三角恒等变换专题讲义-2025届高三数学一轮复习考点通关

【专题：三角恒等变换】 一：考纲要求 1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 （2）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。 （3）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。 在高考中，两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用是考查热点，常以选择题与填空题的形式出现，也可能在解答题中作为化简函数解析式的工具，难度中等。主要通过三角恒等变换化简、求值来考查逻辑推理及数学运算的核心素养。 二．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 1. 公式的推导与运用 1. 要求考生会推导两角差的余弦公式，这是三角恒等变换的基础公式之一。 2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式。 3. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。 2. 化简求值 2. 给角求值：所给的角一般是非特殊角，需要考生观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式转化为特殊角来求解，消除非特殊角的三角函数。 2. 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值。解题的关键在于 “变角”，通过合理的角的变换，使其角相同或具有某种关系，然后代入已知值进行计算。 2. 给值求角：实质是转化为 “给值求值”，先求出角的某一三角函数值，再根据该函数的单调性及角的范围确定角。 3. 三角函数式的化简：利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化简。化简的基本要求是能求出数值的要求出数值，使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少，分式中的分母尽量不含根式等。 4. 综合应用：常与三角函数的图象、性质、解三角形问题等综合考查，有时也会与直线的斜率、导数等知识结合。在解决这些综合问题时，三角恒等变换通常起到辅助性作用，用于化简函数解析式，以便进一步研究函数的性质或解决其他相关问题。 · 2022 年 · 全国新 Ⅱ 卷：第 6 题，5 分1。 · 浙江卷：第 18 题（部分），涉及三角恒等变换，分值约 3 - 4 分。 · 全国甲卷：理科第 9 题，5 分。 · 全国乙卷：文科第 6 题，5 分。 · 2023 年 2. 全国新 Ⅰ 卷：第 8 题，5 分1。 2. 全国新 Ⅱ 卷：第 7 题、第 16 题，各 5 分1。 2. 全国甲卷：理科第 8 题，5 分。 2. 全国乙卷：文科第 14 题，5 分。 · 2024 年 3. 全国新 Ⅰ 卷：第 4 题、第 13 题，各 5 分1。 3. 全国甲卷：理科第 8 题，5 分。 一、分值与题量 在近三年高考里，三角恒等变换知识考查的分值与题量较为稳定。从 2022 - 2024 年，多数试卷中此部分内容分值在 10 - 20 分左右。全国卷常以 1 - 2 道小题或 1 道小题搭配 1 道大题形式出现。如 2022 年全国乙卷文科，以 1 道 5 分的选择题考查；2023 年全国新 Ⅱ 卷则有 2 道选择题，共 10 分。在一些地方卷，像上海卷、浙江卷，也保持着一定频率考查，分值通常在 5 - 10 分。 二、考查形式 1. 选择题：常以考查公式直接运用或简单变形为主。如 2024 年全国新 Ⅰ 卷第 4 题，通过已知三角函数值，直接运用两角和与差公式计算其他三角函数值，要求学生对公式记忆准确，能快速代入求值。 1. 填空题：多涉及三角函数式化简、给值求值等问题。2023 年全国乙卷文科第 14 题，给出特定三角函数式，需利用三角恒等变换化简后求值，考查学生对公式灵活运用以及运算能力。 1. 解答题：常与三角函数性质、解三角形等综合考查。在三角函数性质问题中，通过三角恒等变换将复杂三角函数式化简为标准形式，进而研究其周期、单调性、最值等性质；在解三角形题目里，结合正弦定理、余弦定理，运用三角恒等变换进行边角互化，求解三角形的边、角等要素。例如 2024 年全国甲卷理科第 8 题，在函数性质考查中，需借助三角恒等变换化简函数，再求函数在给定区间上的最值。 三、考点分布 1. 公式运用：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式是考查重点。如 2022 年全国甲卷理科第 9 题，利用两角和的正切公式，结合已知条件求三角函数值，这要求学生熟悉公式结构，能准确选取公式解题。 1. 化简求值：包括给角求值、给值求值、给值求角。给角求值需观察角之间联系，运用公式转化为特殊角求解；给值求值要根据已知三角函数值，通过角的变换找到与所求角关系，代入公式计算；给值求角则先求出角的某一三角函数值，再结合角范围确定角。2023 年全国新 Ⅰ 卷第 8 题，就涉及给值求值，通过对已知三角函数式变形，运用三角恒等变换求出所需三角函数值。 1. 综合应用：与三角函数图象、性质紧密相连，通过恒等变换化简函数，进而分析图象特征与函数性质；也常和解三角形结合，在三角形背景下进行恒等变换与定理运用。如 2024 年全国新 Ⅱ 卷的相关题目，将三角恒等变换融入解三角形问题，考查学生综合运用知识解决问题的能力。 四、难度趋势 整体上，三角恒等变换考查难度中等及以下。小题注重基础知识与公式简单运用，只要熟练记忆公式，认真分析题目条件，多数学生可得分。大题虽涉及综合知识，但在恒等变换步骤，主要考查常见公式常规用法，只要掌握基本解题思路与方法，经过训练也能较好应对。不过，随着高考对数学核心素养考查加强，题目在情境设置、问题设计上更加灵活，对学生理解知识本质、灵活运用知识能力要求逐渐提高。 三：考点梳理 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如 5.