专题7.1 两个基本计数原理（五个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题7.1 两个基本计数原理 一、分类加法计数原理 四、涂色问题 二、分步乘法计数原理 五、组数问题 三、抽取与分配问题 知识点1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法知识点2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 知识点3计数原理的综合应用 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 （1）弄清完成一件事是做什么；（2）确定是先分类后分步,还是先分步后分类； （3）弄清分步、分类的标准是什么；（4）利用两个计数原理求解. 重难点一、分类加法计数原理 1．在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种． 2．已知集合A⫋，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的四位偶数有 个． 4．集合，则的元素两两互素的三元子集个数为 ． 5．定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 利用分类加法计数原理计数时的解题步骤： ①分类:将完成这件事的方法分成若干类；②计数:求出每一类的方法数.③结论:将每一类的方法数相加得出结果. 重难点二、分步乘法计数原理 6．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有 种不同的排法． 7．同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（    ） A．64个 B．128个 C．196个 D．256个 8．在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种． 9．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 种可能的结果． 10．有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 利用分步乘法计数原理计数时的解题步骤： ①分步:将完成这件事的过程分成若干步；②计数:求出每一步的方法数；③结论:将每一步中的方法数相乘得出最终结果. 重难点三、抽取与分配问题 11．某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（    ） A．9种 B．11种 C．44种 D．45种 12．某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 13．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种． A．20 B．40 C．60 D．80 14．从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（    ） A．16 B．48 C．75 D．96 ①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的则分步进行;若是按对象特征抽取的，则分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 重难点四、涂色问题 16．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 17．用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ） A．14种 B．16种 C．20种 D．18种 18．已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 19．如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法；（用数字作答） 20．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ． 1.按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析; 2.以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析; 3.对于空间涂色问题，通常将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题来解决. 重难点五、组数问题 21．用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 22．已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ (3)可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？ (4)可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？ 23．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有 个． 24．为方便识别某种商品，某商家给该商品编号，该商品可分A，B，C，D四个等级，每个等级下用0，1，2，…，9这10个数字组成一个双位数（可重复使用），例如其中一个商品的编码可以为，则共有 种不同的编码 25．（多选）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（   ） A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个 C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个 首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数，两位及其以上的数首位数字不能是0,被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除，等等;最后先分类再分步，从特殊数字或特殊位置入手进行组数. 一、单选题 1．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 2．数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（   ） A．24个 B．12 C．9个 D．6个 3．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 4．某中学迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品，乙同学喜欢作品，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（    ） A．50种 B．48种 C．40种 D．30种 5．为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（    ） A．210种 B．336种 C．504种 D．672种 6．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 二、多选题 7．从集合中任取两个互不相等的数组成复数，下列说法错误的有（    ） A．其中虚数有30个 B．其中虚数有42个 C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个 8．一个袋子中有4个白球，个黄球，采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，已知取出的2个球颜色不同的概率为，则（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 三、填空题 9．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为 ，从第层各取1本书，不同的取法种数为 ． 10．对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数为 ． 11．