精品解析：山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

泰安一中新校区高三下学期第二次调研考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出集合，，由此利用交集的定义能求出. 【详解】，， 则， 故选：A． 2. 公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是公差不为零的等差数列，由得， 即，所以，解得. 故选：D 3. 某普通高中高二年级学生参加体育学业水平考试立定跳远项目模拟测试，甲、乙两位同学连续5次的测试数据如下表单位： 甲 210 220 216 220 230 乙 215 212 216 223 249 下列说法错误的是（ ） A. 甲同学测试数据的众数为220 B. 乙同学测试数据的极差为37 C. 甲同学测试数据的分位数为220 D. 乙同学测试数据的平均数为223 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、极差、百分位数及平均数的计算方法计算即可判断. 【详解】对于A，220出现的次数最多，所以为众数，故A正确； 对于B，因为，所以极差为37，故B正确； 对于C，将甲同学测试数据从小到大排列：. 因为，所以分位数为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：C 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数之间的关系得到，再利用二倍角公式得到以及的值，最后根据两角差的余弦公式得到结果. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，， 即． 故选：B． 5. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，为上的一点，且，，，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设列出关于的方程求出即可求解. 【详解】由题意得， 所以的短轴长为. 故选：B． 6. 已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题设得到圆锥内的最大球的直径，再借助圆锥轴截面以及截面图中性质，结合三角函数定义和倍角公式依次求出、和，进而由求出，即可依次求出圆锥的高和母线长，进而由圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】由球的表面积公式，即圆锥内的最大球的直径为， 圆锥轴截面如图，则，， 因为， 所以，设， 则，， 则， 在中，， 所以，所以， 所以圆锥的侧面积为． 故选：B． 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数降幂公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数的单调性以及对称性，建立不等式与方程，可得答案. 【详解】 ，， 则， 因为在上有最大值没有最小值，所以，， 又因为的图象关于直线对称，则，， 解得，，所以当时，符合要求. 故选：D． 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【详解】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数，（）（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念求，复数模的定义求，判断A，根据复数的乘法运算法则求，结合复数的模的定义求，由此判断B，结合复数的乘法法则，模的定义求判断C，结合复数的模的几何意义判断D. 【详解】对于A，复数的共轭复数， 所以，， 所以，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，因，，因为，所以，C正确； 对于D，若，则， 所以点到点的距离小于等于， 故点在以为圆心，为半径的圆上或圆内， 所以原点到的距离的最大值为原点到圆心的距离加半径， 所以，D正确， 故选：ACD． 10. 已知是抛物线的焦点，M，N是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. 若，则线段MN的中点到y轴的距离为2 C. 以MN为直径的圆与C的准线相切 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点与标准方程的关系，可得A的正误；根据抛物线的定义作图，结合梯形中位线的性质，可得BC的正确；设出动点坐标，利用向量数量积为零，根据基本不等式，可得D的正误. 【详解】由题意可得，解得，A正确； 如图，作准线，垂足为，作准线，垂足为， 由抛物线性质得，所以线段MN的中点到准线的距离为， 所以线段MN的中点到轴的距离为，B正确： 由B可知，的中点到准线的距离， 以为直径的圆的半径为，当时，圆与准线相切， 所以只有当线段MN过抛物线焦点时，以为直径的圆与的准线相切，否则不正确，C错误； 设，， 若．则，，， 所以 ， 当且仅当时取等． 故选ABD． 11. 在经济增长模型中，假设某种经济指标的增长与一种特殊函数关系密切相关．定义增长正弦函数为，增长余弦函数为，增长正切函数．则（ ） A. 增长余弦函数是偶函数 B. 增长正弦函数是增函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数得奇偶性的定义，即可判断；对于B，由函数得单调性的性质，即可判断；对于C，由可得，从而可求得，即可判断；对于D，推导得，再结合基本不等式的应用，即可求解判断. 【详解】对于A，，故增长余弦函数是偶函数，故A正确； 对于B，的定义域为，为增函数，为减函数，故为增函数，故B正确； 对于C，若，则，解得，所以，故C错误； 对于D，， , ，， , 当且仅当时等号成立，取到最小值. 故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键需推导出，再利用基本不等式，可得，即可证得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出与展开式中的系数，再求和即可. 【详解】因为为展开式中的系数， 展开式中的系数为， 展开式中的系数， 所以． 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，为偶函数，得到为周期函数，从而为周期函数求解. 【详解】因为函数为奇函数，为偶函数， 所以，， 则，所以为周期函数，且周期为4， 因为，所以为周期函数，且周期为4， 所以． 故答案为：2 14. 如图，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其体积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，分别交，与点，，由条件可得裁剪前，由六棱台性质可得，列方程求，再结合台体体积公式求结论. 【详解】如图，以为底边的等腰三角形的中位线为， 连接，分别交，与点，，则，分别为，的中点， 设，则由中位线和正六边形性质得，，， 折叠后形成的正六棱台如图所示，由正六边形性质得，，， 连接，则是正六棱台的高，即， 过点作，交于点， 由正六棱台结构特征可知平面， 平面，， 在中，，解得， 正六棱台的上下底面的边长分别为和， 正六棱锥上底面面积为，下底面面积为， 该正六棱台的体积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，若， （1）求 （2）若，为数列的前n项和，求 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系,结合等比数列公式求解即可； （2）采用分组转化求和法求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 当时，， ， ， ， 又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ， ， 又时也满足上式， ； 【小问2详解】 ， ， ， 16. