2025年宁夏中考数学模拟试卷（一）

宁夏回族自治区2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学（一） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列各数中为无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，货船A 与港口B 相距40海里，港口B 相对货船A 的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 4．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．16小时、15小时 B．8小时、8.5小时 C．10小时、8.5小时 D．8小时、9小时 5．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 6．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．稀土是钪、钇、镧系17种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源，2024年我国稀土勘探在四川凉山取得新突破，预期新增稀土资源量496万吨．将4960000用科学记数法表示为 ． 10．某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ．（精确到0.01） 11．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作 ． 12．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 13．如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，则的度数为 ． 14．已知直线与直线没有交点，且与两坐标轴围成的面积为4，则直线的解析式为 ． 15．观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 16．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B，在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm．（参考数据：，，，结果精确到） 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17．解不等式组：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如下图，已知和射线，请仅用无刻度直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在射线的上方，作； (2)在射线的上方，作，使得． 20．太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 21．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F．求证：． 22．年月日，第二十五届深圳读书月启动仪式在深圳书城中心城北区举行．某初中学校为了解本校学生在年的读书情况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． 【确定调查对象】 （1）有以下三种调查方案： 方案：从七年级抽取名学生，进行读书情况调查； 方案：从七年级、八年级中各随机抽取名学生，进行读书情况调查； 方案：从全校名学生中随机抽取名学生，进行读书情况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是_______；（填序号即可） 【收集整理数据】按照该校读书标准，学生读书情况分为四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成不完整的统计图表． 抽取的学生读书情况统计表 类别 读书本数 读书情况 优秀 良好 达标 不达标 人数（人） 抽取的学生读书情况统计图 【问题分析解决】 （2）求统计图表中与的值； （3）若该中学共有学生人，在年度评比中，读书多于本可获评“读书之星”，请估算该中学所有学生中，可获评“读书之星”的共有多少人？ 23．如图1，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它上、下底面均为圆形，纵截面是如图2所示的轴对称图形，是一个矩形，若以地面上所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分经过测量可知：，， (1)直接写出点的坐标_____； (2)求出这一部分反比例函数的解析式； (3)经过测量冷却塔顶部点距离地面，求上底面圆形的直径多少米． 24．图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 26．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，点是此二次函数的图象上的两个动点，且满足． (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．求证：的值为定值； (3)如图2，若点在轴的上方移动，点为线段的中点，求点纵坐标的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏回族自治区2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学（一） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列各数中为无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，货船A 与港口B 相距40海里，港口B 相对货船A 的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 4．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．16小时、15小时 B．8小时、8.5小时 C．10小时、8.5小时 D．8小时、9小时 5．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 6．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．稀土是钪、钇、镧系17种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源，2024年我国稀土勘探在四川凉山取得新突破，预期新增稀土资源量496万吨．将4960000用科学记数法表示为 ． 10．某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ．（精确到0.01） 11．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作 ． 12．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 13．如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，则的度数为 ． 14．已知直线与直线没有交点，且与两坐标轴围成的面积为4，则直线的解析式为 ． 15．观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 16．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B，在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm．（参考数据：，，，结果精确到） 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17．解不等式组：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如下图，已知和射线，请仅用无刻度直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在射线的上方，作； (2)在射线的上方，作，使得． 20．太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 21．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F．求证：． 22．年月日，第二十五届深圳读书月启动仪式在深圳书城中心城北区举行．某初中学校为了解本校学生在年的读书情况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． 【确定调查对象】 （1）有以下三种调查方案： 方案：从七年级抽取名学生，进行读书情况调查； 方案：从七年级、八年级中各随机抽取名学生，进行读书情况调查； 方案：从全校名学生中随机抽取名学生，进行读书情况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是_______；（填序号即可） 【收集整理数据】按照该校读书标准，学生读书情况分为四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成不完整的统计图表． 