热点03 正余弦定理解三角形（9大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

热点03 正余弦定理解三角形 考点一、余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 3.解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 考点二、正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 考点三、实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 热点一 余弦定理解三角形 例1．（多选）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 例2．锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1.8 B．2 C．3 D．4 变式1-1．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 变式1-2．在中，，，则的一个取值可以为 . 变式1-3．已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（    ） A． B． C． D． 热点二 正弦定理解三角形 例3．（多选）在中，若，，，则a等于（   ） A． B． C． D． 例4．在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 变式2-1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D． 变式2-2．在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3．在中，角所对的边分别为，，已知，，，则 . 热点三 三角形解的个数判断 例5．设的内角的对边分别为，若，则 ． 例6．（多选）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 变式3-1．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 热点四 正余弦定理边角互化 例7．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（    ） A．0 B． C． D． 例8．中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则 ． 变式4-2．在中，角所对的边分别为，且，则 ． 变式4-3．已知内角所对的边长分别为，求. 热点五 三角形的面积问题 例9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，，求的面积 例10．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为．求的周长． 变式5-1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积． (1)求A； (2)若，求． 变式5-2．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 .    变式5-3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 热点六 多边形的形状判断 例11． 的内角的对边分别为，若，判断的形状． 例12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 变式6-1．已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 变式6-2．（多选）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 热点七 解三角形的实际应用——测量距离 例13．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 例14．如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为 海里.    变式7-1．如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 变式7-2．如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式7-3．如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 热点八 解三角形的实际应用——测量高度 例15．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 例16．数学源于生活又服务于生活，某中学“数学与生活”兴趣小组成员在研学过程中，发现研学地的河对岸有一古塔（如图），于是提出如何利用数学知识解决塔高的问题.其中同学甲提出如下思路：选取与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，m，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高约为（    ）取） A．m B．m C．m D．m 变式8-1．如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点C，D，E处测得点A的仰角分别为，且，则古塔高度约为（  ）（结果保留整数）（参考数据：） A．69m B．70m C．73m D．75m 变式8-2．如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（    ） A． B． C． D． 变式8-3．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.    热点九 解三角形的实际应用——测量角度 例17．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 例18．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得灯塔底部在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，此时测得灯塔底部在北偏东方向上，测得塔顶的仰角为，已知灯塔高为． (1)求巡逻船的航行速度 (2)若该船继续航行分钟到达处，问此时灯塔底部位于处的南偏东什么方向 变式9-1．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（    ） A． B． C． D． 变式9-2．位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（      ） A．30° B．60° C．75° D．45° 变式9-3．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里．    (1)求A处距离航标灯D的距离AD； (2)求的值； 一、单选题 1．（2023·24高一下·浙江·期中）在△ABC中，已知，，，则角为（    ） A．60° B．30°或150 C．60°或120° D．120° 2．（2023·24高二上·河南·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2023·24高一·广东佛山 期末）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24高一下·河南·期中）在中，角的对边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·25高三上·重庆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24高一下·重庆荣昌·阶段练习）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 7．