辅助角公式： 其中，比如： 6.积化和差公式（不要求记忆，会推导） 7.和差化积公式（不要求记忆，会推导） 【考点一：公式的直接应用与变形运用】 拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如 【高考真题+模拟精选】例题精选 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·福建泉州·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 9．（2024·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（    ） A．2 B．4 C． D． 10．（2024·福建泉州·模拟预测）若，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 11．（22-23高三上·江苏连云港·期中）已知，且，，其中，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2022·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 15．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 16．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 ． 17．（2007·江苏·高考真题）已知，，则 . 18．（2018·全国II卷·高考真题）已知，，则 ． 【解题总结】 （1）熟知变形方式：要对常见三角恒等变换的各种变形方式了如指掌。例如涉及角的倍半关系时，存在特定的恒等变换变形形式；涉及两角和差的某种运算关系，也有对应的变形。只有熟悉这些变形，解题时才能快速找到切入点。 （2）分析角的关联：仔细研究题目里给出的角之间有什么联系，通过把角进行拆分、组合等操作，构造出符合已知恒等变换规则的角的形式。已知两个角相加和相减后的三角函数值，求这两个角其中一个的两倍的三角函数值，就可以把这个两倍角表示成那两个已知角运算的形式，再利用相应恒等变换求解；若已知一个角的三角函数值，求它一半角的三角函数值，就要依据角之间的倍半关系，选择合适的恒等变换变形来计算。 （3）式子处理与转化：对给定的三角函数式子进行恰当处理，通过添加、删减某些项，或者利用因式分解、通分等代数方法，把式子转化成能够运用三角恒等变换规则的样子。比如对于一个包含正弦、余弦乘积和平方的式子，可以先尝试提取公因式，再根据后续需要，结合相关恒等变换进一步化简。 【考点二：三角恒等变形求值】 1.给角求值，2给值求角，3给值求值三大类型 【考点分析】 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 【高考真题+模拟精选】例题精选 1．（2008·山东·高考真题）已知，则的值是 A． B． C． D． 2．（2013·重庆·高考真题）4cos50°﹣tan40°=（　　） A． B． C． D．2﹣1 3．（2024·福建南平·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建漳州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 7．（2020·福建·模拟预测）已知为第二象限角， ，则（    ） A． B． C．或 D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 10．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·湖北·一模）若，且，则 . 13．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 14．（2024·山西晋城·二模）已知，，则 ． 15．（2024·广西南宁·一模）已知，则 ． 【解题总结】 1.给角求值步骤 （1）寻找角的关系：尝试将给定的非特殊角拆分成两个或多个特殊角的和、差、倍数等形式。 （2）逐步转化：根据找到的角的关系，逐步运用三角恒等变换的思路，将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值进行计算。 2.给值求值步骤 （1）分析已知值：对已知的三角函数值进行研究，判断其正负以及可能与其他三角函数值的关联。 (2)确定角的变换方式：根据已知角和所求角，确定是通过两角和差，还是角的倍数关系等方式来进行变换。 （3）实施变换并计算：按照确定的变换方式，对已知条件进行处理，逐步计算出所求角的三角函数值。 3.给值求角步骤 （1）求出目标三角函数值：利用已知条件，通过合适的三角恒等变换求出目标角的某一三角函数值。 （2）确定角的范围：结合题目中给出的角的原始范围，以及在计算过程中角的变化情况，确定目标角的最终取值范围。 （3）得出角的值：依据求出的三角函数值以及确定的角的范围，准确得出目标角的值。 【题型三：和差化积，积化和差公式】【高考题中比较少出现，模考可能会出现】 【模考精选】例题精选 1．（2024·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 3．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 【解题总结】 （一）和差化积解题思路 1.观察角的关系：仔细分析所给和差式子中两个角之间的差异与联系，判断它们是否存在倍数关系、互补关系或者其他特殊的关联。两个角相差一个固定的度数，或者其中一个角是另一个角的倍数等情况。 2.确定变换方向：依据角的关系，思考如何通过合理的运算和变换，将和差形式朝着乘积形式转变。如果两个角具有倍数关系，可能需要通过适当的拆分或合并，构造出能够实现和差化积的条件。 3.实施变换操作：按照确定的变换方向，逐步对式子进行处理。通过添加或删减一些项，或者对式子进行重新组合，利用常见的三角恒等变换思路，将和差形式转化为乘积形式。