2025年宁夏中考数学模拟试卷（三）

宁夏回族自治区2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学（三）全解全析 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的概念，求一个数的算术平方根等知识点，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，熟练掌握无理数的定义是解决此题的关键． 【详解】A、2是整数，是有理数，不合题意； B、是整数，是有理数，不合题意； C、是整数，是有理数，不合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故运算错误，不符合题意； B． ，故运算错误，不符合题意； C． ，故运算错误，不符合题意； D． ，运算正确，符合题意． 故选：D． 3．如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（    ）    A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】D 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查用方向角和距离表示位置，根据图示给的信息，作答即可． 【详解】解：由图可知：学校相对于淇淇家的位置的是北偏东； 故选：D． 4．某地一周每天的平均天气（单位：）如下表所示： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 平均天气 29 25 25 29 28 21 25 这组数（平均天气）的平均数是（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】A 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题考查求平均数．直接根据平均数的定义进行求解． 【详解】解：这组数据的平均数， 故选：A． 5．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴、不等式的性质 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据所给数轴，得出及，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给数轴可知， 且，所以故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 由，且得，，即故D选项符合题意． 故选：D． 7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，得到汽车所用时间比骑车学生所用时间少20分钟，列出方程即可． 【详解】解：由题意，所列方程为：； 故选C． 8．如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有 ， ； 故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， 故②正确； ③如图，延长交于， 由①②得： ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， 由①得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， 故③错误； ④由上过程得：， ， ， ， 由③得：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 同理可证：， ， ， 故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．袁隆平同志是我国“共和国勋章”获得者，他的逝世是中国乃至世界的巨大损失，据统计，杂交水稻每亩产的稻谷，可以为中国养活80000000人口，数据80000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：80000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 【答案】0.9 【知识点】由频率估计概率 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作 元． 【答案】 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键，由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】解：收入80元记作元，则支出90元记作， 故答案为：． 12．如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 13．如图，正五边形的边长为2，对角线相交于点O，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】根据多边形的内角和公式可求出正五边形各内角度数，继而证明四边形是菱形，即可求解周长． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；同理可证， ∴四边形为平行四边形，而， ∴四边形是菱形， ∵正五边形的边长为2， ∴四边形的周长为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和问题，涉及平行四边形的、菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和问题，求出正五边形内角的度数是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 15．如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律． 通过归纳出第个数的表达式为进行求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ， 第个数记为， 故答案为：． 16．如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为，点的俯角为．小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害，其中正确的有 ．（填写序号，参考数值：， 【答案】①③④ 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作，垂足为，则，米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，即可判断②； 再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可判断①；通过比较与的长，即可判断③，计算出的值，再和的长比较，即可判断④． 【详解】解：过点作，垂足为， 则，米， 在中，， （米， （米， （米， 故②不正确； 在中，（米， （米， 故①正确； （米， ， 若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响， 故③正确； （米， 米米， 若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害， 故④正确； 小青计算后得到如上结论，其中正确的是：①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17．解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组．分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是． 18．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 19．如图，公园一角有一片空地，记为，公园负责人计划在这片空地中种上红色和黄色的月季花，为体现美观性和整体性，请你帮园丁师傅在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作图，三角形的面积等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】 解： 20．为推进城乡教育均衡发展，我市某公益组织决定向某偏远乡镇学校的教育事业提供大力支持．他们精心准备了一批书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套，以更好地满足学生的阅读需求． (1)求这批物资中书籍和实验器材各有多少套？ (2)为了将这些书籍和实验器材安全、高效地运送到目的地，该公益组织计划同时租用甲、乙两种型号的货车共8辆．每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．请问他们有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种型号的货车每辆需付运费1000元，而乙种型号的货车每辆需付运费900元．请你帮助该组织推荐一种能使运费最少的租车方案，并求最少运费是多少元？ 