2024—2025学年北师大版数学八年级下册压轴题训练01

北师大版八年级下册压轴题训练01 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知点到、、的距离相等，下列说法： ①点在的平分线上； ②点在的平分线上； ③点在的平分线上； ④点在，，的平分线的交点上． 其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③ 2．如图，在中，，，为的中点，，垂足为．过点作交的延长线于点，连接，．现有如下结论： ①平分；②；③；④；⑤． 其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是　　． A．24 B．27 C．30 D．33 4．已知，△，△，△，都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点，，，都在轴正半轴上，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 5．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是　　 A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 6．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为　　 A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，在中，点在的平分线上，，若的面积为5，则的面积为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 8．如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 9．等边三角形的边长为6，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是　　 ①；②；③；④周长最小值是9 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共10小题） 11．如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 12．一次函数与的部分自变量和对应函数值如下表： 0 1 2 5 2 1 2 3 4 5 则关于的不等式的解集是 ． 13．是的垂直平分线，交于点，点是直线上一动点，它从点出发沿射线方向运动，当减少时，增加，则与的函数表达式是 ． 14．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则 ． 15．如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ． 16．如图所示，运行程序规定：从“输入一个值”到“结果是否大于79”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是 ． 17．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 ． 18．已知关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是 ． 19．如图，在中，于，于，为的平分线，的面积是，，， ． 20．如图，已知，、分别是射线、射线上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长为 ． 三．解答题（共10小题） 21．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． （1）若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； （3）若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 22．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， （填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 23．如图，点，分别是边长为的等边边，上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接，交于点． （1）如图甲，求证：； （2）如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； （3）如图丙，在点，运动的过程中，是否存在以点，，为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间的值；若不存在，请说明理由． 24．【模型建立】：（1）如图①，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】：（2）如图②，已知直线与轴交于点、与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）如图③，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第三象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由． 25．把正方形纸片放在直角坐标系中，如图所示，正方形纸片的边长为3，点、分别在、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知． （1）请直接写出、两点的坐标，并求出直线的解析式； （2）在直线上是否存在点，使得的面积是的面积的一半，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若点、分别是线段、上的动点，则的最小值是多少？并求出此时点的坐标． 26．如图，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）如图，当点恰好落在上时． ①求的长及点的坐标； ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由； ③如图，点是线段上的动点（点，除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 27．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，是线段上一点，且． （1）求点的坐标； （2）延长交于， ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3，求证：平分． 28．和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 29．如图1，，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为，直线，交于点． （1）求的度数． （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）如图2，若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，求的度数． 30．数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理． （1）推理证明：本学期，我们利用两个含的全等的三角尺拼成一个等边三角形，从而发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 如图1，在中，，，则，请你证明这个结论． （2）迁移应用：利用上述结论解决以下问题： ①如图2，在中，，，且．点是边上一点．若，求点到边的距离． ②如图3，在中，，，点是边上一点，连接．若，求出的最小值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级下册压轴题训练01 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知点到、、的距离相等，下列说法： ①点在的平分线上； ②点在的平分线上； ③点在的平分线上； ④点在，，的平分线的交点上． 其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③ 【解答】解：点到、、的距离相等， 点在的平分线上，故①正确； 点在的平分线上，故②正确； 点在的平分线上，故③正确； 点在，，的平分线的交点上，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故选：． 2．