专题10 正态分布8考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题10 正态分布8考点复习指南 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 考点1 正态曲线与正态密度函数 1．（2024高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 2．（2024高二·全国月考）下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【答案】A 【分析】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项. 【解析】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确； 只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确； 正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确； 曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确； 故①④⑤说法正确. 故选：A. 3．（2024高二·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解析】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 考点2 正态曲线的图象和性质 4．（2024高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【解析】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 5．（2024高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【解析】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 6．（2024高三·广东佛山月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【解析】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 考点3 利用正态曲线的对称性求概率 8．（2024高三·河南月考）已知且，，则 ． 【答案】0.1/ 【分析】利用正态曲线的性质求解． 【解析】由知，正态曲线关于直线对称． 因为，所以． 又， 所以． 故答案为：0.1． 9．（2024高二·辽宁·期末）已知随机变量，则（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【分析】由正态分布的性质计算即可得. 【解析】由，，则， 故. 故选：C. 10．（福建省福州第八中学2024届高三学期期中考试数学试题）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的性质，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，且，则，所以. 故选：A 11．（2024高二·河北沧州·期末）在某项测试中，测量结果，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性求解即可. 【解析】解析：由正态分布知，因为， ∴，由对称性知， 故选：B． 考点4 利用正态曲线的对称性求参数 12．（2024高二·辽宁鞍山月考）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案. 【解析】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称, 因为， 故， 故选：B 13．（2024高三·辽宁本溪月考）设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据正态分布概率密度函数的对称性即可求解. 【解析】由题意，根据正态分布的对称性， 得， 解得， 故选：B． 14．（2025高三·全国月考）设，，若，则 （用表示）. 【答案】 【分析】根据正态分布的性质，结合条件来找出与的关系. 【解析】已知，其概率密度函数图像关于对称；，其概率密度函数图像关于对称. 对于任意随机变量和，有，已知，所以可得. 设，. 则，. 因为，所以，即. 由于标准正态分布的概率密度函数图像关于对称，所以. 对进行化简求解： . 故答案为：. 15．（2024高三·重庆南岸月考）随机变量，若，则 ． 【答案】 【分析】已知随机变量，即均值，利用正态分布的对称性以及所给的概率等式来求解的值. 【解析】因为正态分布关于均值对称，已知，那么点与点关于均值对称.可列出等式. 得到.解得. 故答案为：. 考点5 利用3原则求概率 16．（2024高二·四川宜宾·期末）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ）附：若，则，，. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出、的值，结合原则可求得的值，乘以可得结果. 【解析】因为，，则，， 则 ， 因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为个. 故选：A. 17．（2024·河北衡水·模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（    ） A．19 B．12 C．6 D．5 【答案】C 【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数. 【解析】∵数学成绩近似地服从正态分布，， ∴， 根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为， ∴理论上说在130分以上人数约为. 故选：C． 18．（2024高二·浙江宁波·期中）已知随机变量，则（    ）(附：若，则，) A．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【解析】由题意可得：，则， 所以. 故选：A. 19．（2024·内蒙古包头·模拟预测）为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（    ） 附：若，则，． A．该校学生体育成绩的方差为10 B．该校学生体育成绩的期望为85 C．该校学生体育成绩的及格率小于85% D．该校学生体育成绩的优秀率大于3% 【答案】C 【分析】根据正态分布的特征可求A,B选项的正误，根据优秀和及格的标准可得C,D选项的正误. 【解析】因为，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A,B均不正确； 因为60分及以上为及格， 所以，C正确； 因为90分及以上为优秀，所以，D不正确. 故选：C. 20．（2024高三·黑龙江齐齐哈尔月考）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（    ） （若随机变量，则，，） A．236 B．246 C．270 D．275 【答案】B 【分析】根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解. 【解析】由题可知，，，. 所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天． 故选：B． 21．（黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二学期期末联考数学试卷）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 . 参考数据：若，则. 【答案】0.84/ 【分析】 根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案. 【解析】 由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 即抽到“可用产品”的概率为0.84， 故答案为：0.84 考点6 标准正态分布的应用 22．（2007·湖南）设随机变量服从标准正态分布，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据变量符合正态分布，且对称轴为，得到应用所给条件即可求出结果. 【解析】服从标准正态分布， ∴ ， 故选：C. 23．（2024高二·全国月考）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】由可判断①，根据正态分布曲线的对称性可得可判断②③，由可判断④. 【解析】因为随机变量服从正态分布， 因为，所以①不正确； 因为 ， 所以②正确，③不正确； 因为， 所以，所以④正确． 所以结论正确的是②④. 故选：D. 24．（2024高三·山东济南月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案． 【解析】解：因为随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 因为， 所以根据正态曲线的对称性可得，故选项B正确； 因为，，所以选项A错误； ，故选项C错误； 或，故选项D错误． 故选：B． 25．（2024高二·广东茂名·期末）记（k，b为实常数），若，，则 . 【答案】-3或3 【分析】随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可. 【解析】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3. 故答案为-3或3. 考点7 正态分布的实际应用 26．（2024高三·全国月考）为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，． 【答案】13 【分析】先计算出，利用正态分布曲线的对称性得到，由，对照参数得到，从而计算出进入集训队的人数. 【解析】正态分布，可知， 分及以上的人数为人，则， 由正态分布曲线的对称性可得：，得， 所以，则， 则分及以上的人数为人. 故答案为：. 27．（2024·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．    (1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）? 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)0.048；众数是，分位数是 (2)分 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，再结合众数和百分位数的求解方法，即可求解； （2）求得，得到，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【解析】（1）根据频率分布直方图，可得： ，解得， 这组数据的众数为， 由， 则这100份样本试卷成绩的75%分位数是. （2）由， 所以， 因为， 所以， 所以测试前预估的平均成绩大约为分． 