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求B的大小; （2）若，，成等差数列，且的外接圆半径为1，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合两角和差得余弦公式化简即可求解； （2）结合等比中项及正弦定理可得，再由余弦定理及正弦定理即可求解； 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为为锐角三角形，故，所以，即 【小问2详解】 因为，，成等差数列，故，由正弦定理得，而， 结合余弦定理，将代入，解得， 因此为正三角形，而外接圆的半径为1，利用正弦定理可得 故的面积为 17. 已知函数． （1）当时，求的单调增区间； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求得，根据导数的正负求解即可； （2）首先根据导数得出在单调递减，在单调递增，则，再构造函数说明，再用作差法及基本不等式得出即可证明． 【小问1详解】 的定义域为， 当时，，则，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增， 故的单调增区间为． 【小问2详解】 由，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 故， 设， 则，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，当时等号成立， 又，当时等号成立， 故，得证． 18. 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为. （1）求乙同学第2局赢的概率； （2）求； （3）若存在，使成立，求整数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由题意得时，，化简变形后可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求出； （3）由题意得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而可求得答案. 【小问1详解】 由题意甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为； 【小问2详解】 由已知时，， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以； 【小问3详解】 ，即，令，则， 因为和在上递减， 所以在上递减， 因为，所以时，，则在上递减， 显然，因此要求的最小值，即求的最大值， 又，为奇数时，， 为偶数时，，且在为偶数时，是单调递减的，， 所以是中的最大值， 所以，又在上是减函数， 所以，而，故 所以， 所以满足的整数的最小值为. 19. 在直角坐标系中，为椭圆的左、右焦点．直线交椭圆于两点，交轴于点． 其中点在轴上方，的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）将平面沿轴翻折，使轴正半轴和轴所确定的半平面与轴负半轴和轴所确定的半平面所成二面角的平面角为，且， ① 在取得最大值的情况下，若，求翻折后异面直线与所成角的正弦值; ②若在平面上存在点满足，，且，求锐二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及其最大值求出即可. （2）①求出翻折前点坐标，建立空间直角坐标系，求出翻折后坐标，利用线线角的向量求法求出异面直线夹角；②作出二面角的平面角，利用余弦定理建立函数关系，借助二次函数求出最值. 【小问1详解】 由消去得，， ，设，， ， 当时，，解得，此时，因此， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，翻折前点， 翻折后建立如图所示的空间直角坐标系，， 点，， 设直线与所成的角为，则， 所以翻折后异面直线与所成角的正弦值. ②由，得点的轨迹是双曲线含焦点的一支， 在平面中，作轴于，由，平面， 则平面，又平面，于是，是二面角的平面角， 设，则，中， ， 又，令，则， 当时，取得最小值，所以锐二面角的余弦值的最小值为. 【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰安一中新校区高三下学期第二次调研考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A B. C. D. 2. 公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 3. 某普通高中高二年级学生参加体育学业水平考试立定跳远项目模拟测试，甲、乙两位同学连续5次的测试数据如下表单位： 甲 210 220 216 220 230 乙 215 212 216 223 249 下列说法错误的是（ ） A. 甲同学测试数据的众数为220 B. 乙同学测试数据的极差为37 C. 甲同学测试数据的分位数为220 D. 乙同学测试数据的平均数为223 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，为上的一点，且，，，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数，（）（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知是抛物线的焦点，M，N是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. 若，则线段MN的中点到y轴的距离为2 C. 以MN为直径的圆与C的准线相切 D. 当时， 11. 在经济增长模型中，假设某种经济指标的增长与一种特殊函数关系密切相关．定义增长正弦函数为，增长余弦函数为，增长正切函数．则（ ） A. 增长余弦函数是偶函数 B. 增长正弦函数是增函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则__________． 14. 如图，一圆形纸片圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，若， （1）求 （2）若，为数列的前n项和，求 16. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求B的大小; （2）若，，成等差数列，且的外接圆半径为1，求的面积. 17. 已知函数． （1）当时，求单调增区间； （2）证明：当时，． 18. 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为. （1）求乙同学第2局赢的概率； （2）求； （3）若存在，使成立，求整数的最小值. 19. 在直角坐标系中，为椭圆的左、右焦点．直线交椭圆于两点，交轴于点． 其中点在轴上方，的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）将平面沿轴翻折，使轴正半轴和轴所确定的半平面与轴负半轴和轴所确定的半平面所成二面角的平面角为，且， ① 在取得最大值的情况下，若，求翻折后异面直线与所成角的正弦值; ②若在平面上存在点满足，，且，求锐二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$