如图，在中，，，为的中点，，垂足为．过点作交的延长线于点，连接，．现有如下结论： ①平分；②；③；④；⑤． 其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：①错误．， 是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误． ②正确．易证是等腰直角三角形，故． ③正确．，，， ， ， ， ， ． ④正确．在中，，易证． ⑤正确．， ， ， ， ． 故选：． 3．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是　　． A．24 B．27 C．30 D．33 【解答】解：过点作于，于，连接，如图， 平分，，， ， 同理可得， ， 的周长是18， ． 故选：． 4．已知，△，△，△，都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点，，，都在轴正半轴上，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点，，，，，分别作轴的垂线， △是边长为2正三角形， ，， 点横坐标为1， 由题意可得，点横坐标为2，点横坐标为3，点横坐标为4， 因此点横坐标为2023， ，而674是偶数， 点在第一象限， 点的纵坐标为， 即点， 故选：． 5．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是　　 A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【解答】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度， 点到射线，的距离相等， 点在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：． 6．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为　　 A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【解答】解：①， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故①正确； ②由①知，， 过点作于， 则， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，故②正确； ③由，， 设，则，，， ，故③正确； ④， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ，故④错误， 正确的有①②③ 故选：． 7．如图，在中，点在的平分线上，，若的面积为5，则的面积为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 8．如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 【解答】解：△为等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， △的边长：， 故选：． 9．等边三角形的边长为6，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是　　 ①；②；③；④周长最小值是9 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：连接、，如图， 为等边三角形， ， 点是等边的内心和外心， ，、分别平分和， ， ，即， 而，即， ， 在和中，， ， ，，①正确； ， 四边形的面积，③错误； 作，如图，则， ， ， ，， ， ， 即随的变化而变化， 而四边形的面积为定值， ；②错误； ， 的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，④正确． 故选：． 10．如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：作于，于． ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，故①正确， ， 定值，故④正确， 设， ， ， ， ， ，故②正确， 在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故③错误， 故选：． 二．填空题（共10小题） 11．如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 　1　． 【解答】解：各三角形都是等腰直角三角形， 直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半， ，，， 余2， 点在第一象限， 轴正半轴，横坐标是1，纵坐标是， 的横坐标为1． 故答案为：1． 12．一次函数与的部分自变量和对应函数值如下表： 0 1 2 5 2 1 2 3 4 5 则关于的不等式的解集是 　　． 【解答】解：根据表可得中随的增大而减小； 中随的增大而增大．且两个函数的交点坐标是． 则当时，． 故答案为：． 13．是的垂直平分线，交于点，点是直线上一动点，它从点出发沿射线方向运动，当减少时，增加，则与的函数表达式是 　　． 【解答】解：设，， 是的垂直平分线， ， ， ， 当减少时，， 当增加，， ， 整理得：， ， ， 故答案为：． 14．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则　1.5　． 【解答】解：连接，， 是的平分线，，， ，，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：1.5． 15．如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 　4或　． 【解答】解：分两种情况： 如图，当时，是直角三角形， 在中，，，， ，， 由折叠可得，， ， ， ， ， 如图，当时，是直角三角形， 由题可得，，， ，， ，， 设，则，， 又， ， 解得：， ，， 故答案为：4或． 16．如图所示，运行程序规定：从“输入一个值”到“结果是否大于79”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是 　　． 【解答】解：由题意可得 解得 故答案为：． 17．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 　3　． 【解答】解：方法一：将绕点顺时针旋转得到， 则此时，，三点在同一直线上， ，， ， 随着点运动，总有，， 总有，即，，三点在同一直线上， 的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小， 中，，，， ，， 即为的中点， ，， ，为的中位线， ； 方法二：取的中点，连接，，，则， ，， ， 为等边三角形， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， 为等边三角形， ，， ， ， ， 当时，最小， ， ， ． 故答案为：3． 18．已知关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：， 有②得：， ， 关于的不等式组只有3个整数解， ， 关于的不等式组只有3个整数解， 或0或， ， 故答案为：． 19．如图，在中，于，于，为的平分线，的面积是，，，　2　． 【解答】解：中，于，于，为的平分线 的面积是， ， 则， ， 解得， 故答案为：2． 20．如图，已知，、分别是射线、射线上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长为 　　． 【解答】解：由作法得， 过点作于点，如图，则， ， ， 在△中， ， ，， ， ， 在△中，， ，在△中， ， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 21．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． （1）若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； （3）若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【解答】解：（1）方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得， 解方程得：； ， 方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， 关于的方程是不等式组的相伴方程， ， 解得：， 即的取值范围是； （3）解方程，得：， 解方程，得：， 方程和都是关于的不等式组的相伴方程，， 所以分为两种情况： ①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以的取值范围是． 