【答案】(1)240套；120套 (2)4种；方案见解析 (3)租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆；7300元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据“书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套”列方程组求解即可； （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车辆，根据“每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套”列不等式组求解即可； （3）分别计算出（2）中各方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设书籍和实验器材分别为x、y套． 根据题意得：， 解得：， 故书籍和实验器材分别为240套，120套． （2）解：设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车辆． 根据题意得： 解得：， 又∵a取整数， ∴，2，3，4 ，6，5，4， ∴共有4种方案，如下： 方案一：甲1辆，乙7辆； 方案二：甲2辆，乙6辆； 方案三：甲3辆，乙5辆； 方案四：甲4辆，乙4辆； （3）解：方案一所需运费：（元）， 方案二所需运费：（元）， 方案三所需运费：（元）， 方案四所需运费：（元）， 故推荐选择方案一，租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆时，所付运费最少，最少运费是7300元． 21．如图，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 【答案】见详解 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定方法；平行四边形的性质得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，由菱形的判定方法，即可得证；掌握平行四边形的性质，菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 是菱形． 22．为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下： 收集数据 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 80  82  84  85  86  86  88  88  89  90 92  93  94  95  95  95  99  99  100  100 整理、描述数据 按如下分段整理描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 6 a 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 96 八年级 91 b c 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，_________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是_________年级．（填“七”或“八”） (4)若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数． 【答案】(1)4；91；95 (2)七年级甲同学 (3)八 (4)估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布折线图、求中位数、求众数 【分析】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）根据八年级的分数表格得，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值； （2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论； （3）根据根据八年级的分数表格得出不同阶段的学生人数，再根据人数补全图形，观察图形即可求解； （4）用八年级不低于95分的比例乘以总人数即可求解； 【详解】（1）解：由八年级的分数表格得，分数在有4个， ， 八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分， （分）， 八年级成绩的95分出现了3次，次数最多， ， 故答案为：4；91；95； （2）解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前， 理由如下： ∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分， ∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数， ∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前； 故答案为：甲； （3）解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人， 补全图形如图所示： 从统计图来看，分数较整齐的是八年级， 故答案为：八； （4）解：∵样本中八年级不低于95分的有7人， ∴（人）， 答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人． 23．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 24．如图①，在中，，是上两定点，是上一动点，且，的平分线交于点． (1)求证：为上一定点； (2)如图②，当弦经过圆心时，过点作的切线，交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，．证明，即可得到结论； （2）证明，则，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ，为的平分线， ， ， 、是上两定点， 点为的中点，是一定点； （2）如图，连接，，交于点 由题意，得， ， 是的切线，为半径， ， ， 是的直径，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定和性质是关键． 25．【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形中，，，，，且，求旅游景区的最大面积． 【答案】（1）；（2）；，证明见解析；（3）旅游景区的最大面积是 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）设，，，根据“对补四边形”的性质即可求得答案； （2）猜想1：；过点C分别作于E，于F，可证得，可得； 猜想2：；过点A作，垂足为E，作，垂足为F．可证得，得出，，再运用角平分线判定即可证得结论； （3）连接，将绕点A旋转，使与重合，得，过点A作于点N，设，且，则，，，，利用解直角三角形可得： ， ，，，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴或， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若，连接，则平分， 故答案为：； 【推理验证】（2）选择猜想1：； 证明：如图，过点C分别作于E，于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB， ∴，， ∵四边形是“对补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择猜想2：； 证明：如图，过点A作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴平分； 【解决问题】（3）解：如图，连接，将绕点A旋转，使与重合，得，过点A作于点N， 设，且，则，，，， ∵， ∴， ∴C、D、M三点共线， ∵，， ∴CN=MN， 在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴旅游景区的最大面积是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的性质，新定义等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 26．综合与实践 基础尝试 如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； 深入探究 （2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围； 拓展运用 如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止． （3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为（2）（3） 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算 【分析】利用待定系数法求解即可； 由绝对值的性质可得的图象在轴及上方部分，找到翻折后顶点坐标，结合图象确定直线的运动范围，进而即可得解； 首先点的运动的时间值等于折线的长度值，由垂线段最短得出折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段，进而通过求直线交点即可得解． 