精品解析：江苏省宿迁市南京师范大学附属中学宿迁分校2024-2025学年九年级下学期2月月考数学试卷

2024—2025学年度第二学期九年级2月份练习 数学试卷 （时长：120分钟，总分：150分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占，将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C D. 6. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 立方根是______． 10. 分解因式：_____________． 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 12. 正六边形的一个内角的度数为________°． 13. 方程的解为___________. 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 15. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为________． 16. 如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径______． 17. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 18. 如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．当取最小值时，则的长是________． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值： ，其中 21. 如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 22. 美育是传承中华文明重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）扇形统计图中，徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是多少？ （3）该校共有1400名学生，请你估计选择A徽标的学生有多少人？ 23. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 24. 如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离． （参考数据：，，．） 25. 某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售30天中，第天（且为整数）的售价为（元/千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第天的销售额为（元）． （1）_____，_____； （2）写出第天的销售额与之间的函数关系式； （3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 26. 如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27. 【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，． 【解决问题】 （1）求的长以及的值； （2）当点与点重合时，求的长； （3）设直线与直线相交于点，当时，求的长（直接写结果）． 28. 学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线． （1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； （2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求证：； ②当时，请用合适的式子表示（直接写结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期九年级2月份练习 数学试卷 （时长：120分钟，总分：150分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占，将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 6. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 7. 已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 8. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数立方根，根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据题意，提取公因式，即可求解． 【详解】解：, 故答案为： ． 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 12. 正六边形的一个内角的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 所以每一个内角的度数为． 故答案为：120． 13. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 15. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，根据旋转的性质可得BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，CA＝CE，∠ACE＝90°，从而求出BD，∠CAE＝∠E＝45°，进而可得∠BAD＝90°，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接BD， 由旋转得： BC＝CD＝2，∠BCD＝90°， ∴BD＝， 由旋转得： CA＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠E＝45°， 由旋转得： ∠CAB＝∠E＝45°， ∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝1， ∴AD＝ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 16. 如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】∵， ∴； ； ； ； 可知三个数一个循环， ， ∴． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．当取最小值时，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质．根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过作于，证明得，再将沿方向平移至，连接，当、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】解：过作于，则，， 正方形的边长为8， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ，． 故答案为：． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值： ，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： = = =， 当时，原式=． 21. 如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 22. 美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）扇形统计图中，徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是多少？ （3）该校共有1400名学生，请你估计选择A徽标的学生有多少人？ 【答案】（1）图见解析 （2） （3）595人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）用徽章投票数除以所占的比例求出总数，进而求出徽章的投票数，补全条形图即可； （2）用360度乘以徽标投票数所占的比例进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 则：徽章的投票数为：；补全条形图如图： 【小问2详解】 ； 答：徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是； 【小问3详解】 （人）； 答：估计选择A徽标的学生有595人． 23. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】（1）0.3 （2） 【解析】 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； 【小问2详解】 解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 24. 如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离． （参考数据：，，．） 【答案】港口到航线的距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作航线于点，过点作，过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】解：过点作航线于点，过点作，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， 由题意，得：，设，则： 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 即：港口到航线的距离为． 25. 某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天（且为整数）的售价为（元/千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第天的销售额为（元）． （1）_____，_____； （2）写出第天的销售额与之间的函数关系式； （3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 【答案】（1）；30 （2） （3）共有7天销售额超过500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能正确理解题意是关键． （1）依据题意得，计算即可得解； （2）依据题意，当时，由（1）得，从而计算可得；再由当时，，进而可以得解； （3）依据题意，分和两种情况进行判断即可计算得解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 故答案为：；30； 【小问2详解】 解：由题意知，当时，由（1）得， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：由题意知，当时，， ， 当时，取最大值为400， 此时销售额不超过500元， 当时，令， ， 共有7天销售额超过500元． 26. 如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理和相似三角形的判定和性质： （1）连接，等边对等角，结合圆周角定理推出，即可得证； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则：， ∴， ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，． 【解决问题】 （1）求的长以及的值； （2）当点与点重合时，求的长； （3）设直线与直线相交于点，当时，求的长（直接写结果）． 【答案】（1）10， （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，证明四边形为正方形，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，求出三角函数值即可； （2）连接，设，根据旋转的性质和勾股定理列出方程进行求解即可； （3）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可． 【小问1详解】 解：过点作， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵翻折， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则：， 在中：， 在中：， ∴， ∴， 解得：； ∴； 【小问3详解】 ①如图，当点F在上时，如下图： 由(1)可知，， ∵ ∴，， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，，． ∵， ∴，， ∴在中，，， 则， 解得：， ②如图，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 同理：在中，， 则 解得， 则， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，折叠问题，熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 28. 学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线． （1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； （2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求证：； ②当时，请用合适式子表示（直接写结果）． 【答案】（1），； （2）①详见解析；② 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似和三角形全等： （1）抛物线的对称轴为，即为，根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为，进而求解； （2）①证明，即可求解； ②当且时，证明，则 ，即可求解；当时，同理可解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线：，即为． 根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为． 将点A的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即抛物线的对称轴为直线，； 【小问2详解】 解：∵， ∴图象“W”的解析式为； ①证明：当 时，图象“C”的解析式为 ． 设直线的解析式为． 当时， 解得或 ， ∴点C的横坐标为． 当 时， 解得（舍去）或 ， ∴点P的横坐标为 ． 当 时， 解得 或 ， ∴点D的横坐标为 ． 如图1，作轴，过点C作轴交于点M， 作 轴，过点D作 交于点N． 由各点横坐标可得：，， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ②当且时，图象“G”的解析式为 且． 由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为． 当 且时，解得：． ∴．点D的横坐标为 ． 当时，如图2，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T． 由各点的横坐标可知 ，． ∵， ∴． ∴． 则 ． 当时，如图3，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T． 由各点的横坐标可知 ，， ∵， ∴， ∴． 则． 综上所述，用含a的式子表示 为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$