抽取的学生读书情况统计表 类别 读书本数 读书情况 优秀 良好 达标 不达标 人数（人） 抽取的学生读书情况统计图 【问题分析解决】 （2）求统计图表中与的值； （3）若该中学共有学生人，在年度评比中，读书多于本可获评“读书之星”，请估算该中学所有学生中，可获评“读书之星”的共有多少人？ 23．如图1，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它上、下底面均为圆形，纵截面是如图2所示的轴对称图形，是一个矩形，若以地面上所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分经过测量可知：，， (1)直接写出点的坐标_____； (2)求出这一部分反比例函数的解析式； (3)经过测量冷却塔顶部点距离地面，求上底面圆形的直径多少米． 24．图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 26．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，点是此二次函数的图象上的两个动点，且满足． (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．求证：的值为定值； (3)如图2，若点在轴的上方移动，点为线段的中点，求点纵坐标的取值范围． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏回族自治区2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学（一）全解全析 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列各数中为无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、无理数、化为最简二次根式 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是无限不循环小数，是无理数，正确； D．是整数，不符合题意； 故选：C． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，货船A 与港口B 相距40海里，港口B 相对货船A 的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 【答案】A 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 4．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．16小时、15小时 B．8小时、8.5小时 C．10小时、8.5小时 D．8小时、9小时 【答案】D 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题主要考查了中位数、众数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．众数是一组数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大排列，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数即可． 【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：D． 5．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： ． 故选：D． 6．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、不等式的性质 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查分式方程，从实际问题中抽象出分式方程是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选A． 8．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是菱形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．稀土是钪、钇、镧系17种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源，2024年我国稀土勘探在四川凉山取得新突破，预期新增稀土资源量496万吨．将4960000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4960000用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ．（精确到0.01） 【答案】0.80 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由频率分布表可知，随着射击次数越来越大，频率逐渐稳定到常数0.801附近， 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.80（精确到0.01)． 故答案为：0.80． 11．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，解题关键是正确理解正负数的意义． 正负数是一对具有相反意义的量，若零上用“”表示，那么零下就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：零上记作， 零下记作． 故答案为：． 12．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 13．如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，则的度数为 ． 【答案】/144度 【知识点】正多边形的内角问题、多边形内角和问题、对顶角相等 【分析】本题主要考查了正五边形的内角、多边形内角和、对顶角等知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．首先根据正多边形内角和公式确定，进而可得的值，再根据对顶角相等的性质可知，即可获得答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 14．已知直线与直线没有交点，且与两坐标轴围成的面积为4，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查直线与直线位置关系，面积，先根据两直线没有交点得，再根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4得，解得b，进而可得直线的解析式． 【详解】解：∵直线与直线没有交点， ∴， ∴， ∴， 令，得， 令，得， ∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为或． 故答案为：或． 15．观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探索，正确完全平方公式，找到规律是解题的关键．按照规律表示出第n个等式，即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 16．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B，在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点B作于点D，过点C作于点E，在中，求得，即，在中，根据三角函数的定义，可求得，即得答案． 【详解】过点B作于点D，过点C作于点E， ，， ， ， 在中，， ， ， 与尺上沿的交点C在尺上的读数是． 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17．解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集是． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19．如下图，已知和射线，请仅用无刻度直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在射线的上方，作； (2)在射线的上方，作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、全等的性质和SAS综合（SAS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查尺规作图，全等三角形的判定方法，掌握以上知识，数形结合思想是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）以点为圆心，以为半径画弧，以点为圆心，在射线上，分别以为半径画弧，得到交点，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求． （2）解：如图， ∵， ∴， 即为所求（作法不唯一）． 20．