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（，）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花． （1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有 种不同的种植方法； （2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有 种不同的种植方法． 四、解答题 12．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 13．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数． 14．为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 15．某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ (3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 两个基本计数原理 一、分类加法计数原理 四、涂色问题 二、分步乘法计数原理 五、组数问题 三、抽取与分配问题 知识点1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 知识点2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 知识点3计数原理的综合应用 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 （1）弄清完成一件事是做什么；（2）确定是先分类后分步,还是先分步后分类； （3）弄清分步、分类的标准是什么；（4）利用两个计数原理求解. 重难点一、分类加法计数原理 1．在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种． 【答案】5 【详解】要完成的事是闭合开关使灯泡发光，完成这件事的方案可分两类： 第1类，闭合开关组中的一个开关，有2种方法． 第2类，闭合开关组中的一个开关，有3种方法． 因此接通电源使灯泡发光的方法种数为． 故答案为： 5. 2．已知集合A⫋，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 故选：D． 3．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的四位偶数有 个． 【答案】7 【详解】由四位数是偶数知，最后一位是2． 在四位数中，当出现1个1时，有1222，2122，2212，共3个四位偶数； 当出现2个1时，有1122，1212，2112，共3个四位偶数； 当出现3个1时，只有1112这1个四位偶数． 故数字1，2都出现的四位偶数有（个）． 故答案为：7. 4．集合，则的元素两两互素的三元子集个数为 ． 【答案】42 【详解】符合题意的三元素子集可分为两类， 第一类：子集中的三个元素为三个奇数，此时有（个）； 第二类：子集中的三个元素为两个奇数一个偶数，按照选择的偶数分类计算可得（个）． 由计数原理可得，共有（个）． 故答案为：42. 5．定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 【答案】D 【详解】按照百位数字进行分类讨论： 当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种； 当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种； 当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种； 当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种； 总共有种. 故选：D. 利用分类加法计数原理计数时的解题步骤： ①分类:将完成这件事的方法分成若干类；②计数:求出每一类的方法数.③结论:将每一类的方法数相加得出结果. 重难点二、分步乘法计数原理 6．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有 种不同的排法． 【答案】1280 【详解】完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法计数原理，分步进行： 第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法， 依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法， 所以共有种不同的排法． 故答案为：1280 7．同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（    ） A．64个 B．128个 C．196个 D．256个 【答案】D 【详解】个位数的选择：由于是偶数且个位不能为0，个位只能是2、4、6、8中的一个，共有4种选择. 百位数的选择：百位不能为0，且不能与个位数字重复.因此，对于每个个位数，百位有8种选择（1-9中排除个位数）. 十位数的选择：十位可以是0-9中排除百位和个位已经使用的数字，剩下的8种选择. 根据分步乘法计数原理同时满足题设三个条件得数得总个数为 种. 故选：D. 8．在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种． 【答案】6 【详解】由题意可知，在该电路中，只有先闭合组2个开关中的任意1个， 再闭合组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光． 因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为． 故答案为：6. 9．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 种可能的结果． 【答案】 81 64 【详解】要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事， 因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步． 又每人可在三项中选一项，选法为3种， 所以共有种报名方法． 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 因为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有种可能的结果． 故答案为：81；64 10．有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 利用分步乘法计数原理计数时的解题步骤： ①分步:将完成这件事的过程分成若干步；②计数:求出每一步的方法数；③结论:将每一步中的方法数相乘得出最终结果. 重难点三、抽取与分配问题 11．某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（    ） A．9种 B．11种 C．44种 D．45种 【答案】D 【详解】除抽到自己的人，其它4人各写一张贺年卡集中起来，再每人从中抽取一张， 标记这4人为B、C、D、E，其对应的贺卡为b、c、d、e， 则4人均未抽到自己的贺年卡情况如下列树状图所以： 由树状图可知，这4人均未抽到自己贺卡情况下抽到的贺年卡情况共有9种， 所以5人各写一张贺年卡，集中起来再每人从中抽取一张，恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有种. 故选：D. 12．某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 【答案】 【详解】先在7种颜色花朵中选1种给教师，有7种选法； 然后在剩下的6种颜色花朵中选1种给教师，有6种选法； 最后在剩下的5种颜色花朵中选2朵（可以相同）给教师和，有种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种分配花朵的方式． 故答案为：． 13．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种． A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【详解】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案； 再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，若女生都在同一小组，共有种分配方案， 故保证每个小组都有女生，共有种分配方案； 所以共有种分配方案. 