第五章一元函数的导数及其应用章节检测试卷-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

【一元函数的导数及其应用章节检测】【限时两小时】 一、单选题 1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 7．（24-25高三下·山西·开学考试）函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知函数有且仅有一个零点，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·吉林长春·期末）下列命题正确的有（    ） A．已知函数，若，则 B．已知函数在上可导，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 10．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）设函数，则（    ） A．是的极大值点 B． C．的解集为 D．当时， 11．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 13．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 14．（2025高三下·全国·专题练习）已知不等式对上恒成立，则实数的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式; (2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 17．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 18．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 19．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，其中为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 20．（24-25高一上·湖南长沙·期末）十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ， 其中，读作的阶乘. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到. (1)，，，比较的大小; (2)当时，证明：； (3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A C B B BD ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以，即， 所以， 故选：B 2．C 【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到在点处的切线方程可表示为：，再由切线方程是，建立方程组求解. 【详解】因为，所以． 在点处的切线方程可表示为： ， 又因为曲线在点处的切线方程是， 所以解得． 故选：C. 3．D 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围，即可求出结果. 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 4．D 【分析】利用奇函数的性质求解出参数，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】因为为奇函数，且在处有定义， 所以，因为，所以，故， 而，得到切点为，又， 设切线斜率为，由斜率的几何意义得， 故切线方程为，化简得，故D正确. 故选：D 5．A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 6．C 【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可. 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 7．B 【分析】求导后再分类讨论单调递增和单调递减，借助导数研究其单调性.再构造函数，得到单调性，求出范围即可. 【详解】由.若单调递增，则恒成立，即. 设，，又函数在时函数值趋近于0，不满足条件； 若单调递减，则恒成立，即， 当时，函数在时函数值趋向于，不满足条件，所以， 令，则，所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以，即， 所以，即，解得. 故选：B 8．B 【分析】根据且得到为的唯一零点，从而得到，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为有且仅有一个零点，又，所以为的唯一零点． 因为，因为，所以， 令，解得，令，解得， 若，因为，所以，所以此时， 在上单调递减，所以， 又，所以在上存在唯一零点，此时有两个零点，不合题意； 同理若，即时，有两个零点，不合题意， 所以，所以， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 【点睛】思路点睛：证明 ，分和即和两种情况讨论，均有两个零点，不符合题意，从而得到. 9．BD 【分析】A选项，根据复合函数的导数运算，求出，再由，解方程即可判断A错； B选项，根据导数的概念，可判断B正确； C选项，由导数的除法运算法则，可判断C错； D选项，对函数求导，令，即可判断D正确； 【详解】A选项，由，得，则，解得，故A错； B选项，由题意，根据导数的概念可得，则，故B正确； C选项，根据导数的运算法则可得，，故C错； D选项，由得，则， 解得，故D正确； 故选：BD 10．ABD 【分析】先由导数求出函数的单调区间，再结合函数的单调性逐一判断即可． 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 当时，，当或时，， 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A正确 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式，因为， 即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误 对于选项D：因为，则，且， 可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：ABD 11．ABC 【分析】记，可得的单调性，构造，求导可得的单调性，进而可得的大小关系. 【详解】记，易知为上的增函数． 记，则． 令，得，故在上单调递增， 令，得，故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，，即． 由，，则， 可得或或． 故选：ABC. 12． 【分析】运用导数定义分析与导数定义的关系，得解. 【详解】导数的定义为. 对于，我们可以令，当时，. 那么. 而. 然后求函数的导数，可得. 得到. 所以. 故答案为：. 13． 【分析】利用导数的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 14． 【分析】由题意可得，设，利用导数求得其单调区间，然后按照，和分类讨论，运用参变分离和构造函数法，运用导数求单调性及最值，综合三种情况即可求解. 【详解】可变为， 再变形可得，，设， 原不等式等价， ，令得，令得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 当时，，所以由，可得， 因为，所以． 设， 令得，令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 当时，不等式在上恒成立； 当时，，无论是否存在， 使得在上恒成立，都可判断实数的最小值为． 故答案为： 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）方法一：先展开后再求导；方法二：利用乘法的求导法则进行求导； （2）先变形得到，利用求导法则进行计算； （3）利用求导法则直接进行计算即可； （4）利用求导除法法则计算出答案. 【详解】（1）方法一：， ∴； 方法二： ； （2）， ∴； （3） ； （4） ． 16．(1) (2)2 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可； 【详解】（1）函数， ， 在点处的切线为， 解得， 所以 （2）设，则由题可知，即， 所以P的横坐标为2． 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 18．(1)，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【详解】（1）， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 19．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，分和两种情况，利用导数判断的单调性； （2）根据题意整理可得，结合的单调性可得，构建，利用导数求其最值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 则，可得， ①当时，恒成立，可知在上单调递减； ②当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由可得， 整理得，即， 可得， 因为在定义域内单调递增，可得， 即，可得， 令，则. 因为， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，所以a的取值范围为. 20．(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）根据题意中常见函数的阶泰勒展开式，即可比较的大小； （2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证； （3）由题知，，当时，显然成立，当真包含于时，结合函数单调性可得，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可. 【详解】（1）由题知，用泰勒展开式前三项计算， 则， 又， ， 所以. （2）设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，所以； 设，， 则， 令，，则在上单调递增， 令，，则在上单调递减， 又，， 所以，即， 综上，. （3）易知，， 当时，显然成立； 当真包含于时，若，则函数最小值应大于，故， 则函数最大值小于，于是，因此. 同理，若，也能得到. 所以函数在区间上单调递减， 所以，于是， 变形有， 又函数在区间上为单调递增函数，且为奇函数， 故，所以可以化为， 由（2）可以知道没有两个解， 此时不存在区间满足条件. 综上所述，符合条件的区间只有. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$