（2024·25高三下·北京·开学考试）在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2022·山西吕梁·二模）锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·24高一下·安徽马鞍山·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（    ） A． B．3 C．5 D． 10．（2024·25高三上·内蒙古包头·期中）在△中，内角所对边分别为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2023·24高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则一定是等边三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是直角三角形 三、填空题 12．（2024·北京石景山·一模）的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ． 13．（2024·江西新余·模拟预测）已知△的角的对边分别为且，若，，则 . 14．（2024高二上 福建厦门 期中）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 四、解答题 15．（2024 高二下 山东济南 期末）如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离． 16．（2024·25高三上·四川雅安·阶段练习）已知的面积． (1)求证：； (2)设为的中点，且，求的值． 17．（2023·24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积. 18．（2023·24高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，， 是圆形区域外一景点，，.    (1)求向量在方向上的数量投影和投影向量； (2)、相距多少公里？（精确到小数点后两位） (3)若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 19．（2023高二上 贵州铜仁 期末）在锐角三角形中，，． (1)求． (2)求边上的高的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 正余弦定理解三角形 考点一、余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 3.解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 考点二、正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 考点三、实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 热点一 余弦定理解三角形 例1．（多选）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 例2．锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1.8 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若a为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 若c为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 故. 故选：B 变式1-1．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 【答案】 【详解】∵，，， ∴由余弦定理可得：， ∴解得：. 故答案为：. 变式1-2．在中，，，则的一个取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为，， 所以，所以，且， 所以，且， 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 变式1-3．已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得， 所以最大角为，由余弦定理得，又，故角为钝角， 所以， 又函数在上递增，此时，在上递增，此时， 所以三个内角的正切值最大为， 由余弦定理得：，则， 所以， 故选：B. 热点二 正弦定理解三角形 例3．（多选）在中，若，，，则a等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由正弦定理得，即，所以． 又，所以或．故或， 当时，，； 当时，． 故选：AB 例4．在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【详解】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 而，则，由同角三角函数的基本关系得， 在中，由正弦定理可得，解得，故C正确. 故选：C 变式2-1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由余弦定理可得， 所以. 由正弦定理可得，则，又，故. 故选：B. 变式2-2．在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 变式2-3．在中，角所对的边分别为，，已知，，，则 . 【答案】 【详解】在中，因为，可得，所以. 又，可知为锐角且. 由正弦定理可得， 于是. 将及的值代入可得， 平方得，故. 故答案为： 热点三 三角形解的个数判断 例5．设的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 由正弦定理可得，即； 又在中，,所以，即； 所以. 故答案为： 例6．（多选）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 变式3-1．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 变式3-2．（多选）在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故A符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故B不符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：ACD. 变式3-3．的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 热点四 正余弦定理边角互化 例7．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（    ） A．0 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由正弦定理可得，故， 因为有且仅有一个解，故或， 由可得，由可得，结合为三角形内角可得， 故， 由正弦定理得 ， 而，，故， 故选：ABC. 例8．中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的内切圆半径为，由题意可得， 由余弦定理可得， 而，故， 由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立， 而，则，其中， 故， 令，故. 故选：B 变式4-1．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则 ． 【答案】3 【详解】在中，由正弦定理及， 得， 则， 移项得， 于是，整理得，解得， 由，得，则，， 所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理化边为角，再逆用和差角的正弦公式变形是求解问题的关键. 变式4-2．在中，角所对的边分别为，且，则 ． 【答案】 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得. 故答案为： 变式4-3．