7.3复数的三角表示讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第08讲 复数的三角表示 目录 知识点一：复数的三角表达式 2 考点1：复数的代数式与三角式互化 2 考点2：求复数的辐角主值 4 知识点二：复数乘、除的三角表示及其几何意义 7 考点3：复数乘法运算的三角表示 8 考点4： 复数除法运算的三角表示 11 考点5：三角表示下复数乘、除的几何意义 13 知识点一：复数的三角表达式 1. 复数的辐角 (1) 辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 (2) 辐角的主值：根据辐角的概念以及任意角的概念可知，终点相等的角有无穷多个，且这些值相差的整数倍。因此，我们规定在范围内的辐角的值称为辐角的主值，通常记作，即。 (3) 复数的辐角是任意的。 2. 复数的三角形形式 (1) 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角。叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式。 (2) 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等。 考点1：复数的代数式与三角式互化 【例1.1.】 （多选）下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】复数的三角形式为， 所以只有B、C正确， 故选：BC. 【例1.2.】 复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 【例1.3.】 复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 【例1.4.】 复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限， 则，，所以，即 所以． 故选：D 【例1.5.】 欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故. 故选：A. 考点2：求复数的辐角主值 【例2.1.】 复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 【例2.2.】 已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C 【例2.3.】 复数的辐角主值是 ． 【答案】 【详解】， 故其辐角主值是. 故答案为：. 【例2.4.】 已知复数和的辐角主值分别为，则 ． 【答案】1 【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为，则， 所以 故答案为： 【例2.5.】 复数，则的辐角主值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 则，， 因为与对应的点在第四象限，所以， 故选：B 【例2.6.】 已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为在复平面内，与对应的点关于实轴对称， 所以，即， 解得， 所以. （2）由，得，即，   整理得，所以. 【例2.7.】 已知是实数，是非零复数，且满足，. （1）求； （2）设，若，求的值. 【答案】（1）（2） 【详解】（1），可设， 将其代入， 化简可得， ∴，解得， ∴. （2） . ∵，∴， 化简得. ∵， ∴， 即. 知识点二：复数乘、除的三角表示及其几何意义 1. 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1) 复数乘法运算的三角表示： 设两个复数，，则 ． 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。 (2) 复数乘法运算的几何意义： 把复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角（如果，则为按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，所得向量对应的复数就是． (3) 复数乘法运算三角表示推广： 特别地，当时，。 2. 复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1) 复数除法运算的三角表示： 设两个复数，，则 ． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 (2) 复数除法运算的几何意义： 把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转角（如果，则为按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，所得向量对应的复数就是． 考点3：复数乘法运算的三角表示 【例3.1.】 （    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C. 【例3.2.】 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 【例3.3.】 （    ） A． B． C． D． 【详解】 ， 故选：A. 【例3.4.】 复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 【例3.5.】 已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由， 可得 ， 因为，， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限． 故选：B． 【例3.6.】 （多选）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，那么复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【详解】解：对于A选项，由题知，所以，，所以，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，由题知对应的三角形式为，所以，故C选项正确； 对于D选项，当，时，，，当为偶数时，不妨设，则，故当为偶数时，不是纯虚数，故D选项错误. 故选：ABC 考点4： 复数除法运算的三角表示 【例4.1.】 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 【例4.2.】 计算： ．(用代数形式表示) 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【例4.3.】 设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 【答案】C 【详解】依题意，， 由复数是实数，得，在中，， 由，得，因此，解得， 所以是直角三角形. 故选：C 【例4.4.】 已知复数满足，则复数的辐角的主值是 ． 【答案】 【详解】由， 可得： 即， ， ， ， 复数的辐角的主值是. 故答案为： 考点5：三角表示下复数乘、除的几何意义 【例5.1.】 把复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是 . 【答案】 【详解】复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转， 所得到的向量对应的复数是 故答案为：. 【例5.2.】 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【答案】 【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 故答案为：. 【例5.3.】 如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 . 【答案】 【解析】因为， 所以由题意可得对应的复数为 ， 故答案为： 【例5.4.】 （多选）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（   ） A．＋i B．＋i C．＋i D．＋i 【答案】CD 【详解】由正的顶点对应的复数为，可得对应的复数为， 则对应的复数为，或， 所以对应的复数为或， 即或. 故选：CD． 【例5.5.】 （多选）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为， 故可以作为复数的辐角的是，， 当时，. 故选：BD. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 复数的三角表示 目录 知识点一：复数的三角表达式 2 考点1：复数的代数式与三角式互化 2 考点2：求复数的辐角主值 3 知识点二：复数乘、除的三角表示及其几何意义 4 考点3：复数乘法运算的三角表示 5 考点4： 复数除法运算的三角表示 6 考点5：三角表示下复数乘、除的几何意义 6 知识点一：复数的三角表达式 1. 复数的辐角 (1) 辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 (2) 辐角的主值：根据辐角的概念以及任意角的概念可知，终点相等的角有无穷多个，且这些值相差的整数倍。因此，我们规定在范围内的辐角的值称为辐角的主值，通常记作，即。 (3) 复数的辐角是任意的。 2. 复数的三角形形式 (1) 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角。叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式。 (2) 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等。 考点1：复数的代数式与三角式互化 【例1.1.】 （多选）下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【例1.4.】 复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 考点2：求复数的辐角主值 【例2.1.】 复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 复数的辐角主值是 ． 【例2.4.】 已知复数和的辐角主值分别为，则 ． 【例2.5.】 复数，则的辐角主值为（     ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 【例2.7.】 已知是实数，是非零复数，且满足，. （1）求； （2）设，若，求的值. 知识点二：复数乘、除的三角表示及其几何意义 1. 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1) 复数乘法运算的三角表示： 设两个复数，，则 ． 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。 (2) 复数乘法运算的几何意义： 把复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角（如果，则为按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，所得向量对应的复数就是． (3) 复数乘法运算三角表示推广： 特别地，当时，。 2. 复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1) 复数除法运算的三角表示： 设两个复数，，则 ． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 (2) 复数除法运算的几何意义： 把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转角（如果，则为按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，所得向量对应的复数就是． 考点3：复数乘法运算的三角表示 【例3.1.】 （    ） A．1 B．-1 C． D． 【例3.2.】 . 【例3.3.】 （    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【例3.5.】 已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3.6.】 （多选）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，那么复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数 考点4： 复数除法运算的三角表示 【例4.1.】 （    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 计算： ．(用代数形式表示) 【例4.3.】 设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 【例4.4.】 已知复数满足，则复数的辐角的主值是 ． 考点5：三角表示下复数乘、除的几何意义 【例5.1.】 把复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是 . 【例5.2.】 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【例5.3.】 如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 . 【例5.4.】 （多选）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（   ） A．＋i B．＋i C．＋i D．＋i 【例5.5.】 （多选）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$