22．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【解答】解：（1）当为的中点时，； （2），理由如下，过点作，交于点， 证明：△为等边三角形， △为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， 则； （3）点在延长线上时，作，则△为等边三角形， 如图所示，同理可得△△， ，， ， ， 则． 故答案为：（1）；（2）3． 23．如图，点，分别是边长为的等边边，上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接，交于点． （1）如图甲，求证：； （2）如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； （3）如图丙，在点，运动的过程中，是否存在以点，，为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为， ， 是等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：， 理由如下：在上截取， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）解：存在．或， 理由如下， 由题意可得，，， ， 以点，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ， ， ， 即， 解得：， 当， ， ， ， 即：， 解得：， 综上所述，或时，以点，，为顶点的三角形是直角三角形． 24．【模型建立】：（1）如图①，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】：（2）如图②，已知直线与轴交于点、与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）如图③，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第三象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由． 【解答】（1）证明：如图①，，于点，于点， ， ， ， ． （2）解：如图②，作交直线于点，作轴于点， ， ， 由旋转得， ， ， ， 直线，当时，则， 解得； 当时，， ，， ，， ， ， 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得，解得 直线的函数表达式为． （3）解：能成为等腰直角三角形， ，轴于点、轴于点， ，，四边形为矩形， 设， 如图③，，则， 过点作轴于点，交的延长线于点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 将，代入， 得， 解得， ，； 如图④，，则， 作轴于点，轴于点， ， ， ， ，， ， ， 将代入， 得过且过， 解得， ，； 如图⑤，，且点在上方，则， 作交射线于点， ， ， ， ，， ，， ， 将代入， 得， 解得， ，， ，不在第三象限， ，不符合题意，舍去； 如图⑥，，且点在下方，则， 作交的延长线于点，则， ， ， ，， ，， ， 将代入， 得， 解得， ，， 综上所述，点的坐标为，或，或，． 25．把正方形纸片放在直角坐标系中，如图所示，正方形纸片的边长为3，点、分别在、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知． （1）请直接写出、两点的坐标，并求出直线的解析式； （2）在直线上是否存在点，使得的面积是的面积的一半，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若点、分别是线段、上的动点，则的最小值是多少？并求出此时点的坐标． 【解答】解：（1）如图1，正方形的边长为3， ，， ， ， ， 设，则，， 由折叠可知：，，，， ， 、、三点共线， ， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为：； （2）在直线上存在点，使得的面积是的面积的一半． ，， ， ， 当点在线段上时，为的中点， ， 当点在线段的延长线上时，设， 则， ，即， 解得：或（舍去）， ， 综上，点的坐标为或； （3）如图3，过点作于，当、、三点共线时最小， 在中，， ，即， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 则， 解得：， ． 26．如图，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）如图，当点恰好落在上时． ①求的长及点的坐标； ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由； ③如图，点是线段上的动点（点，除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：①点， ， 由（1）知， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 过作轴于， ， ， ， ，， ，； ②存在，如图，当时， ， ，， ，，，； 当， ， 是等边三角形， ，重合， 当为等腰三角形时，，，或，； ③不会变化，如图，连接， ， ， ， 的值不会发生变化． 27．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，是线段上一点，且． （1）求点的坐标； （2）延长交于， ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3，求证：平分． 【解答】解：（1）如图1，、、， ，，， 在和中， ， ， ， ． （2）①， 理由：如图2，由（1）得， ， ， ， ． ②证明：如图3，作交于点，则， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 平分． 28．和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 【解答】解：【观察猜想】，， 证明：在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； 【探究证明】线段和线段的数量关系和位置关系仍然成立， 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； 【拓展应用】如图，在的左侧以为直角顶点作等腰直角，连接， ，，， ， ， ， ， 将绕着点逆时针旋转至， ，， 由【探究证明】知， ． 29．如图1，，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为，直线，交于点． （1）求的度数． （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）如图2，若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，求的度数． 【解答】（1）证明：等边三角形中，， 又由条件得， ， ， ； （2）解：由题意时间为秒，则，， ①当时， ， ，得， ； ②当时， ， ，得， ； 当第2秒或第4秒时，为直角三角形； （3）解：在等边三角形中，，， ， 又由条件得， ， ， 又， ． 30．数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理． （1）推理证明：本学期，我们利用两个含的全等的三角尺拼成一个等边三角形，从而发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 如图1，在中，，，则，请你证明这个结论． （2）迁移应用：利用上述结论解决以下问题： ①如图2，在中，，，且．点是边上一点．若，求点到边的距离． ②如图3，在中，，，点是边上一点，连接．若，求出的最小值． 【解答】（1）证明：如图2，延长至点，使，连接． ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）解：①如图2，在中，，，且． ， ，，则， 过点作于，则， ， ， 故点到边的距离； ②如图3，作点关于直线的对称点，连接，则， 过点作， 则：，当，，在同一直线上时取等号， 即此时， ，，， ，，， ， ， ， 的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$