太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式； （3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得， ， 即w（元）与x（张）之间的函数表达式为； （3）解：∵计划每种票至少购买20张， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴，21，22， ∴共有三种购票方案， 方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张； 方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张； 方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张； 当时，w取得最小值，此时， 答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 21．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了平行线的判定、三角形的内角和定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据四边形内角和定理及角平分线定义求出，结合直角三角形的性质推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．年月日，第二十五届深圳读书月启动仪式在深圳书城中心城北区举行．某初中学校为了解本校学生在年的读书情况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． 【确定调查对象】 （1）有以下三种调查方案： 方案：从七年级抽取名学生，进行读书情况调查； 方案：从七年级、八年级中各随机抽取名学生，进行读书情况调查； 方案：从全校名学生中随机抽取名学生，进行读书情况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是_______；（填序号即可） 【收集整理数据】按照该校读书标准，学生读书情况分为四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成不完整的统计图表． 抽取的学生读书情况统计表 类别 读书本数 读书情况 优秀 良好 达标 不达标 人数（人） 抽取的学生读书情况统计图 【问题分析解决】 （2）求统计图表中与的值； （3）若该中学共有学生人，在年度评比中，读书多于本可获评“读书之星”，请估算该中学所有学生中，可获评“读书之星”的共有多少人？ 【答案】（1）   （2），  （3）人 【知识点】判断全面调查与抽样调查、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、由扇形统计图求某项的百分比 【分析】本题考查了抽样调查、扇形统计图和统计表、用样本估计总体等知识，正确进行计算是解答本题的关键． （1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案符合题意； （2）根据类求出总人数，再根据类的占比求出，根据类的占比求出； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】解：（1）最具有代表性和广泛性的抽样调查是方案， 故答案为：； （2）抽查的总人数为（人）， 则类别所占百分比为， 类别的人数为（人），即； （3）由题意可得：（人）， 答：可获评“读书之星”的共有人． 23．如图1，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它上、下底面均为圆形，纵截面是如图2所示的轴对称图形，是一个矩形，若以地面上所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分经过测量可知：，， (1)直接写出点的坐标_____； (2)求出这一部分反比例函数的解析式； (3)经过测量冷却塔顶部点距离地面，求上底面圆形的直径多少米． 【答案】(1) (2) (3)20米 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、矩形的性质等知识点，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意确定C的横坐标和纵坐标即可解答； （2）设反比例函数解析式为，将点的坐标为代入求得k即可解答； （3）先确定点的纵坐标为32，进而确定、，最后确定即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ∴点的坐标为． （2）解：设反比例函数解析式为， 依题意可知在图象上 ． （3）解：依题意可知：、的函数图象都关于轴对称； 、两点关于轴对称 点的纵坐标为32， 把带入（2）中的解析式可得：， ． 上底面圆形的直径为20米． 24．图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【知识点】垂径定理的推论、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理． （1）设与交于点，由为的中点，可得，推出，即可证明； （2）连接，由题意可得：，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， 为的中点， ， ， ； （2）连接， 由题意可得：， ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 的半径为． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【答案】（1）；（2） 12 ；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （2）如图 2 ，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式得到； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，由是中线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到；求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵． 在和中， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 即， ， ， ； （2）如图2，过点作于点， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， 由直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：； ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 26．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，点是此二次函数的图象上的两个动点，且满足． (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．求证：的值为定值； (3)如图2，若点在轴的上方移动，点为线段的中点，求点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)详见解析 (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数表达式得一次函数的表达式为：；将点坐标代入一次函数得出的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得，，，，；求得和的表达式，进而求比值，即可求解； （3）根据中点坐标公式得出点的纵坐标，根据，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即一次函数的表达式为：； 将点坐标代入一次函数表达式得， 将点的坐标代入二次函数 表达式得：， 则即抛物线的表达式为：； （2）证明：由题意可表示有关点的坐标为： ，，，， 则 同理可得： 则为定值； （3）解：点的两点的坐标分别为：， 点纵坐标可表示为 当，即， 解得： ∴二次函数的图象与轴的交点和点， 又若点在轴的上方移动， 当时，； 当时，； 故的取值范围： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏回族自治区2024年初中学业水平考试模拟试卷 数学（一）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D D B A A 1．C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是无限不循环小数，是无理数，正确； D．是整数，不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了中位数、众数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．众数是一组数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大排列，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数即可． 【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： ． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 7．