在这个过程中，可能需要多次尝试不同的组合方式，直到得到符合要求的乘积形式。 （二）积化和差解题思路 1.分析乘积结构：认真研究给定乘积式子中两个三角函数的类型（正弦还是余弦）以及它们角的特点，判断角之间是否存在特殊的关系，如两角之和或之差是否为特殊角，或者角之间是否存在倍数关系等。 2.选择变换方式：根据乘积式子的结构和角的关系，确定采用何种积化和差的思路。若两个角的和或差是已知的特殊角，可能需要围绕这个特殊角来进行变换操作；若角存在倍数关系，则考虑如何利用倍数关系将乘积转化为和差形式。 3.完成变换过程：按照选定的变换方式，对乘积式子进行具体的变形操作。通过对式子进行适当的拆分、合并或其他代数运算，将其转化为和差形式。在操作过程中，要注意运算的准确性和逻辑的连贯性，确保每一步变换都有依据。 【题型四：复杂情景下的三角恒等变换题型】 【例题精选】 1．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南郴州·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距的正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的和，相应的太阳天顶距为和，则的值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2023·江西·二模）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则的值为（    ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 相似练习 4．（22-23高三上·江西·阶段练习）“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，再按影长与的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（    ） A．里 B．里 C．里 D．里 5．（2022·河南·模拟预测）五星红旗左上角镶有五颗黄色五角星，旗上的五颗五角星及其相互联系象征着共产党领导下的中国革命人民大团结．如图，可以将五角星分割为五个黄金三角形和一个正五边形，“黄金分割”表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则的值约为（    ） A．0.618 B．1.236 C．2.472 D．4 6．（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若△PMQ是正三角形．（如图3），则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·福建龙岩·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P，Q的余弦距离为，则（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 一、理解新文化背景 1.细审题干：新文化题型开篇多介绍古代典籍、地域文化等数学相关内容。需逐字读题，明确古代数学问题情境、涉及人物事件等关键信息。 2.区分要素：迅速甄别文化描述里的数学线索，把文化渲染和三角恒等变换相关的角、函数等元素区分开。 二、挖掘数学信息 1.提炼关键：从文化背景提取角的和差、倍数等关系，确定涉及的正弦、余弦等常规或特殊形式的三角函数。 2.构建模型：依据提取信息，将新文化问题转化为熟悉的三角恒等变换模型，如把古代建筑角度问题抽象成三角形内角关系求解。 三、运用常规解题方法 1.套用公式：确定模型后，按普通题型思路选公式技巧。已知角和差关系用两角和差公式，涉及倍半关系用二倍角公式等，化简求值。 2.多法尝试：新文化题型复杂，单一方法难奏效。可先和差化积，不行就积化和差，灵活调整策略直至得出答案。 【限时1.5小时】课后针对训练 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（   ） A． B．7 C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）若，则（    ） A．3 B． C． D．6 3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D．13 4．（2025·广东·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 6．（2025·山西临汾·一模）已知，且，则（   ） A． B．2 C． D．或2 二、填空题 7．（2024·山西·模拟预测）已知，，则 . 8．（2024·福建龙岩·模拟预测）函数的最小正周期是 . 9．（2024·新疆·模拟预测）已知，则 ． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，则 . 11．（2024·四川德阳·模拟预测）若，则 12．（2024·青海·一模）若锐角满足，则 ， ． 13．（2025·广东·一模）在中，已知，，则 . 14．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 2025年高考一轮复习考点通关 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【专题：三角恒等变换】 一：考纲要求 1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 （2）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。 （3）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。 在高考中，两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用是考查热点，常以选择题与填空题的形式出现，也可能在解答题中作为化简函数解析式的工具，难度中等。