专题09 二项分布与超几何分布10考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题09 二项分布与超几何分布10考点复习指南 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 5．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 6．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 考点1 n重伯努利试验的判断 1．（2024高二·全国月考）重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．（2024高二·全国月考）以下真命题共有 个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 考点2 二项分布的概率计算 3．（2024高二·天津河北·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·福建福州·期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 6．（2024高二·四川成都·期中）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.    (1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数 (2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列. 7．（2024高三·云南月考）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.    (1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率； (2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列. 8．（2024高二·贵州铜仁·期末）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 9．（2024高二·湖北荆门·期末）设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点3 二项分布中的概率最大问题 10．（2024高二·江苏月考）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（    ） A．2 B．3 C．4或3 D．4 11．（2024高二·山东枣庄·期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 12．（2024高二·广东云浮·期末）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点4 二项分布的期望与方差 13．（2024高二·广东珠海·期末）设随机变量，，若，则 ， . 14．（2024高二·广西钦州·期中）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 15．（2024高三·湖北十堰·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图. (1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望. 16．（2024高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）； (1)求的值以及这批产品的优质率； (2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望. 17．（2024高二·福建·期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 18．（2024高二·江西抚州月考）设随机变量，则下列说法不正确的有（    ） A． B． C．的数学期望 D．的方差 19．（2024高二·江苏徐州·期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高三·河南月考）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为． (1)若，求； (2)证明：当时，． 考点5 二项分布的实际应用 21．（2024·全国·模拟预测）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下： 心理价位（元/件） 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率. (1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望； (2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 22．（2024高三·全国月考）一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌. (1)50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望； (2)甲、乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率. 考点6 超几何分布的判断 23．（2024高二·江西抚州月考）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 24．（2024高二·全国月考）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（    ） A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7 C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10 25．（2024高二·天津河西·期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 考点7 超几何分布的概率 26．（2024高二·宁夏石嘴山·期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 27．（2024高三·广东深圳·期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 28．（2024高二·黑龙江哈尔滨·期末）从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（    ） A． B． C． D． 考点8 超几何分布的均值 29．（2024高三·四川成都月考）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024高二·江苏宿迁·期末）设随机变量（且），最大时，（    ） A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01 31．（2024高二·山东青岛·期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 考点9 超几何分布的方差 32．（2024高二·江苏连云港月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2024高三·浙江月考）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 34．（2024高二·山东枣庄月考）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 35．（2024·浙江温州·模拟预测）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 36．（2024高二·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 考点10 二项分布与超几何分布的综合应用 37．（2024·北京昌平·模拟预测）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 38．（2024高二·江西萍乡·期末）某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）； (2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力. 39．（2024高三·山西月考）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围． 40．（2024高二·全国月考）为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的. （1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率. （2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题09 二项分布与超几何分布10考点复习指南 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 5．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 6．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 考点1 n重伯努利试验的判断 1．（2024高二·全国月考）重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由重伯努利试验试验的定义判断即可． 【解析】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验， 故重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的； 故选：C 2．（2024高二·全国月考）以下真命题共有 个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 【答案】2 【分析】根据n重伯努利试验的知识对个命题进行分析，从而确定正确答案. 【解析】①，n重伯努利试验是相互独立试验，各次试验的结果相互没有影响，①是真命题. ②，n重伯努利试验是独立重复试验，各次试验中某事件发生的概率相同，②是假命题. ③，结合二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率为， 所以③是真命题. 综上所述，真命题共有个. 故答案为： 考点2 二项分布的概率计算 3．（2024高二·天津河北·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【解析】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：C 4．（2024·全国·模拟预测）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复试验计算概率即可. 