A 【分析】本题主要考查分式方程，从实际问题中抽象出分式方程是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选A． 8．A 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 9． 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4960000用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．0.80 【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由频率分布表可知，随着射击次数越来越大，频率逐渐稳定到常数0.801附近， 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.80（精确到0.01)． 故答案为：0.80． 11． 【分析】本题考查了相反意义的量，解题关键是正确理解正负数的意义． 正负数是一对具有相反意义的量，若零上用“”表示，那么零下就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：零上记作， 零下记作． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 13．/144度 【分析】本题主要考查了正五边形的内角、多边形内角和、对顶角等知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．首先根据正多边形内角和公式确定，进而可得的值，再根据对顶角相等的性质可知，即可获得答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查直线与直线位置关系，面积，先根据两直线没有交点得，再根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4得，解得b，进而可得直线的解析式． 【详解】解：∵直线与直线没有交点， ∴， ∴， ∴， 令，得， 令，得， ∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为或． 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了规律探索，正确完全平方公式，找到规律是解题的关键．按照规律表示出第n个等式，即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点B作于点D，过点C作于点E，在中，求得，即，在中，根据三角函数的定义，可求得，即得答案． 【详解】过点B作于点D，过点C作于点E， ，， ， ， 在中，， ， ， 与尺上沿的交点C在尺上的读数是． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集是． 18．，3 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，全等三角形的判定方法，掌握以上知识，数形结合思想是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）以点为圆心，以为半径画弧，以点为圆心，在射线上，分别以为半径画弧，得到交点，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求． （2）解：如图， ∵， ∴， 即为所求（作法不唯一）． 20．(1)； (2)； (3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式； （3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得， ， 即w（元）与x（张）之间的函数表达式为； （3）解：∵计划每种票至少购买20张， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴，21，22， ∴共有三种购票方案， 方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张； 方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张； 方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张； 当时，w取得最小值，此时， 答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 21．见解析 【分析】此题考查了平行线的判定、三角形的内角和定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据四边形内角和定理及角平分线定义求出，结合直角三角形的性质推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（1）   （2），  （3）人 【分析】本题考查了抽样调查、扇形统计图和统计表、用样本估计总体等知识，正确进行计算是解答本题的关键． （1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案符合题意； （2）根据类求出总人数，再根据类的占比求出，根据类的占比求出； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】解：（1）最具有代表性和广泛性的抽样调查是方案， 故答案为：； （2）抽查的总人数为（人）， 则类别所占百分比为， 类别的人数为（人），即； （3）由题意可得：（人）， 答：可获评“读书之星”的共有人． 23．(1) (2) (3)20米 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、矩形的性质等知识点，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意确定C的横坐标和纵坐标即可解答； （2）设反比例函数解析式为，将点的坐标为代入求得k即可解答； （3）先确定点的纵坐标为32，进而确定、，最后确定即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ∴点的坐标为． （2）解：设反比例函数解析式为， 依题意可知在图象上 ． （3）解：依题意可知：、的函数图象都关于轴对称； 、两点关于轴对称 点的纵坐标为32， 把带入（2）中的解析式可得：， ． 上底面圆形的直径为20米． 24．(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理． （1）设与交于点，由为的中点，可得，推出，即可证明； （2）连接，由题意可得：，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， 为的中点， ， ， ； （2）连接， 由题意可得：， ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 的半径为． 25．（1）；（2） 12 ；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （2）如图 2 ，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式得到； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，由是中线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到；求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵． 在和中， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 即， ， ， ； （2）如图2，过点作于点， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， 由直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：； ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 26．(1)， (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数表达式得一次函数的表达式为：；将点坐标代入一次函数得出的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得，，，，；求得和的表达式，进而求比值，即可求解； （3）根据中点坐标公式得出点的纵坐标，根据，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即一次函数的表达式为：； 将点坐标代入一次函数表达式得， 将点的坐标代入二次函数 表达式得：， 则即抛物线的表达式为：； （2）证明：由题意可表示有关点的坐标为： ，，，， 则 同理可得： 则为定值； （3）解：点的两点的坐标分别为：， 点纵坐标可表示为 当，即， 解得： ∴二次函数的图象与轴的交点和点， 又若点在轴的上方移动， 当时，； 当时，； 故的取值范围： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$