主要通过三角恒等变换化简、求值来考查逻辑推理及数学运算的核心素养。 二．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 1. 公式的推导与运用 1. 要求考生会推导两角差的余弦公式，这是三角恒等变换的基础公式之一。 2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式。 3. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。 2. 化简求值 2. 给角求值：所给的角一般是非特殊角，需要考生观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式转化为特殊角来求解，消除非特殊角的三角函数。 2. 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值。解题的关键在于 “变角”，通过合理的角的变换，使其角相同或具有某种关系，然后代入已知值进行计算。 2. 给值求角：实质是转化为 “给值求值”，先求出角的某一三角函数值，再根据该函数的单调性及角的范围确定角。 3. 三角函数式的化简：利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化简。化简的基本要求是能求出数值的要求出数值，使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少，分式中的分母尽量不含根式等。 4. 综合应用：常与三角函数的图象、性质、解三角形问题等综合考查，有时也会与直线的斜率、导数等知识结合。在解决这些综合问题时，三角恒等变换通常起到辅助性作用，用于化简函数解析式，以便进一步研究函数的性质或解决其他相关问题。 · 2022 年 · 全国新 Ⅱ 卷：第 6 题，5 分1。 · 浙江卷：第 18 题（部分），涉及三角恒等变换，分值约 3 - 4 分。 · 全国甲卷：理科第 9 题，5 分。 · 全国乙卷：文科第 6 题，5 分。 · 2023 年 2. 全国新 Ⅰ 卷：第 8 题，5 分1。 2. 全国新 Ⅱ 卷：第 7 题、第 16 题，各 5 分1。 2. 全国甲卷：理科第 8 题，5 分。 2. 全国乙卷：文科第 14 题，5 分。 · 2024 年 3. 全国新 Ⅰ 卷：第 4 题、第 13 题，各 5 分1。 3. 全国甲卷：理科第 8 题，5 分。 一、分值与题量 在近三年高考里，三角恒等变换知识考查的分值与题量较为稳定。从 2022 - 2024 年，多数试卷中此部分内容分值在 10 - 20 分左右。全国卷常以 1 - 2 道小题或 1 道小题搭配 1 道大题形式出现。如 2022 年全国乙卷文科，以 1 道 5 分的选择题考查；2023 年全国新 Ⅱ 卷则有 2 道选择题，共 10 分。在一些地方卷，像上海卷、浙江卷，也保持着一定频率考查，分值通常在 5 - 10 分。 二、考查形式 1. 选择题：常以考查公式直接运用或简单变形为主。如 2024 年全国新 Ⅰ 卷第 4 题，通过已知三角函数值，直接运用两角和与差公式计算其他三角函数值，要求学生对公式记忆准确，能快速代入求值。 1. 填空题：多涉及三角函数式化简、给值求值等问题。2023 年全国乙卷文科第 14 题，给出特定三角函数式，需利用三角恒等变换化简后求值，考查学生对公式灵活运用以及运算能力。 1. 解答题：常与三角函数性质、解三角形等综合考查。在三角函数性质问题中，通过三角恒等变换将复杂三角函数式化简为标准形式，进而研究其周期、单调性、最值等性质；在解三角形题目里，结合正弦定理、余弦定理，运用三角恒等变换进行边角互化，求解三角形的边、角等要素。例如 2024 年全国甲卷理科第 8 题，在函数性质考查中，需借助三角恒等变换化简函数，再求函数在给定区间上的最值。 三、考点分布 1. 公式运用：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式是考查重点。如 2022 年全国甲卷理科第 9 题，利用两角和的正切公式，结合已知条件求三角函数值，这要求学生熟悉公式结构，能准确选取公式解题。 1. 化简求值：包括给角求值、给值求值、给值求角。给角求值需观察角之间联系，运用公式转化为特殊角求解；给值求值要根据已知三角函数值，通过角的变换找到与所求角关系，代入公式计算；给值求角则先求出角的某一三角函数值，再结合角范围确定角。2023 年全国新 Ⅰ 卷第 8 题，就涉及给值求值，通过对已知三角函数式变形，运用三角恒等变换求出所需三角函数值。 1. 综合应用：与三角函数图象、性质紧密相连，通过恒等变换化简函数，进而分析图象特征与函数性质；也常和解三角形结合，在三角形背景下进行恒等变换与定理运用。如 2024 年全国新 Ⅱ 卷的相关题目，将三角恒等变换融入解三角形问题，考查学生综合运用知识解决问题的能力。 四、难度趋势 整体上，三角恒等变换考查难度中等及以下。小题注重基础知识与公式简单运用，只要熟练记忆公式，认真分析题目条件，多数学生可得分。大题虽涉及综合知识，但在恒等变换步骤，主要考查常见公式常规用法，只要掌握基本解题思路与方法，经过训练也能较好应对。不过，随着高考对数学核心素养考查加强，题目在情境设置、问题设计上更加灵活，对学生理解知识本质、灵活运用知识能力要求逐渐提高。 三：考点梳理 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如 5.辅助角公式： 其中，比如： 6.积化和差公式（不要求记忆，会推导） 7.和差化积公式（不要求记忆，会推导） 【考点一：公式的直接应用与变形运用】 拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如 【高考真题+模拟精选】例题精选 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 6．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：利用二倍角的正切公式、两角和的正切公式即可求解；方法二：由题意得，结合诱导公式即可得解.