【详解】解：由抛物线经过，两点可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令， ， ∴， 将，代入直线中，得：，解得， ∴直线的解析式为 由题意得，抛物线变为， 由(1)得，， 对于抛物线，将其化为顶点式， 抛物线的顶点坐标为， 的图象是将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，而轴上方的部分保持不变， 翻折后顶点变为， 要使与一直都有四个交点，那么直线应该在轴和翻折后的抛物线顶点之间，图象如图所示， 的取值范围为． 如图，过点作轴于点，则，，， ， ． 过点作轴交直线于点，则，，如上图， 由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：， ，即运动的时间值等于折线的长度值， 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段． 过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点，如上图， 直线的解析式为， 点横坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏回族自治区2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学（三）参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D A A D C B 1．D 【分析】本题主要考查了无理数的概念，求一个数的算术平方根等知识点，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，熟练掌握无理数的定义是解决此题的关键． 【详解】A、2是整数，是有理数，不合题意； B、是整数，是有理数，不合题意； C、是整数，是有理数，不合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故运算错误，不符合题意； B． ，故运算错误，不符合题意； C． ，故运算错误，不符合题意； D． ，运算正确，符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查用方向角和距离表示位置，根据图示给的信息，作答即可． 【详解】解：由图可知：学校相对于淇淇家的位置的是北偏东； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查求平均数．直接根据平均数的定义进行求解． 【详解】解：这组数据的平均数， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 6．D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据所给数轴，得出及，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给数轴可知， 且，所以故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 由，且得，，即故D选项符合题意． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，得到汽车所用时间比骑车学生所用时间少20分钟，列出方程即可． 【详解】解：由题意，所列方程为：； 故选C． 8．B 【分析】由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有 ， ； 故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， 故②正确； ③如图，延长交于， 由①②得： ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， 由①得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， 故③错误； ④由上过程得：， ， ， ， 由③得：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 同理可证：， ， ， 故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键． 9． 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：80000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．0.9 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 11． 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键，由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】解：收入80元记作元，则支出90元记作， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 13．8 【分析】根据多边形的内角和公式可求出正五边形各内角度数，继而证明四边形是菱形，即可求解周长． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；同理可证， ∴四边形为平行四边形，而， ∴四边形是菱形， ∵正五边形的边长为2， ∴四边形的周长为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和问题，涉及平行四边形的、菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和问题，求出正五边形内角的度数是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律． 通过归纳出第个数的表达式为进行求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ， 第个数记为， 故答案为：． 16．①③④ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作，垂足为，则，米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，即可判断②； 再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可判断①；通过比较与的长，即可判断③，计算出的值，再和的长比较，即可判断④． 【详解】解：过点作，垂足为， 则，米， 在中，， （米， （米， （米， 故②不正确； 在中，（米， （米， 故①正确； （米， ， 若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响， 故③正确； （米， 米米， 若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害， 故④正确； 小青计算后得到如上结论，其中正确的是：①③④， 故答案为：①③④． 17． 【分析】本题考查解一元一次不等式组．分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是． 18．， 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 19．见解析 【分析】本题主要考查作图，三角形的面积等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】 解： 20．(1)240套；120套 (2)4种；方案见解析 (3)租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆；7300元 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据“书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套”列方程组求解即可； （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车辆，根据“每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套”列不等式组求解即可； （3）分别计算出（2）中各方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设书籍和实验器材分别为x、y套． 根据题意得：， 解得：， 故书籍和实验器材分别为240套，120套． （2）解：设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车辆． 根据题意得： 解得：， 又∵a取整数， ∴，2，3，4 ，6，5，4， ∴共有4种方案，如下： 方案一：甲1辆，乙7辆； 方案二：甲2辆，乙6辆； 方案三：甲3辆，乙5辆； 方案四：甲4辆，乙4辆； （3）解：方案一所需运费：（元）， 方案二所需运费：（元）， 方案三所需运费：（元）， 方案四所需运费：（元）， 故推荐选择方案一，租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆时，所付运费最少，最少运费是7300元． 