已知内角所对的边长分别为，求. 【答案】 【详解】因为， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为，则. 热点五 三角形的面积问题 例9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，，求的面积 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得：, 化简得 又，所以 因此 （2）由余弦定理得， ， ， ， ， 所以的面积为. 例10．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为．求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 解得或（舍），故. 又为内角，故. （2），则，解得. 由余弦定理可得， 解得. 故的周长为. 变式5-1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积． (1)求A； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴． 又，∴． （2），∴． ，∴． 由正弦定理可得． 变式5-2．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 .    【答案】 【详解】因为中，，且的面积为， 所以，解得， 所以或， 当时，因为，所以， 又，所以，不符合题意； 当时，因为，所以， 又，所以在中，由正弦定理可得， 即. 故答案为： 变式5-3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 【答案】 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 热点六 多边形的形状判断 例11． 的内角的对边分别为，若，判断的形状． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【详解】由和正弦定理，可得， ， ． 为的内角， 或， 或， 为等腰三角形或直角三角形． 例12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【答案】(1) (2)，是钝角三角形 【详解】（1）（1）由正弦定理得，得， 由余弦定理得，而， 所以． （2）由（1）知，，在中，， 所以， 因此，即． 又因为，所以，而， 所以，故． 由正弦定理得，可知角B最大， 因为， 所以，所以，故是钝角三角形． 变式6-1．已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 变式6-2．（多选）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 变式6-3．已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【详解】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角形中正弦定理、余弦定理的应用，属于较难题. 解决此类题的方法主要有： （1）边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角； （2）内角的正弦的齐次型，一般考虑运用正弦定理化角为边； （3）边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理； （4）正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次. 热点七 解三角形的实际应用——测量距离 例13．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8 【详解】根据题意得，在中，，, 在中，,, . 故答案为：13.8 例14．如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为 海里.    【答案】 【详解】由题意及方位角可得，，，， 因为渔船以海里/时的速度航行，所以海里， 由正弦定理可得，即，得海里， 故答案为：. 变式7-1．如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 【答案】 【详解】方法一   在中，，， 由正弦定理，得． 在中，，， 由正弦定理，得． 在中，， 由余弦定理，得． 即点，间的距离为． 方法二   如图，过点作垂直水平线于点，过点作垂直水平线于点，记与的交点为． 由外角定理，得， 所以． 又易知， 所以，所以为的中点，所以， 又， 所以． 所以点，间的距离为． 变式7-2．如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】在中，由，得， ， 由正弦定理得，即， 因此边上的高为， 所以该河流的宽度是米. 故选：A 变式7-3．如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 【答案】A 【详解】在中，由题意得， 所以，. 在中，由题意得，，所以， 由正弦定理得， 所以. 在中，，， 所以海里. 故选：A. 热点八 解三角形的实际应用——测量高度 例15．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 【答案】 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 例16．数学源于生活又服务于生活，某中学“数学与生活”兴趣小组成员在研学过程中，发现研学地的河对岸有一古塔（如图），于是提出如何利用数学知识解决塔高的问题.其中同学甲提出如下思路：选取与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，m，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高约为（    ）取） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【详解】由，，则， 则有，即， 由题意可得，， 故m. 故选：D. 变式8-1．如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点C，D，E处测得点A的仰角分别为，且，则古塔高度约为（  ）（结果保留整数）（参考数据：） A．69m B．70m C．73m D．75m 【答案】C 【详解】由题可设，则， 又，， 所以由余弦定理得， 所以， 整理得， 所以古塔高度约为. 故选：C. 变式8-2．如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，， 则， 由正弦定理得， 解得(m）， 又在点测得塔顶的仰角为，即， 在中，(m). 故选：D. 变式8-3．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.    【答案】90 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 热点九 解三角形的实际应用——测量角度 例17．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在中，由余弦定理， ； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得 由题意，因为为锐角，所以 故选：D. 例18．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得灯塔底部在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，此时测得灯塔底部在北偏东方向上，测得塔顶的仰角为，已知灯塔高为． (1)求巡逻船的航行速度 (2)若该船继续航行分钟到达处，问此时灯塔底部位于处的南偏东什么方向 【答案】(1)； (2)灯塔底部位于处的南偏东方向. 【详解】（1）在直角中，，故 在中， 由正弦定理得解得：， 从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度 （2）在中， 由余弦定理可得：， 在中，由正弦定理得：，则， 而，则，故， 所以此时灯塔底部位于处的南偏东方向． 