方法三：采用特殊值法以及诱导公式即可得解； 【详解】解法一：由可得， 则， 所以 ， 故． 解法二：由可得，即， 所以， 则． 解法三：由，可假设，，则，， 所以或或． 故选：A. 7．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化为，整体代入求解. 【详解】因为，，， ，故，且，故， 故. 故选：D. 8．（2024·福建泉州·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和与差的三角函数，结合同角三角函数的关系求解． 【详解】由，得， ，整理得， 即，由，得， 所以. 故选：D 相似练习 9．（2024·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由，得，由，得，，则有，与存在且唯一，得，解得，即，再由，可求出，计算的值即可. 【详解】，由，得，即， 所以，有， 所以，， 所以， 因为，所以， 因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一， 若，有两解，其中一解中有钝角，此情况不存在. 所以，解得，经检验符合题意，所以， 因为，所以，所以， 则，解得， 所以． 故选：B． 10．（2024·福建泉州·模拟预测）若，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化简已知式可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案. 【详解】由可得， 则，因为，所以， 所以，因为，所以， 所以. 故选：B. 11．（22-23高三上·江苏连云港·期中）已知，且，，其中，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将角度拆则分，，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得. 【详解】解：∵ ∴ 整理得：，由于，，所以， 则，即. 故选：B. 12．（2022·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简已知等式可求得，并确定所在象限；根据同角三角函数关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】，，， ，，， ，，，， . 故选：C. 13．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出. 【详解】因为 所以， 整理得：， 因为， 所以， 所以， 解得： 故选：B 二、填空题 14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 15．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求． 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 16．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 ． 【答案】（均可） 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出. 【详解】因为， 所以，解得，故可取. 故答案为：（均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题. 17．（2007·江苏·高考真题）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用两角和差余弦公式将和分别展开，再将两式进行加和减，可求得和，两式相除即可求得结果. 【详解】…①， …②， ①②得：，解得：； ①②得：，解得： . 故答案为：. 【点睛】本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题. 18．（2018·全国II卷·高考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】 两式两边平方相加得，． ［方法二］： 利用方程思想直接解出 ，两式两边平方相加得，则． 又或，所以． ［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式 由，可得，则或． 若，代入得，即． 若，代入得，与题设矛盾． 综上所述，． ［方法四］：平方关系＋诱导公式 由，得． 又，，即，则．从而． ［方法五］：和差化积公式的应用 由已知得 ，则或． 若，则，即． 当k为偶数时，，由，得，又，所以． 当k为奇数时，，得，这与已知矛盾． 若，则．则，得，这与已知矛盾． 综上所述，． 【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解； 方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出； 方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出； 方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同； 方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦． 【解题总结】 （1）熟知变形方式：要对常见三角恒等变换的各种变形方式了如指掌。例如涉及角的倍半关系时，存在特定的恒等变换变形形式；涉及两角和差的某种运算关系，也有对应的变形。只有熟悉这些变形，解题时才能快速找到切入点。 （2）分析角的关联：仔细研究题目里给出的角之间有什么联系，通过把角进行拆分、组合等操作，构造出符合已知恒等变换规则的角的形式。已知两个角相加和相减后的三角函数值，求这两个角其中一个的两倍的三角函数值，就可以把这个两倍角表示成那两个已知角运算的形式，再利用相应恒等变换求解；若已知一个角的三角函数值，求它一半角的三角函数值，就要依据角之间的倍半关系，选择合适的恒等变换变形来计算。 （3）式子处理与转化：对给定的三角函数式子进行恰当处理，通过添加、删减某些项，或者利用因式分解、通分等代数方法，把式子转化成能够运用三角恒等变换规则的样子。比如对于一个包含正弦、余弦乘积和平方的式子，可以先尝试提取公因式，再根据后续需要，结合相关恒等变换进一步化简。 【考点二：三角恒等变形求值】 1.给角求值，2给值求角，3给值求值三大类型 【考点分析】 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 【高考真题+模拟精选】例题精选 1．（2008·山东·高考真题）已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，化简则 ，从而可得结果. 【详解】 ， ，故选C. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 2．（2013·重庆·高考真题）4cos50°﹣tan40°=（　　） A． B． C． D．2﹣1 【答案】C 【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°= == ===． 故选C 3．（2024·福建南平·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案. 【详解】因为，所以， 解得：， . 故选：A. 4．（2024·福建漳州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助换元法，结合诱导公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】令，则， 所以 . 故选：A． 5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和对和进行转化即可求解. 【详解】由题意， 又， 故， 即 又均为锐角，所以， 故， 故选：D. 6．（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：A 相似练习 7．（2020·福建·模拟预测）已知为第二象限角， ，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】将两边平方可得，再计算出，最后根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得； 【详解】解：因为 所以即， 所以 所以 所以 因为为第二象限角，所以 所以 故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题. 8．（2024·全国·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先切化弦，结合两角和差公式运算求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：D. 9．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用降幂公式及角的变换，结合两角和与差的余弦公式化简即可求解. 【详解】已知, 则 故选:. 10．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】与分别平方相加，得到答案. 【详解】两边平方得①， 又，故，两边平方得 ②， 式子①+②得，， 故，故. 故选：C 二、多选题 11．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 三、填空题 12．（2024·湖北·一模）若，且，则 . 【答案】 【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解. 【详解】由，得. 因为，所以，则，则. 由，得，则，解得. 故答案为：. 13．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，再利用倍角公式以及齐次化问题分析求解. 【详解】因为，则， 显然，可得， 整理得，解得或， 又因为，则，可得， 所以. 故答案为：. 14．（2024·山西晋城·二模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由切化弦可得，结合两角和差公式分析求解. 【详解】因为，即，可得， 又因为，可得， 所以. 故答案为：. 15．（2024·广西南宁·一模）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得，进而可得. 【详解】由题意，，且，故. 故 . 故，. 故答案为： 【解题总结】 1.给角求值步骤 （1）寻找角的关系：尝试将给定的非特殊角拆分成两个或多个特殊角的和、差、倍数等形式。 （2）逐步转化：根据找到的角的关系，逐步运用三角恒等变换的思路，将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值进行计算。 2.给值求值步骤 （1）分析已知值：对已知的三角函数值进行研究，判断其正负以及可能与其他三角函数值的关联。 (2)确定角的变换方式：根据已知角和所求角，确定是通过两角和差，还是角的倍数关系等方式来进行变换。 （3）实施变换并计算：按照确定的变换方式，对已知条件进行处理，逐步计算出所求角的三角函数值。 3.给值求角步骤 （1）求出目标三角函数值：利用已知条件，通过合适的三角恒等变换求出目标角的某一三角函数值。 （2）确定角的范围：结合题目中给出的角的原始范围，以及在计算过程中角的变化情况，确定目标角的最终取值范围。 （3）得出角的值：依据求出的三角函数值以及确定的角的范围，准确得出目标角的值。 【题型三：和差化积，积化和差公式】【高考题中比较少出现，模考可能会出现】 【模考精选】例题精选 1．