21．见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定方法；平行四边形的性质得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，由菱形的判定方法，即可得证；掌握平行四边形的性质，菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 是菱形． 22．(1)4；91；95 (2)七年级甲同学 (3)八 (4)估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人 【分析】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）根据八年级的分数表格得，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值； （2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论； （3）根据根据八年级的分数表格得出不同阶段的学生人数，再根据人数补全图形，观察图形即可求解； （4）用八年级不低于95分的比例乘以总人数即可求解； 【详解】（1）解：由八年级的分数表格得，分数在有4个， ， 八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分， （分）， 八年级成绩的95分出现了3次，次数最多， ， 故答案为：4；91；95； （2）解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前， 理由如下： ∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分， ∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数， ∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前； 故答案为：甲； （3）解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人， 补全图形如图所示： 从统计图来看，分数较整齐的是八年级， 故答案为：八； （4）解：∵样本中八年级不低于95分的有7人， ∴（人）， 答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人． 23．(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 24．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，．证明，即可得到结论； （2）证明，则，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ，为的平分线， ， ， 、是上两定点， 点为的中点，是一定点； （2）如图，连接，，交于点 由题意，得， ， 是的切线，为半径， ， ， 是的直径，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定和性质是关键． 25．（1）；（2）；，证明见解析；（3）旅游景区的最大面积是 【分析】（1）设，，，根据“对补四边形”的性质即可求得答案； （2）猜想1：；过点C分别作于E，于F，可证得，可得； 猜想2：；过点A作，垂足为E，作，垂足为F．可证得，得出，，再运用角平分线判定即可证得结论； （3）连接，将绕点A旋转，使与重合，得，过点A作于点N，设，且，则，，，，利用解直角三角形可得： ， ，，，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴或， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若，连接，则平分， 故答案为：； 【推理验证】（2）选择猜想1：； 证明：如图，过点C分别作于E，于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB， ∴，， ∵四边形是“对补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择猜想2：； 证明：如图，过点A作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴平分； 【解决问题】（3）解：如图，连接，将绕点A旋转，使与重合，得，过点A作于点N， 设，且，则，，，， ∵， ∴， ∴C、D、M三点共线， ∵，， ∴CN=MN， 在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴旅游景区的最大面积是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的性质，新定义等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 26．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为（2）（3） 【分析】利用待定系数法求解即可； 由绝对值的性质可得的图象在轴及上方部分，找到翻折后顶点坐标，结合图象确定直线的运动范围，进而即可得解； 首先点的运动的时间值等于折线的长度值，由垂线段最短得出折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段，进而通过求直线交点即可得解． 【详解】解：由抛物线经过，两点可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令， ， ∴， 将，代入直线中，得：，解得， ∴直线的解析式为 由题意得，抛物线变为， 由(1)得，， 对于抛物线，将其化为顶点式， 抛物线的顶点坐标为， 的图象是将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，而轴上方的部分保持不变， 翻折后顶点变为， 要使与一直都有四个交点，那么直线应该在轴和翻折后的抛物线顶点之间，图象如图所示， 的取值范围为． 如图，过点作轴于点，则，，， ， ． 过点作轴交直线于点，则，，如上图， 由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：， ，即运动的时间值等于折线的长度值， 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段． 过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点，如上图， 直线的解析式为， 点横坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏回族自治区2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学（三） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（    ）    A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 4．某地一周每天的平均天气（单位：）如下表所示： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 平均天气 29 25 25 29 28 21 25 这组数（平均天气）的平均数是（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 5．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．袁隆平同志是我国“共和国勋章”获得者，他的逝世是中国乃至世界的巨大损失，据统计，杂交水稻每亩产的稻谷，可以为中国养活80000000人口，数据80000000用科学记数法表示为 ． 10．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作 元． 12．如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 13．如图，正五边形的边长为2，对角线相交于点O，则四边形的周长为 ． 14．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 15．如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ． 16．如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为，点的俯角为．小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害，其中正确的有 ．（填写序号，参考数值：， 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17．解不等式组：． 18．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 19．