变式9-1．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：设在点处相遇，设，则，    由题知：， 由正弦定理得：，解得. 因为，所以，即. 故选：B 变式9-2．位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（      ） A．30° B．60° C．75° D．45° 【答案】B 【详解】依题意，过点作的延长线交于点，如图， 则，，， 在中，， 在中，，， 又 ， 则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°. 故选：B. 变式9-3．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里．    (1)求A处距离航标灯D的距离AD； (2)求的值； 【答案】(1)（海里） (2) 【详解】（1）∵，，， ∴在中由余弦定理得， ∴（海里）． （2）∵，由正弦定理得， ∴． 一、单选题 1．（2023·24高一下·浙江·期中）在△ABC中，已知，，，则角为（    ） A．60° B．30°或150 C．60°或120° D．120° 【答案】C 【详解】解：由正弦定理或,，或均符合. 故选:C． 2．（2023·24高二上·河南·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意可得，则或. 因为，所以，所以. 故选：A 3．（2023·24高一·广东佛山 期末）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，由正弦定理得， 则，而，即， 所以. 故选：B 4．（2023·24高一下·河南·期中）在中，角的对边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，则， 又，. 故选：B. 5．（2024·25高三上·重庆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，则， 所以，即， 所以， 又， 则，即， 又， 所以的面积为. 故选：A. 6．（2023·24高一下·重庆荣昌·阶段练习）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【答案】D 【详解】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 7．（2024·25高三下·北京·开学考试）在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，因为，则，故，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，， 由三角形的面积公式可得，可得. 故选：B. 8．（2022·山西吕梁·二模）锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 由余弦定理，可得， 又由正弦定理，可得， 所以， 得，又， 所以，所以. 又， 所以，所以. 又，且，故， 所以. 又，所以，得， 所以， 故选：C. 二、多选题 9．（2023·24高一下·安徽马鞍山·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】BD 【详解】由正弦定理得，，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一个， 则或且， 所以或，选项BD符合. 故选：BD． 10．（2024·25高三上·内蒙古包头·期中）在△中，内角所对边分别为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，即，故A正确； 由余弦定理，即， 又，所以，即，故B错误； 因为，由正弦定理可得， 所以，故C正确； 因为，，所以 ，故D正确. 故选：ACD 11．（2023·24高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则一定是等边三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是直角三角形 【答案】ABD 【详解】对于A，中，，，由余弦定理得： ，即，因此，一定是等边三角形，A正确； 对于B，由得：， 即，由正弦定理得， 由余弦定理得，因此角是钝角，一定是钝角三角形，B正确； 对于C，中，由及余弦定理得： ，整理得， 即，因此或， 是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，中，由及正弦定理得：， 因此，即， 整理得：，显然，， 即，因此，而，于是， 所以，一定是直角三角形，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形. 三、填空题 12．（2024·北京石景山·一模）的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ． 【答案】// 【详解】在中，由余弦定理知， 又，所以， 又，所以. 故答案为：. 13．（2024·江西新余·模拟预测）已知△的角的对边分别为且，若，，则 . 【答案】 【详解】因为， ，代入，，则可得：. 故答案为：. 14．（2024高二上 福建厦门 期中）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 四、解答题 15．（2024 高二下 山东济南 期末）如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离． 【答案】24 n mile 【详解】在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， ∴B＝45°． ∴AD＝(n mile)． 即A与D间的距离为24 n mile． 16．（2024·25高三上·四川雅安·阶段练习）已知的面积． (1)求证：； (2)设为的中点，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）记角，的对边分别为，，， 由题意可知， 由正弦定理得 因为， 所以． （2）在中，由余弦定理得，① 同理，在中，② ①-②得，． 在中，由正弦定理得，， 所以，即， 所以． 17．（2023·24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理得， 由于是三角形的内角，所以， 所以，则， 由于，所以， 所以， 所以，所以. （2）由余弦定理得， 由三角形的面积公式得， 整理得， 所以， ， 解得，所以三角形的面积为. 18．（2023·24高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，， 是圆形区域外一景点，，.    (1)求向量在方向上的数量投影和投影向量； (2)、相距多少公里？（精确到小数点后两位） (3)若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】(1)数量投影为，投影向量为. (2)15.28公里 (3)1.25 小时 【详解】（1）向量在方向上的数量投影为， 向量在方向上的投影向量. （2）在中，由余弦定理， ， ∴， ∴（公里）， 所以、相距约15.28公里． （3）中， ， 中，由正弦定理，   ， 即   ∴， ∴   ， ∴ 在中，由余弦定理， ， ∴（公里），∴所需时间为小时                    所以从行驶到约需要1.25 小时 19．（2023高二上 贵州铜仁 期末）在锐角三角形中，，． (1)求． (2)求边上的高的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的内角，，的对边分别为，，， 因为，， 所以， 由正弦定理，得，整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）设边上的高为，则， 由正弦定理，得， 由为锐角三角形， 得，得，则， 所以，从而， 故边上的高的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$