（2024·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到，从而得到，即可求出结果. 【详解】因为， 得到，又，所以， 所以， 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据和差化积公式化简，得到，再利用正切二倍角公式求出答案. 【详解】 由和差化积公式，得， ，所以． 所以． 故选：A． 相似练习 3．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果. 【详解】由积化和差公式可得 ， 故 ， 由和差化积公式可得 ， 故 所以. 故选：A 【点睛】和差化积公式：， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用和差化积公式化简，再利用二倍角的正切公式，建立方程，即可求解. 【详解】， 设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角， 所以 ，设， 整理为，得（舍）或， 则，，所以. 故选：B 二、填空题 5．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 【答案】 【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 两式相加可得， 即，解得； 因为， ， 所以， 所以． 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解. 【解题总结】 （一）和差化积解题思路 1.观察角的关系：仔细分析所给和差式子中两个角之间的差异与联系，判断它们是否存在倍数关系、互补关系或者其他特殊的关联。两个角相差一个固定的度数，或者其中一个角是另一个角的倍数等情况。 2.确定变换方向：依据角的关系，思考如何通过合理的运算和变换，将和差形式朝着乘积形式转变。如果两个角具有倍数关系，可能需要通过适当的拆分或合并，构造出能够实现和差化积的条件。 3.实施变换操作：按照确定的变换方向，逐步对式子进行处理。通过添加或删减一些项，或者对式子进行重新组合，利用常见的三角恒等变换思路，将和差形式转化为乘积形式。在这个过程中，可能需要多次尝试不同的组合方式，直到得到符合要求的乘积形式。 （二）积化和差解题思路 1.分析乘积结构：认真研究给定乘积式子中两个三角函数的类型（正弦还是余弦）以及它们角的特点，判断角之间是否存在特殊的关系，如两角之和或之差是否为特殊角，或者角之间是否存在倍数关系等。 2.选择变换方式：根据乘积式子的结构和角的关系，确定采用何种积化和差的思路。若两个角的和或差是已知的特殊角，可能需要围绕这个特殊角来进行变换操作；若角存在倍数关系，则考虑如何利用倍数关系将乘积转化为和差形式。 3.完成变换过程：按照选定的变换方式，对乘积式子进行具体的变形操作。通过对式子进行适当的拆分、合并或其他代数运算，将其转化为和差形式。在操作过程中，要注意运算的准确性和逻辑的连贯性，确保每一步变换都有依据。 【题型四：复杂情景下的三角恒等变换题型】 【例题精选】 1．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设得利用向量夹角公式求得，根据新定义及正余弦齐次运算可求目标函数值. 【详解】由题意得 则， 又， ∴， ∴，， ， 故选： 2．（2023·湖南郴州·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距的正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的和，相应的太阳天顶距为和，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】依题意可得，，利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】由题设，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，， 所以. 故选：D． 3．（2023·江西·二模）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则的值为（    ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】利用三角恒等变形及诱导公式化简可得结果． 【详解】由题意可得， . 故选∶D． 相似练习 4．（22-23高三上·江西·阶段练习）“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，再按影长与的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（    ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】C 【分析】在直角三角形中利用正切表示出，再由同角三角函数及两角和的余弦公式化简，最后根据“寸影千里”的原则得解. 【详解】由题意可知， 所以，所以可以估计A，B两地的距离大约为里， 故选：C． 5．（2022·河南·模拟预测）五星红旗左上角镶有五颗黄色五角星，旗上的五颗五角星及其相互联系象征着共产党领导下的中国革命人民大团结．如图，可以将五角星分割为五个黄金三角形和一个正五边形，“黄金分割”表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则的值约为（    ） A．0.618 B．1.236 C．2.472 D．4 【答案】B 【分析】由平方关系、二倍角公式、诱导公式化简求值． 【详解】由题意， ． 故选：B． 6．（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若△PMQ是正三角形．（如图3），则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，则，，，所以，即可求解． 【详解】过点作，因为△PMQ是正三角形． 则，， 所以 则，解得 故选：C 7．