压轴题训练（02）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册压轴题训练02 一．选择题（共10小题） 1．如图所示，点坐标为点坐标为，在轴上存在一点，使得为等腰三角形，则满足此条件的点最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【解答】解：如有右图所示， 第一种情况：， 第二种情况：， 第三种情况：， 第四种情况：， 第五种情况：， 故选：． 2．如图，已知△是等边三角形，，在上，交于点，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接， 由条件可知，， ， ，垂直平分， ， ， ， △为等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：． 3．如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，则的面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长与的延长线交于点，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 4．如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设运动的时间为， 在中，，， 点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动， 当是等腰三角形时，， ， 即， 解得． 故选：． 5．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：等腰中，， ， 的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点， ，， ，， ， 故选：． 6．如图，已知，点在边上，，点，在边上，， 若，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：过点作，垂足为， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 故选：． 7．如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，交于， ①，， ， ， ；故①正确； ②平分交于， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ③平分交于， 点到和的距离相等， ；故③正确， ④，， ， ， ， ；故④正确； 故选：． 8．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图在的下方作等边，作射线． ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（点是定点，是定值）， 当时，的值最小，最小值， 故选：． 9．如图，在中，，，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是　　 A． B． C．4 D． 【解答】解：连接． ， 可以假设，， ，， ，， ，， ， 或（舍弃）， ， ， ， 故选：． 10．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【解答】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 二．填空题（共10小题） 11．如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为 　3　． 【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则， ， ， 当，，在同一直线上，且时， 的最小值等于垂线段的长， 此时，△中， ，， 的最小值为3， 故答案为：3． 12．如图，在等腰中，，是的高，，、分别是、上一动点，则的最小值为 　　． 【解答】解：如图所示，连接，， 在等腰中，，是的高， 垂直平分，， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 由勾股定理得， ， ， 解得：， 的最小值为 故答案为：． 13．如图，在△中，，，，，点是上一点，连接，点到的距离等于的长，、分别是、上的动点，连接，，则的最小值是 　4.8　． 【解答】解：点到的距离等于的长， 是的平分线， 过点作交于点，再过点作交于点， ， ， 此时有最小值， △中，，，，， ， ， 故答案为：4.8． 14．如图，已知△中，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 　　． 【解答】解，， ，即， 由旋转可知：，， ， 在△和△中， ， △△， ，则当时，最小，即最小， ，， ，， 点到的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 15．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△中，，则它的特征值等于　2.5　． 【解答】解：由条件可知， 它的特征值等于， 故答案为：2.5． 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为22，则的长为 　22　． 【解答】解：因为，的垂直平分线分别交于点，， 所以，， 所以，即为的周长， 又因为的周长为22， 所以． 故答案为：22． 17．如图，△中，，，，是线段上一个动点，以为边在△外作等边△．若是的中点，当取最小值时，△的周长为 　18　． 【解答】解：连接，过点作．交的延长线于， △是等边三角形，点是的中点， ， 点在射线上运动， 当点与点重合时，最小， ，， ，， ， ， △是等边三角形， ， ， △的周长为：18， 故答案为：18． 18．如图，在中，．，，，与的角平分线相交于点，点、分别在边、上，且，连接，则的周长为 　4　． 【解答】解：过点作于，于，于，如图， 平分， ， 同理可得， ， ， 四边形为正方形， ， 在和中 ， ， ， 同理可得， ， 设正方形的边长为，则，， ， ，解得， 即， 在上截取，如图， ，，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的周长． 故答案为4． 19．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为　　． 【解答】解：过作交于，如图所示： ，是等边三角形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论： ①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 　①②④⑤　．（注把你认为正确的答案序号都写上） 【解答】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ，，， ， ，结论①正确． ， ， 又， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 又， 为等边三角形，结论④正确； ， ，结论②正确． ， ， ， 结论⑤正确． 没有条件证出，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 三．解答题（共5小题） 21．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． （1）　　（用含的式子表示）； （2）当点在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【解答】解：（1）由题意可知，， ， ， （2）①当点在边上运动，为等腰三角形时， 即，解得， 出发秒后； ②当在上，，如图， 而，， ，， 把的周长平分， ， 解得：，不符合题意舍去， 点在边上运动时．不能把的周长平分． （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 22．如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． （1）操作发现 如图②，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时， ①求线段与的位置关系； ②设的面积为，的面积为，求与的数量关系． （2）猜想论证 当绕点旋转到如图③所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【解答】解：（1）①， 理由如下：如图②，绕点旋转点恰好落在边上， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ； ②，， ， ， 根据等边三角形的性质可得，的边、上的高相等， 的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即； （2）如图③，是由绕点旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即． 23．数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 特殊情况，归纳猜想 （1）如图1，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． 特例启发，推理证明 （2）如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为 （1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点作，交于点．老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程 拓展延伸，问题解决 （3）如图3，当点在的延长线上时，点在边上，且，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【解答】解：（1）是等边三角形，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作交于点． ，， 是等边三角形， ，， ，， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）不发生变化． 理由：如图，过点作交的延长线于点， ，． ， ， 是等边三角形， ，． ， ． ， ． 在与中， ， ， ， ． 24．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数为 　60　； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 【解答】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， ， ， 旋转角为． 25．探究题：（1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：　　． （提示：延长到，使，连接． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 【解答】解：（1）结论：，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，得到， 四边形中，，，， ，， ，即点，，共线． 由旋转可得，，． ， ， ， ， ， ． 又， ． 故答案为：； （2）成立． 理由：设，则， 如图，将绕点顺时针旋转得到， ，，，． ， ， 点，，在同一直线上． ，， ， ， ， 又， ， ； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到△，连接． ，，，， ， ， ， ， △， ， 在中，， ，， ，，即， ． ， ，即， 解得． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级下册压轴题训练02 一．选择题（共10小题） 1．如图所示，点坐标为点坐标为，在轴上存在一点，使得为等腰三角形，则满足此条件的点最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．如图，已知△是等边三角形，，在上，交于点，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，则的面积是　　 A． B． C． D． 4．如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是　　 A． B． C． D． 5．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则　　 A． B． C． D． 6．如图，已知，点在边上，，点，在边上，， 若，则的长为　　 A． B． C． D． 7．如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是　　 A． B． C．4 D． 10．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 二．填空题（共10小题） 11．如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为 ． 12．如图，在等腰中，，是的高，，、分别是、上一动点，则的最小值为 ． 13．如图，在△中，，，，，点是上一点，连接，点到的距离等于的长，、分别是、上的动点，连接，，则的最小值是 ． 14．如图，已知△中，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 15．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△中，，则它的特征值等于 ． 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为22，则的长为 ． 17．如图，△中，，，，是线段上一个动点，以为边在△外作等边△．若是的中点，当取最小值时，△的周长为 ． 18．如图，在中，．，，，与的角平分线相交于点，点、分别在边、上，且，连接，则的周长为 ． 19．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 20．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论： ①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 ．（注把你认为正确的答案序号都写上） 三．解答题（共5小题） 21．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． （1） （用含的式子表示）； （2）当点在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 22．如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． （1）操作发现 如图②，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时， ①求线段与的位置关系； ②设的面积为，的面积为，求与的数量关系． （2）猜想论证 当绕点旋转到如图③所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 23．数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 特殊情况，归纳猜想 （1）如图1，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”、“ ”或“” ． 特例启发，推理证明 （2）如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为 （1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点作，交于点．老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程 拓展延伸，问题解决 （3）如图3，当点在的延长线上时，点在边上，且，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 24．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 25．探究题：（1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为： ． （提示：延长到，使，连接． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$