故选：D． 4．（2024·河北）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2024·四川成都）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 6．（2024·山东德州）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 7．（2023·湖北随州）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 8．（2024·广西）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 9．（2024·山东济宁）已知，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 10．（2024·山东东营）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2010·山东潍坊）分解因式： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】把前两项与后两项分别分组，再根据提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解答此类分解因式的问题要先看是否可以提取公因式，再分析是否可以采用公式法． 12．（2024·江苏徐州）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 13．（2024·山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 14．（2024·内蒙古赤峰）已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、运用完全平方公式进行运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】由得，化简代数式可得，代入计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 15．（2024·甘肃）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16．（2024·四川乐山·一模）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法分解因式的方法是解题的关键．先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（2024·山东泰安）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 18．（2023·河北）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解分式方程 【分析】把代入得，可求得a的值；把分别代入和，据此求解即可． 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键． 19．（2024·河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 20．（2023·河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【知识点】列代数式、整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 代数式、整式及其运算（含因式分解） 教材知识 中考考点 课标要求 代数式 1.列代数式 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 2.代数式求值 会把具体数代入代数式进行计算 整式及其运算 3.整式的加减 了解整数指数幂的意义和基本性质； 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算； 理解乘法公式，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理 4.幂的运算 5.整式的乘除 6.整式的混合运算 因式分解 7.因式分解 能用提公因式法、公式法等进行因式分解 命题点1 代数式的意义、列代数式及代数式求值 （一）、代数式 1、代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子．例．特别地，单独一个数或一个字母也是代数式． 【要点解读】 列出的代数式化为最简后，若最后一步是加、减时，有单位必须将代数式用括号括起来再加单位． 2、代数式的值：用具体数值代替式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果． 3、代数式求值的一般方法： （1）直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，并按原来的运算顺序计算求值； （2）整体代入法：①观察已知条件和所求代数式； ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，过程中一般会用的因式分解、乘法公式等； ③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值． 4、非负数： （1） 常见的非负数有：，， （2） 若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，例：若，则，，， 即 0 ． 1．（2024·四川广安）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（2024·新疆）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元． 3．（2024·广州）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则． 当，，，时，的值为 ．    4．（2024·广州）若，则 ． 5．（2024·四川成都）若，为实数，且，则的值为 ． 命题点2 整式的相关概念及其运算 （一）、整式的相关概念 1、整式：单项式和多项式统称为整式 2、单项式：由数与字母的乘积表示的式子（单独一个数或一个字母也是单项式）．例如：，，，． 类别 定义 示例 系数 单项式中的数字因数 次数 单项式中，所有字母的指数的和 3、多项式：几个单项式的和．例如：，，． 类别 定义 示例 项 组成多项式的每个单项式 项数 组成多项式的单项式的个数 次数 多项式中次数最高项的次数 （二）、整式的运算 1、整式的加减 整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项 （1） 合并同类项 将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如 【要点解读】 ①同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项； ②常数项都是同类项． （2） 去（添）括号法则 符号 法则 示例 括号前是“＋” 去、添括号不变号 括号前是“－” 去、添括号都变号 2、幂的运算 类别 运算法则 表示 逆用 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 （都是正整数） （都是正整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （都是正整数） （都是正整数） 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （都是正整数） （都是正整数） 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 （，都是正整数，并且） （，都是正整数，并且） 零次幂 任何非零数的0次幂都等于1 ____ 负指数幂 指数转正，再取倒数 （，是正整数） ____ 3、整式的乘除 （1）整式的乘法 类别 运算法则 示例 单项式×单项式 ①系数相乘； ②同底数幂相乘； ③单独含有的字母连同指数不变 单项式×多项式 ①单项式乘多项式的每一项； ②积相加 多项式×多项式 ①将多项式的每一项分别相乘； ②积相加 （2）整式的除法 类别 运算法则 示例 单项式÷单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变 多项式÷单项式 ①用多项式的每一项除以单项式； ②商相加 4、乘法公式 （1）平方差公式：． 【要点解读】 平方差公式的实质是符号相同项的平方减去符号相反项的平方，与位置、系数、指数、项数都无关． ①位置：； ②系数：； ③指数：； ④项数：． （2）完全平方公式： 【要点解读】 完全平方公式的拓展： ①； ②； ③ 4、 整式的混合运算 整式混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 角度一：整式的相关概念 6．（2024·吉林长春）单项式的次数是 ． 7．（2023·江西）单项式的系数为 ． 8．（2022·四川攀枝花）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 9．（2022·湖南永州）若单项式的与是同类项，则 ． 角度二：整式的运算（含幂的运算） 10．（2024·河南）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖北）的值是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·新疆）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·甘肃兰州）计算：（    ） A．a B． C． D． 14．（2024·山东泰安）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·四川德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 角度三：乘法公式及其应用 16．（2023·浙江绍兴）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·上海）计算 ． 18．（2023·四川凉山）已知是完全平方式，则的值是 ． 19．（2023·甘肃兰州）计算：． 20．（2023·四川攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 角度四：整式的化简及求值 21．（2024·重庆）计算：； 22．（2024·重庆）计算：； 23．（2024·四川南充）先化简，再求值：，其中． 24．（2024·吉林）先化简，再求值：，其中． 命题点3 因式分解 1、 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解． 2、 基本方法： （1） 提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式． 