第09讲 复数的四则运算（六大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第09讲 复数的四则运算 学习目标： 1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义； 2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算； 3.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律 重点难点： 重点：1.复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律; 2.复数加、减运算的几何意义 难点:1.复数减法的运算法则; 2.复数除法的运算法则 一、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 二、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 考点01 复数的加减运算 1．已知复数为纯虚数，则的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．已知复数，则（    ） A．2 B． C． D．3 3．（多选）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．已知，，为实数，若，求 考点02 复数加减运算的几何意义 6．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 7．已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 8．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 9．已知复数满足，则的取值范围是 ． 10．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点03 复数的乘法运算 11．复数的虚部是实部的（    ） A． B．倍 C． D．2倍 12．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．对向量，，若，则或 B．对复数，，若，则或 C．对向量，，若，则 D．对复数，，若，则 13．已知a，b均为实数，，则 . 14．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 15．（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 考点04 复数的除法运算 16．设，则（   ） A． B． C． D． 17．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 18．（多选）若复数z满足，则下列命题正确的有（   ） A．z的虚部是 B． C． D．复数z在复平面内对应的点位于第三象限 19．已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位）， （1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． （2）若复数z1＝cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求复数|z﹣z1|的取值范围． 20．（1）计算：； （2）已知，求的模． 考点05 在复数范围内解方程 21．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．设复数和分别是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 23．（多选）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 24．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 25．已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 考点06 复数的综合运用 26．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（多选）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 28．设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 29．（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 30．对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 基础试炼 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．10 B． C．5 D． 3．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．为纯虚数 C．的虚部为 D． 4．已知复数z与都是纯虚数（为虚数单位），则（    ） A．i B． C．2i D． 5．已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知复数，则（     ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 7．（多选）已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 8．复数的虚部为 . 9．= . 10．计算下列各题． (1)； (2)． 11．设复数，其中、，且．求证：是纯虚数． 高阶突破 1．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．设复数满足，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．直线上 D．直线上 3．（多选）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 4（多选）．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 5．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 6．，若与关于复平面虚轴对称，则 ． 7．已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第09讲 复数的四则运算 学习目标： 1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义； 2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算； 3.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律 重点难点： 重点：1.复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律; 2.复数加、减运算的几何意义 难点:1.复数减法的运算法则; 2.复数除法的运算法则 一、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 二、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 考点01 复数的加减运算 1．已知复数为纯虚数，则的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为为纯虚数， 所以的虚部为． 故选:B． 2．已知复数，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为，所以, 则. 故选：C. 3．（多选）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 5．已知，，为实数，若，求 【答案】. 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 考点02 复数加减运算的几何意义 6．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 7．已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 8．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 【答案】9π 【详解】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 故答案为：9π 9．已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则表示点到三顶点、、的距离之和. 依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则. 此时. 故选：B. 考点03 复数的乘法运算 11．复数的虚部是实部的（    ） A． B．倍 C． D．2倍 【答案】D 【详解】解：因为，且， 所以的虚部是实部的2倍． 故选：D 12．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．对向量，，若，则或 B．对复数，，若，则或 C．对向量，，若，则 D．对复数，，若，则 【答案】BC 【详解】对于A项，因为， 所以或或，故A项错误； 对于B项，设（），（）， 则， 所以，解得或， 即或，故B项正确； 对于C项，因为， 所以，所以，故C项正确； 对于D项，若，，则满足， 但此时，故D项错误. 故选：BC. 13．已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 14．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 【答案】 【详解】复数对应的点的坐标是， 则 则． 