28．（2024高二·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性来求得正确答案. 【解析】满足正态分布， ， 直径在之间的零件大约有件. 故答案为： 考点8 正态分布与其他分布的综合 29．（2024·辽宁·模拟预测）2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据正态分布求考生的成绩高于85的概率，再根据独立事件求恰有2名考生的成绩高于85的概率即可. 【解析】由正态分布可得：考生的成绩高于85的概率， 所以恰有2名考生的成绩高于85的概率. 故答案为：. 30．（2024·四川·模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.      (1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表） (2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）. 附参考数据：，随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1)16.16 (2)0.073 【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可. （2）根据，可求得成绩在内的概率，利用二项分布的概率公式求解即可. 【解析】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为： . （2）由题意知， 则， 故该校女生短跑成绩在内的概率， 由题意可得， 所以， ， 所以. 31．（2024高三·四川成都月考）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．    参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (1)求a的值； (2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数； (3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数） 【答案】(1) (2)4093 (3)1 【分析】（1）由频率之和等于1，得出； （2）计算平均数得出，再由正态分布的概率估计即可； （3）由分层抽样得出的所有可能取值，再由超几何分布求解. 【解析】（1）解：由题意得，解得． （2）由题意知样本的平均数为 ，所以． 又，所以 ． 则， 所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093． （3）对应的频率比为，即为， 所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3， 设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为， 则的所有可能取值为0，1，2， ， 所以． 则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1． 32．（2024·广东湛江·模拟预测）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1) (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）， 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得； （2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案. 【解析】（1）由频率分布直方图，得． ． （2）（i）由（1）可知，， 所以，， 显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为， 所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为， 故，所以， X的数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题10 正态分布8考点复习指南 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 考点1 正态曲线与正态密度函数 1．（2024高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 2．（2024高二·全国月考）下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 3．（2024高二·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 考点2 正态曲线的图象和性质 4．（2024高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 5．（2024高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2024高三·广东佛山月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 考点3 利用正态曲线的对称性求概率 8．（2024高三·河南月考）已知且，，则 ． 9．（2024高二·辽宁·期末）已知随机变量，则（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 10．（福建省福州第八中学2024届高三学期期中考试数学试题）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 11．（2024高二·河北沧州·期末）在某项测试中，测量结果，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 考点4 利用正态曲线的对称性求参数 12．（2024高二·辽宁鞍山月考）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 13．（2024高三·辽宁本溪月考）设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．4 14．（2025高三·全国月考）设，，若，则 （用表示）. 15．（2024高三·重庆南岸月考）随机变量，若，则 ． 考点5 利用3原则求概率 16．（2024高二·四川宜宾·期末）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ）附：若，则，，. A． B． C． D． 17．（2024·河北衡水·模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（    ） A．19 B．12 C．6 D．5 18．（2024高二·浙江宁波·期中）已知随机变量，则（    ）(附：若，则，) A．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135 19．（2024·内蒙古包头·模拟预测）为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（    ） 附：若，则，． A．该校学生体育成绩的方差为10 B．该校学生体育成绩的期望为85 C．该校学生体育成绩的及格率小于85% D．该校学生体育成绩的优秀率大于3% 20．（2024高三·黑龙江齐齐哈尔月考）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（    ） （若随机变量，则，，） A．236 B．246 C．270 D．275 21．（黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二学期期末联考数学试卷）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 . 参考数据：若，则. 考点6 标准正态分布的应用 22．（2007·湖南）设随机变量服从标准正态分布，已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二·全国月考）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 24．（2024高三·山东济南月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高二·广东茂名·期末）记（k，b为实常数），若，，则 . 考点7 正态分布的实际应用 26．（2024高三·全国月考）为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，． 27．（2024·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．    (1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）? 参考数据：若，则，，． 28．（2024高二·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 考点8 正态分布与其他分布的综合 29．（2024·辽宁·模拟预测）2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为 ． 30．（2024·四川·模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.      (1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表） (2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）. 附参考数据：，随机变量服从正态分布，则. 31．（2024高三·四川成都月考）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．    参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (1)求a的值； (2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数； (3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数） 32．（2024·广东湛江·模拟预测）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$