故选：C. 14．从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（    ） A．16 B．48 C．75 D．96 【答案】B 【详解】有放回三次抽取的数字中，2只出现一次，按抽取的顺序有3种方法，另两次抽取的数字各有4种方法， 所以不同取法总数是. 故选：B 15．（1993·全国·高考真题）同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片, 故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法, 所以共有种分配方式. 故选：B. ①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的则分步进行;若是按对象特征抽取的，则分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 重难点四、涂色问题 16．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 【答案】B 【详解】将“田”字型的4个小方格分别编号为，如下图所示： 根据题意，将问题分成4步进行， 第一步：涂方格A，共有5种颜色选择， 第二步：涂方格B，需与A不同，共有4种颜色选择， 第三步：涂方格C，若方格C与方格B颜色相同，只有1种选择；若方格C与方格B颜色不同，则有3种选择； 第四步：涂方格D，当方格C与方格B颜色相同，方格D有4种颜色选择；当方格C与方格B颜色不同，方格D有3种颜色选择， 因此可得不同的涂色方法共有种. 故选：B 17．用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ） A．14种 B．16种 C．20种 D．18种 【答案】D 【详解】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法， 当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法， 所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种. 故选：D. 18．已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 【答案】C 【详解】依题意，分5步依次对涂色， 所以不同的涂色方法有（种）. 故选：C 19．如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法；（用数字作答） 【答案】144 【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种. 故答案为：144种. 20．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ． 【答案】 【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择； 再涂点，有种颜色可供选择； 接着涂点，有种颜色可供选择； 最后涂点，只有种颜色可供选择； 综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有. 故答案为：. 1.按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析; 2.以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析; 3.对于空间涂色问题，通常将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题来解决. 重难点五、组数问题 21．用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 【答案】B 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 22．已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ (3)可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？ (4)可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？ 【答案】(1)个； (2)个； (3)个； (4)个. 【详解】（1）分3步: ①先选百位数字有5种选法；②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个 （2）分3步： ①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； ②再选百位数字有4种选法； ③十位数字也有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个. （3）分3类： ①一位数，共有6个； ②两位数，先选十位数字，有种选法；再选个位数字也有种选法，共有个； ③三位数，先选百位数字，有种选法；再选十位数字也有种选法；再选个位数字，有种选法，共有个； 因此，比1 000小的自然数共有个． （4）分4类： ①千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个； ②千位数字为，百位数字为之一时，共有个； ③千位数字为，百位数字是，十位数字为之一时，共有个； ④也满足条件； 故所求四位数共有个. 23．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有 个． 【答案】 【详解】比2000大，故千位为2，3，4， 若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数． 根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数． 故答案为： 24．为方便识别某种商品，某商家给该商品编号，该商品可分A，B，C，D四个等级，每个等级下用0，1，2，…，9这10个数字组成一个双位数（可重复使用），例如其中一个商品的编码可以为，则共有 种不同的编码 【答案】400 【详解】先选等级，共4种情况； 后选一个双位数，这个双位数的第1位和第2位各有10种情况，故双位数的情况有种， 故不同的编码的情况数共计为． 故答案为：400. 25．（多选）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（   ） A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个 C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个 【答案】AB 【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确； 对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确； 对于C，若个位数为0，则有（个）， 若个位数不为0，则有（个）， 所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误； 对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误． 故选：AB 首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数，两位及其以上的数首位数字不能是0,被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除，等等;最后先分类再分步，从特殊数字或特殊位置入手进行组数. 一、单选题 1．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 【答案】A 【详解】由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有种不同的参赛方法； 故选：A 2．