故答案为：. 15．（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【详解】对于A，设，显然，但，故A错误； 对于B，设，，则， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量， 为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度， 所以，故D正确. 故选：BD. 考点04 复数的除法运算 16．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以， 故选：B. 17．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】∵，， 因为为纯虚数， 故选：D 18．（多选）若复数z满足，则下列命题正确的有（   ） A．z的虚部是 B． C． D．复数z在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】ABC 【详解】由，得， 所以的虚部是，故A正确；，故B正确； 则，故C正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为在第四象限，故D错误； 故选：ABC 19．已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位）， （1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． （2）若复数z1＝cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求复数|z﹣z1|的取值范围． 【答案】（1）2＜a＜6；（2）． 【详解】解：z是复数，、均为实数， 设z＝x﹣2i，则， ,． （1）复数（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝16﹣（2﹣a）2﹣8（2﹣a）i． 复平面上对应的点在第一象限． ，解得2＜a＜6． （2）复数（0≤θ≤π）， 复数． 其中，且为锐角，， 当时，左侧取等号，当时右侧取等号， ． 复数|z﹣z1|的取值范围：． 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用以及复数的模的求法．关键易错点是误认为的值域一定是[-1,1],要注意先确定的正余弦和范围，再根据的范围确定的范围，从而求得. 20．（1）计算：； （2）已知，求的模． 【答案】（1）0；（2）． 【详解】（1）原式． （2）， 的模为． 考点05 在复数范围内解方程 21．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为是关于方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得， 故选：D 22．设复数和分别是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，可得， 不妨取，，所以，，因此，. 故选：A. 23．（多选）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设， 因为为方程的根，且，则， 所以，即， 解得或， 所以，则； ，所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 24．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】 已知，是方程的两个复根，所以， 则设，，所以， 故选：B. 25．已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）当时，，则方程的根为 即 （2）有一对共轭虚根，所以，即. ∴， 整理得，即,解得：或. 故或. 考点06 复数的综合运用 26．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 解：设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 27．（多选）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 解：对于A，设，则， 所以为实数，所以A正确； 对于B，设，则，但且，所以B错误； 对于C，设， 则 ， 又，则，所以C正确； 对于D，设，， 则，， 则 ， 故 ，所以D正确. 故选：ACD. 28．设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 解：由题意为虚数，所以，从而由题意集合中唯一的正实数相等，即，所以， 若，则或，不合题意，舍去， 因此，由共轭复数的性质有， 设且，由得， 所以，由于，故解得，， 故选：A． 29．（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 解：对于A，设，显然，但，故A错误； 对于B，设，，则， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量， 为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度， 所以，故D正确. 故选：BD. 30．对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 解：（1）由，得， ，， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上，. （2）， 存在，使得． 于是对任意，， 由于是正奇数，， . 基础试炼 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以． 故选：C． 2．已知，则（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解法一：由，得， 所以， 解法二：因为， 所以， 故选：A. 3．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．为纯虚数 C．的虚部为 D． 【答案】D 【详解】由可得， 对于A，，A错误， 对于B，不是纯虚数，B错误， 对于C，的虚部为，C错误， 对于D，，D正确， 故选：D 4．已知复数z与都是纯虚数（为虚数单位），则（    ） A．i B． C．2i D． 【答案】A 【详解】因为复数z是纯虚数， 设，则， 又因为复数是纯虚数， 则，解得，所以. 故选：A. 5．已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 则，∴，则复数的虚部为. 故选：B． 6．（多选）已知复数，则（     ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】BD 【详解】因为，所以， 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故AC错误，BD正确． 故选：BD. 7．（多选）已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 【答案】BD 【详解】对于A选项，因为，则， 可得，所以，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，的虚部为，C错； 对于D选项，由复数的几何意义可得，D对. 故选：BD. 8．复数的虚部为 . 【答案】/ 【详解】， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 9．= . 【答案】 【详解】观察原式 ． 故答案为： 10．计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 11．设复数，其中、，且．求证：是纯虚数． 【答案】见解析 【详解】复数，其中、，且， ， ， 显然，是纯虚数． 高阶突破 1．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设. 则， ，则，故A正确； 对于B，平移向量，，使两复数在复平面对应向量起点相同， 则对应向量为由对应向量终点指向对应向量终点所形成的向量， 若对应的向量不共线，则向量，，对应图形可组成三角形， 由三角形三边关系可得：， 若对应的向量共线，且方向相反，则， 若对应的向量共线同向，则, 综上，，故B正确； 对于C，令，，则， 但，，，故C错误； 对于D，因，， 则. 故D正确. 故选：ABD 2．设复数满足，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．直线上 D．直线上 【答案】A 【详解】对于复数，，其共轭复数. . 因，由，可得. 因为等式右边，所以，即. 对两边同时平方得，即. 两边同时开平方得，又因为， 所以复数在复平面内对应的点在射线上. 故选：A. 3．（多选）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】． ， ． 而，在取值范围内，故B，D正确. 故选：BD 4（多选）．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，显然为纯虚数，故A正确； 对于B，，其共轭复数为，故B错误； 对于C，因， 故， 因，则，故的最大值为，故C错误； 对于D，由，则有，由，则有， 于是，,则，设, 则，故， 则△面积为， 因，,故△面积的最大值为,故D正确. 故选：AD. 5．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则 又，得到， 所以，所以或，得到， 所以. 故选：B. 6．，若与关于复平面虚轴对称，则 ． 【答案】或或. 【详解】设，则， 因为，所以，① 因为与关于复平面虚轴对称， 所以，② 由①②解得或， 所以当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时. 故答案为：或或. 7．已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$