【解析】1个小组是“成功组”的概率为, 则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为. 故选：B． 5．（2024高二·福建福州·期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案. 【解析】由题意得该产品能销售的概率为， 易知的取值范围为， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以，， 所以， ， ， 故. 故选：C. 6．（2024高二·四川成都·期中）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.    (1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数 (2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列. 【答案】(1)频率为；中位数为 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质计算各组频率，在根据中位数的求法计算即可； （2）利用二项分布求概率及分布列即可. 【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为, 所以数学成绩落在区间内的频率为， 因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1， 所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为， 数学成绩落在区间[70，100）的频率为， 所以中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得， 所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为. （2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为， 由题意可知，，的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 7．（2024高三·云南月考）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.    (1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率； (2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先求出灯泡亮的概率，再求出灯泡亮了，并且质检员犯错误的概率，结合条件概率即可得解； （2）求出图甲中小灯泡亮的概率，再由得到相应的概率，得到分布列. 【解析】（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件是合格的，前面的AB至少有一个是合格的， 概率， 小灯泡亮了，并且质检员犯错误的情况，对于前面的元件，分为两大类： 第一类：元件合格，元件不合格，故， 第二类：元件合格，元件不合格，故， 所以在发现小灯泡亮了的前提下，该质检员犯错误的概率为：. （2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为，则， 所以服从二项分布：， 则，， ，. ∴的分布列为： 0 1 2 3 8．（2024高二·贵州铜仁·期末）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【解析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则, ,选择D答案． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题． 9．（2024高二·湖北荆门·期末）设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先建立方程求出，再计算即可. 【解析】解：因为随机变量，， 所以，则， 因为，即，解得 随机变量中， ， 故选：A 【点睛】本题考查二项分布概率公式，是基础题. 考点3 二项分布中的概率最大问题 10．（2024高二·江苏月考）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（    ） A．2 B．3 C．4或3 D．4 【答案】C 【分析】求使取最大值的的值可通过比较和的大小得到．可利用做差或做商法比较大小． 【解析】解：，得． 所以当时，， 当时，，则 从而或4时，取得最大值． 故选：C． 11．（2024高二·山东枣庄·期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】若最大，则，解出的范围，代入数值. 【解析】因为 ，若最大，则 ，化简得： ， . 代入已知数值得： ，所以 时最大. 故选：C. 12．（2024高二·广东云浮·期末）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得到方程，求得，结合n的取值，可得答案. 【解析】由题意可知， 因为，所以， 整理得，即， 又，且，所以， 故选：B 考点4 二项分布的期望与方差 13．（2024高二·广东珠海·期末）设随机变量，，若，则 ， . 【答案】 / 【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式求解即可. 【解析】随机变量，且， 则，解得， 所以， 又，则， ， 所以. 故答案为：；. 14．（2024高二·广西钦州·期中）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【解析】（1）解：由题意得： 设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是． ，， ，． 应聘者乙正确完成题数的分布列为 15．（2024高三·湖北十堰·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图. (1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出这份样本数据的平均值； （2）由题意可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【解析】（1）解：由频率分布直方图可知，份样本数据的平均值为 . （2）解：竞赛成绩不低于分的频率为， 低于分的频率为. 由题意可知，， ， ， ， ，， 所以的分布列为 期望. 16．（2024高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）； (1)求的值以及这批产品的优质率； (2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)，优质率为25% (2)分布列见解析，1 【分析】（1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果； （2）由题意可得件中优质产品的件数服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 产品质量指标超过130的频率为， 所以这批产品的优质率为； （2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25， 以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为， 所以4件产品中优质产品的件数， 则，， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P . 17．（2024高二·福建·期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解. 【解析】设事件在每次试验中发生的概率为，则， 因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得， 所以，所以. 故选：D. 18．（2024高二·江西抚州月考）设随机变量，则下列说法不正确的有（    ） A． B． C．的数学期望 D．的方差 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合n次独立重复试验的概率公式，以及二项分布的期望和方差公式判断即可. 【解析】因为随机变量，所以，故A正确； ，， ，故B不正确； X的数学期望，故C正确； X的方差，故D正确. 故选：B. 19．（2024高二·江苏徐州·期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得. 【解析】由题意可知：服从二项分布，所以. 同理：服从二项分布，所以. 因为，所以，所以. 对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增， 所以当时，有，即. 故选：C 20．（2024高三·河南月考）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为． (1)若，求； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设小明第一轮答对的题数为，则，从而求出，再根据求出； （2）设小明第二轮答对的题数为，求出的可能取值及可能取值，得到，利用错位相减法求和，再根据求出，从而比较出当时，. 【解析】（1）设小明第一轮答对的题数为， 由条件可知，则， 因为，所以， 因此，当时，． （2）设小明第二轮答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，…，n， 且，，，…， ，． 所以，① ，② ①－②得， 所以． 因为，所以． 当时，，， 即得证． 考点5 二项分布的实际应用 21．（2024·全国·模拟预测）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下： 心理价位（元/件） 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率. (1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望； (2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【答案】(1)分布列见解析，期望为3.6； (2)当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值． 【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率的分布列，由二项分布的期望公式得期望； （2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值． 【解析】（1）时，消费者购买该纪念品的概率， 由题意，，， ，同理，，，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 ； （2）由（1）知时，（时等号成立）， 时，（时等号成立）， 时，（时等号成立）， ，因此最大，此时． 