【要点解读】 ①公因式：指多项式中各项都含有的相同的因式，可以是单项式，也可以是多项式． ②提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得的对应项为，如 ③ （2） 公式法 利用乘法公式分解因式的方法叫做公式法． 类别 表示 示例 平方差公式 完全平方公式 典例： （3）十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式因式分解． 将二次项的系数分解，写在十字的左边，将常数项分解写在十字的右边，交叉相乘再相加为一次项系数． 【要点解读】 ① 当常数项为正数时，分解成同号两因数，且与一次项系数符号相同． ② 当常数项为负数时，分解成异号两因数，绝对值大的因数与一次项系数符号相同． （4）分组分解法 当项数多于三项时，例如，没有公因式，又不能直接利用公式法分解时，可以利用分组分解法将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组，再提公因式，即可达到因式分解的目的． 如： 25．（2024·四川自贡）分解因式： ． 26．（2024·山东德州）分解因式∶ ． 27．（2024·西藏）分解因式： ． 28．（2024·淄博一模）分解因式 29．（2023·黑龙江绥化）因式分解： ． 30．（2024·四川眉山）分解因式： ． 31．（2024·山东淄博）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 命题点4 规律探究题 角度1 数式规律的探究 32．（2024·江苏扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 33．（2024·云南）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 34．（2024·宁夏）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 角度2 图形规律的探究 35．（2024·重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 36．（2024·青海）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．    37．（2024·西藏）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）． 1．（2021·江西）在下列表述中，不能表示代数式“”的意义的是（　　） A．4的倍 B．的4倍 C．4个相加 D．4个相乘 2．（2024·四川广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·山东烟台）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东德州）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·湖北随州）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张． 如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2024·广西）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 9．（2024·山东济宁）已知，则的值是 ． 10．（2024·山东东营）因式分解： ． 11．（2010·山东潍坊）分解因式： 12．（2024·江苏徐州）若，，则代数式的值是 ． 13．（2024·山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 14．（2024·内蒙古赤峰）已知，求代数式的值． 15．（2024·甘肃）先化简，再求值：，其中，． 16．（2024·乐山一模）因式分解： ． 17．（2024·山东泰安）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 18．（2023·河北）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 19．（2024·河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 20．（2023·河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1、D 2、A 3、C 4、C 5、D 6、D 7、 8、 4 9、3 10、（答案不唯一） 11、 12、 13、 14、(1)2 (2) 15、(1)；(2) 16、， 17、8 18、D 19、(1)（），；（）； (2) 20、(1) (2)5 (3) 21、(1) (2) (3)，9 1．若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是， ∴，， ∴， 故选：D． 2．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得． 【详解】解： ， 故选：A． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值、合并同类项、积的乘方运算 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可． 【详解】解：A.，原式计算错误； B. ，原式计算错误； C. ，计算正确； D. ，原式计算错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、合并同类项、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值、计算单项式除以单项式、负整数指数幂 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 7．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：； 8．若，则 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 9．单项式的次数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 10．请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 11．因式分解： ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、完全平方公式分解因式 【分析】考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．已知（且），，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 13．计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理； 【详解】解：原式         . 【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】实数的混合运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（1）计算：        （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、计算单项式乘单项式、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解； （2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的乘法，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键． 16．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键． 17．已知实数满足，则 ． 【答案】8 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为8． 18．在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B． 【详解】解：由题意得，此时， ，此时， 第3次构造后得到的一列数为， ∴，此时，故A正确，不符合题意； 同理可得，此时， ……， 以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意 ∴，，故C正确，不符合题意； ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 以此类推，也是偶数， ∴为偶数，故B正确，不符合题意； 故选：D． 19．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 20．如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 【答案】(1) (2)5 (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、根据正方形的性质求面积 【分析】（1）由正方形的面积为1则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （2）与（1）相似，由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （3）由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； （3）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 21．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】(1) (2) (3)，9 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 2．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 8．若，则 ． 9．单项式的次数是 ． 10．请写出的一个同类项： ． 11．因式分解： ． 12．已知（且），，则的值为 ． 13．计算：． 14．计算： (1)； (2)． 15．（1）计算：        （2）化简： 16．先化简，再求值：，其中，． 17．已知实数满足，则 ． 18．在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 19．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 20．如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 21．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$