数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（   ） A．24个 B．12 C．9个 D．6个 【答案】C 【详解】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数， 当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数， 所以组成不同的三位数有9个. 故选：C 3．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意三位的回文数中个位与百位的数字相同，十位与个位的数字不同， 由于三位数字首位即百位不能为0，故个位与百位相同且不为0，十位数字可以为0，但不能与个位（百位)相同. 若满足三位的回文数是奇数，则个位能选择的数字有，共种不同选择， 十位上的数字在个位数字确定之后只能从剩余的数字和0共9个数字中选择，就只有中选择， 根据乘法计数原理，是奇数的三位回文数共有个数字； 三位的回文数个位和百位相等不能为0，共有9种不同取法， 取定后，十位必须从其它的数字(包括0在内)任取一个，有9种不同的取法， 根据乘法计数原理，三位回文数共有个， 所以从三位数的回文数中任取一个数，取出的数为奇数的概率为. 故选：D. 【点睛】 4．某中学迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品，乙同学喜欢作品，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（    ） A．50种 B．48种 C．40种 D．30种 【答案】C 【详解】若甲选A，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 若甲选B，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 综上可得一共有40种不同的选法. 故选：C 5．为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（    ） A．210种 B．336种 C．504种 D．672种 【答案】C 【详解】原来的个节日形成个空，插入第一个节目，共有种结果， 原来的个和刚插入的一个，形成个空，插入第二个节目有种结果， 同理插入最后一个节目有种结果，根据分步乘法计数原理得到不同的安排方式有种． 故选：C． 6．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 二、多选题 7．从集合中任取两个互不相等的数组成复数，下列说法错误的有（    ） A．其中虚数有30个 B．其中虚数有42个 C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个 【答案】ABD 【详解】根据选项，可知本题只考虑为虚数， 则虚数虚部不能为0，第一步选虚部，有6种选择； 第二步，选择实部，有6种选择. 根据分步乘法计数原理可得，虚数有36个，故A、B、D错误，C正确. 故选：ABD. 8．一个袋子中有4个白球，个黄球，采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，已知取出的2个球颜色不同的概率为，则（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】AB 【详解】设从个球不放回地随机取出2个的可能总数为，事件“两次取出的球颜色不同”， 则，， 则，解得或. 故选：AB. 三、填空题 9．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为 ，从第层各取1本书，不同的取法种数为 ． 【答案】 15 120 【详解】由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为． 由分步乘法计数原理知，从层各取1本书，不同的取法种数为． 故答案为：15，120 10．对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数为 ． 【答案】91 【详解】当时，任取一个值，直线都是一条； 当时，任取一个值，直线有条； 所以不同的直线条数为. 故答案为：91. 四、解答题 11．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（，）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花． （1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有 种不同的种植方法； （2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有 种不同的种植方法． 【答案】 6 18 【详解】（1）先种植部分，有3种不同的种植方法，再种植，部分． 因为，与的颜色不同，，的颜色也不同， 所以由分步乘法计数原理得，不同的种植方法有（种）． （2）当，不同色时，有种种植方法， 当，同色时，有种种植方法， 由分类加法计数原理得，共有种种植方法． 故答案为：6；18. 12．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 【答案】 【详解】分三类： 第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4321，4320，4310，4210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5432，5431，5430，5421，5420，5410，5321，5320，5310，5210，共10个． 由分类加法计数原理，共有（个）“渐降数”． 13．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数． 【答案】(1)27 (2)37 【详解】（1）1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2，3，4号盒子中，有（种）放法． （2）1号盒中有球可分三类：一类是1号盒中有一个球，共有（种）放法，一类是1号盒中有两个球，共有（种）放法，一类是1号盒中有三个球，有1种放法． 共有（种）放法． 14．为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 【答案】114种 【详解】由题意知，每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3的形式． 不妨设红的3个，七个位置分别用1，2，3，4，5，6，7表示， 那么红的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种， 其中135，136，146，247，257，357会留下4个空，两个不相邻，两个相邻，连续的不能放一样的颜色， 那么就必须一蓝一黄，剩下两个一黄一蓝放到剩下两个不相邻的空里，各4种. 147留4个空，两个两个相邻，共4种放法. 137，157，四个空中3个相邻，一个分开，各2种放法. 246，四个空都分开，有6种放法． 所以共有种， 当黄或蓝有3个时，总数一样，故一共有种不同的放法． 15．某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ (3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？ 【答案】(1)47 (2)5292种 (3) 【详解】（1）从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法， 从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法． 任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人， 这件“任选1人去献血”的事情都可以完成， 所以用分类计数原理．有28+7+9+3＝47种不同选法． （2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后， 这种“各选1人去献血”的事情才完成， 所以用分步计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同选法． （3）这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$