所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值． 22．（2024高三·全国月考）一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌. (1)50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望； (2)甲、乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，再运用二项分布的期望公式直接求解即可； （2）根据题意得到甲乙任意一个人结束游戏的得分，再求出概率即可. 【解析】（1）由题意知，10个小球中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，4个白色球， 随机抽取一球，为黑色球或红色球的概率为， 所以，所以. （2）记甲和乙结束本轮游戏后，个人的得分为， 则的取值为， 每一次抽到红色球得100分的概率为，抽到绿色球得50分的概率为， 抽到黑色球得0分的概率为，抽到白色球得分的概率为， 则，， ，， ，， ，，， 则甲、乙的个人得分情况可能为： 200 150 100 90 50 40 0 则甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的可能情况为： 甲得200分，乙得90分及以下，概率为， 甲得150分，乙得40分及以下，概率为， 甲得100分，乙得分及以下，概率为， 甲得90分，乙得分，概率为， 则甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率. 考点6 超几何分布的判断 23．（2024高二·江西抚州月考）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【答案】C 【分析】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为， 则服从二项分布，A不满足； 对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足； 对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为， 则服从超几何分布，C满足； 对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回， 记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足. 故选：C. 24．（2024高二·全国月考）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（    ） A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7 C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10 【答案】A 【分析】根据超几何分布概率模型可得选项. 【解析】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10， 故选：A. 25．（2024高二·天津河西·期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 【答案】C 【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解. 【解析】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以. 故选：C 考点7 超几何分布的概率 26．（2024高二·宁夏石嘴山·期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据超几何分布求解分布列，即可根据期望公式求解. 【解析】随机变量可取， ，，，， ， 故选：C 27．（2024高三·广东深圳·期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是. 故选：B. 28．（2024高二·黑龙江哈尔滨·期末）从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得X服从超几何分布，利用概率公式计算． 【解析】由题意知X服从超几何分布，则. 故选：C 考点8 超几何分布的均值 29．（2024高三·四川成都月考）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可. 【解析】由题意可知从含有顾客喜好的k（）种糕点的n种糕点中，任取m（）种糕点，其中恰有种顾客喜好的糕点，则服从超几何分布， 所以，其中， 所以， 故选：A 30．（2024高二·江苏宿迁·期末）设随机变量（且），最大时，（    ） A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答. 【解析】随机变量，则， 因最大，则有， 即，， 整理得，解得， 而，则，所以. 故选：C 【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键． 31．（2024高二·山东青岛·期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望. 【解析】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：. 考点9 超几何分布的方差 32．（2024高二·江苏连云港月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 33．（2024高三·浙江月考）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 【答案】C 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 34．（2024高二·山东枣庄月考）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差. 【解析】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件． 则，所以； （2）依题意知服从超几何分布，且， 所以的分布列为： 0 1 2 . 35．（2024·浙江温州·模拟预测）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 【答案】 3 /0.36 【分析】该事件服从超几何分布，由其概率计算公式求出黑球个数，并列出分布列，再由分布列与方差的计算公式求得方差. 【解析】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布， 由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1，2，3， 由超几何分布事件分别计算对应概率， ， ， 可得分布列如下： 1 2 3 则， . 故答案为：; 36．（2024高二·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)，; 【分析】（1）利用组合数公式和超几何分布，先求分布列，再求数学期望和方差； （2）根据题意得，利用期望与方差的性质即可得解. 【解析】（1）依题意，得， ，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 ； . （2）依题意，得， 则，. 考点10 二项分布与超几何分布的综合应用 37．（2024·北京昌平·模拟预测）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为； （2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：， ∴，，， ∴X的分布列为： X 1 2 3 P ∴． ， ∴，， ，， ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P ∴． （2）， ， ∵， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性. 38．（2024高二·江西萍乡·期末）某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）； (2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据超几何分布及二项分布分别求解即可； （2）根据超几何分布及二项分布的数学期望及方差公式分别求解即得. 【解析】（1）记考生甲正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有， 且，， 所以，考生甲正确完成选题数的概率分布列如下表： 1 2 3 记考生乙正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有， 且，， 所以，考生乙正确完成选题数的概率分布列如下表： 0 1 2 3 （2）， ， 从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为，因此可以判断甲考生的操作能力更强. 39．（2024高三·山西月考）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据超几何分布概率公式和二项分布概率公式求概率，然后可得分布列； （2）分别求两人猜中谜语道数的期望，根据期望列不等式即可求解. 【解析】（1）设小张猜中谜语的道数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为2，3，4． 有，，， 故小张猜中谜语道数的分布列为 2 3 4 设小王猜中谜语的道数为，可知随机变量服从二项分布的取值分别为0，1，2，3，4， 有， ， ， ， ． 故小王猜中谜语道数的分布列为 0 1 2 3 4 （2）由（1）可知， 若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则，可得． 40．（2024高二·全国月考）为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的. （1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率. （2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由. 【答案】（1），；（2）选择学生，理由见解析. 【分析】（1）由古典概型概率公式求得的概率，由独立重复试验的概率公式计算出的概率； （2）的可能取值为1，2，3，计算出概率后得概率分布列，求出期望与方差，而，也计算出均值与方差，比较可得． 【解析】（1）由题意，知恰好答对2个问题的概率为，恰好答对2个问题的概率为. （2）的可能取值为1，2，3， 则；；. 所以，. 易知， 所以，. 因为，， 所以与答题的平均水平相当，但比更稳定.所以选择学生. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$