如图，公园一角有一片空地，记为，公园负责人计划在这片空地中种上红色和黄色的月季花，为体现美观性和整体性，请你帮园丁师傅在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 20．为推进城乡教育均衡发展，我市某公益组织决定向某偏远乡镇学校的教育事业提供大力支持．他们精心准备了一批书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套，以更好地满足学生的阅读需求． (1)求这批物资中书籍和实验器材各有多少套？ (2)为了将这些书籍和实验器材安全、高效地运送到目的地，该公益组织计划同时租用甲、乙两种型号的货车共8辆．每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．请问他们有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种型号的货车每辆需付运费1000元，而乙种型号的货车每辆需付运费900元．请你帮助该组织推荐一种能使运费最少的租车方案，并求最少运费是多少元？ 21．如图，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 22．为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下： 收集数据 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 80  82  84  85  86  86  88  88  89  90 92  93  94  95  95  95  99  99  100  100 整理、描述数据 按如下分段整理描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 6 a 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 96 八年级 91 b c 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，_________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是_________年级．（填“七”或“八”） (4)若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数． 23．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24．如图①，在中，，是上两定点，是上一动点，且，的平分线交于点． (1)求证：为上一定点； (2)如图②，当弦经过圆心时，过点作的切线，交的延长线于点，求证：． 25．【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形中，，，，，且，求旅游景区的最大面积． 26．综合与实践 基础尝试 如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； 深入探究 （2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围； 拓展运用 如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止． （3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏回族自治区2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学（三） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（    ）    A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 4．某地一周每天的平均天气（单位：）如下表所示： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 平均天气 29 25 25 29 28 21 25 这组数（平均天气）的平均数是（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 5．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．袁隆平同志是我国“共和国勋章”获得者，他的逝世是中国乃至世界的巨大损失，据统计，杂交水稻每亩产的稻谷，可以为中国养活80000000人口，数据80000000用科学记数法表示为 ． 10．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作 元． 12．如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 13．如图，正五边形的边长为2，对角线相交于点O，则四边形的周长为 ． 14．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 15．如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ． 16．如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为，点的俯角为．小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害，其中正确的有 ．（填写序号，参考数值：， 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17．解不等式组：． 18．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 19．如图，公园一角有一片空地，记为，公园负责人计划在这片空地中种上红色和黄色的月季花，为体现美观性和整体性，请你帮园丁师傅在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 20．为推进城乡教育均衡发展，我市某公益组织决定向某偏远乡镇学校的教育事业提供大力支持．他们精心准备了一批书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套，以更好地满足学生的阅读需求． (1)求这批物资中书籍和实验器材各有多少套？ (2)为了将这些书籍和实验器材安全、高效地运送到目的地，该公益组织计划同时租用甲、乙两种型号的货车共8辆．每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．请问他们有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种型号的货车每辆需付运费1000元，而乙种型号的货车每辆需付运费900元．请你帮助该组织推荐一种能使运费最少的租车方案，并求最少运费是多少元？ 21．如图，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 22．为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下： 收集数据 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 80  82  84  85  86  86  88  88  89  90 92  93  94  95  95  95  99  99  100  100 整理、描述数据 按如下分段整理描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 6 a 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 96 八年级 91 b c 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，_________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是_________年级．（填“七”或“八”） (4)若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数． 23．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24．如图①，在中，，是上两定点，是上一动点，且，的平分线交于点． (1)求证：为上一定点； (2)如图②，当弦经过圆心时，过点作的切线，交的延长线于点，求证：． 25．【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形中，，，，，且，求旅游景区的最大面积． 26．综合与实践 基础尝试 如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； 深入探究 （2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围； 拓展运用 如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止． （3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$