（24-25高三上·福建龙岩·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P，Q的余弦距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，根据所给定义可得，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，， 所以， 则，的余弦距离为，所以， 所以. 故选：D 【解题总结】 一、理解新文化背景 1.细审题干：新文化题型开篇多介绍古代典籍、地域文化等数学相关内容。需逐字读题，明确古代数学问题情境、涉及人物事件等关键信息。 2.区分要素：迅速甄别文化描述里的数学线索，把文化渲染和三角恒等变换相关的角、函数等元素区分开。 二、挖掘数学信息 1.提炼关键：从文化背景提取角的和差、倍数等关系，确定涉及的正弦、余弦等常规或特殊形式的三角函数。 2.构建模型：依据提取信息，将新文化问题转化为熟悉的三角恒等变换模型，如把古代建筑角度问题抽象成三角形内角关系求解。 三、运用常规解题方法 1.套用公式：确定模型后，按普通题型思路选公式技巧。已知角和差关系用两角和差公式，涉及倍半关系用二倍角公式等，化简求值。 2.多法尝试：新文化题型复杂，单一方法难奏效。可先和差化积，不行就积化和差，灵活调整策略直至得出答案。 【限时1.5小时】课后针对训练 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（   ） A． B．7 C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）若，则（    ） A．3 B． C． D．6 3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D．13 4．（2025·广东·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 6．（2025·山西临汾·一模）已知，且，则（   ） A． B．2 C． D．或2 二、填空题 7．（2024·山西·模拟预测）已知，，则 . 8．（2024·福建龙岩·模拟预测）函数的最小正周期是 . 9．（2024·新疆·模拟预测）已知，则 ． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，则 . 11．（2024·四川德阳·模拟预测）若，则 12．（2024·青海·一模）若锐角满足，则 ， ． 13．（2025·广东·一模）在中，已知，，则 . 14．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 2025年高考一轮复习考点通关 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B D A B 1．C 【分析】对已知前二个等式两边同时平方，并相加，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可. 【详解】由得：①； 由得：②； ①+②得， 由得 则有， ． 故选：C． 2．C 【分析】利用切化弦的思想求解即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 3．B 【分析】根据题中公式，结合二倍角公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解. 【详解】由已知得， 易得， 所以，解得或（舍去）， 故. 故选：B. 4．D 【分析】根据同角基本关系式以及两角和与差的正余弦公式和正余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故,即,则，解得， 故选：D. 5．A 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出，再利用二倍角的正切及差角的正切计算得解. 【详解】由，得， 即，由，得，则， 则，所以． 故选：A 6．B 【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数的平方关系和的范围，分别求出和，再由商数关系得到. 【详解】由二倍角公式得， 由两角差的正弦公式得， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 联立得或， 因为，所以，所以，所以. 故选：B. 7．/ 【分析】根据两角差的正弦公式计算可得，再由三角函数值域代入化简计算可得结果. 【详解】由题意可知， 所以， 由题意可知，， 由可得， 所以. 故答案为： 8． 【分析】由两角和的余弦公式，二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简，即可由正弦型函数周期得解. 【详解】 ， 所以函数周期, 故答案为： 9． 【分析】根据同角三角关系可得，进而结合两家和差公式运算求解. 【详解】因为， 则，可得， 且， 所以. 故答案为：. 10．/ 【分析】把所给式子两边平方相加可求得结果. 【详解】由平方得：， 由平方得：， 两式相加得：， 所以，所以， 故答案为：. 11． 【分析】利用诱导公式得到，从而利用诱导公式和倍角公式得到答案. 【详解】， 故， . 故答案为： 12． 【分析】根据条件求和，再代入两角和的正切公式，即可求解. 【详解】，因为为锐角，所以． 又为锐角，所以．故． 故答案为：，. 13． 【分析】由两角和的正切公式结合条件切化弦可得，将条件切化弦运算得解. 【详解】，， ，即， 解得，即， 即， 所以，又， 得， 又由，可得， . 故答案为：. 14．/0.8 【分析】根据极大值的定义，对函数求导并利用辅助角公式进行整理，由余弦函数的图象可得角的值，结合诱导公式，可得答案. 【详解】由函数， 求导可得， 令，则， 由题意可得， 由函数可知当（）时，， 当（）时，，且为函数的极大值点， 则可得（），解得（）， 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$