精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四十九中学2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试题

哈四十九中学九年数学寒假学业质量检测试卷 命题人：SY，HLL，LW 审题人：SSY 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 哈尔滨市曾于1996年举办了第三届亚洲冬季运动会，这也是中国内地第一次举办洲际冬季综合运动会，数字1996的倒数是（ ） A. B. C. 1995 D. 1997 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，，．要使A、C、E成一条直线．那么开挖点E与点D的距离是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，，分别在边，，上，若，则下面所列比例式中正确的是（） A. B. C. D. 10. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，张华从家出发匀速骑行到画社，在画社停留了一段时间，之后匀速骑行到文化广场，在文化广场停留了一段时间后，再匀速步行返回家，如图所示的图象反映了这个过程中张华离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的对应关系．根据提供信息得出以下四个结论： 张华在画社停留分钟； 张华从家出发匀速骑行到画社的速度与从画社匀速骑行到文化广场的速度相同； 张华步行返回家的速度为； 张华离家的距离为时，张华离家的时间为． 以上四个结论正确的有（ ）个 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将3140000用科学记数法表示为__________． 12. 不等式组的解集是______． 13. 已知点和均在双曲线（k为常数，且）上，则________． 14. 二次函数与轴的交点坐标是_____________． 15. 如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则________． 16. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______； 17. 如图，在中，点D在边上，若，则的长为_____________． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 19. 正方形的对角线，交于点，点在上，，点为的中点，，连接，则的长为________． 20. 如图，在中，点B在上，连接，，，点E在上，连接交于点F，，于点G．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中结论正确的序号有__________（填写序号）． 三、解答题（60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画以为直角边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； （2）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且； （3）连接，直接写出线段的长． 23. 为迎接即将举行的哈尔滨亚冬会，某学校对一部分学生进行了“你最喜欢的冰雪运动”问卷调查（每人必选且只能选一项），根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若全校共2000名学生，请估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名． 24. 已知：在中，，于点，平分交于点，交于点，于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若点为的中点，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于的四条线段． 25. “冰雪同梦 亚洲同心”．随着时间推移，冰雪之约渐近，亚冬盛会将启．阳光社区决定举办一次社区冬季徒步活动，活动结束后，为参加活动的居民准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为60克，营养成分表如下． A B 项目 营养成分表（每60克） 营养成分表（每60克） 热量 700千焦 900千焦 蛋白质 10克 15克 脂肪 克 克 碳水化合物 28克 6克 纳 205毫克 236毫克 （1）若要从这两种食品中摄入3900千焦热量和60克蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）对于减肥的人群来说，对碳水化合物的摄入量要加以控制．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的碳水化合物含量不高于108克，则最多选择A种食物多少包？ 26. 已知，在中，是的直径，与弦相交于点F，点E为弧上一点，连接，，，，与交于点N，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，将半径绕圆心顺时针旋转，得到，与、分别交于点K、H，连接交于点P，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，与交于点M，连接，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标点，抛物线交轴正半轴于点，，点在此抛物线上． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第二象限内抛物线上一点，点的横坐标为，连接交轴于点，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点在该抛物线上，，点在轴正半轴上，，连接交轴于点，连接，，若平分，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈四十九中学九年数学寒假学业质量检测试卷 命题人：SY，HLL，LW 审题人：SSY 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 哈尔滨市曾于1996年举办了第三届亚洲冬季运动会，这也是中国内地第一次举办洲际冬季综合运动会，数字1996的倒数是（ ） A. B. C. 1995 D. 1997 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，互为倒数的两个数的乘积为1，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴数字1996的倒数是， 故选：B 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．分别利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，平方差公式对选项进行判断即可． 【详解】解：A中，，选项错误，故选项不符合题意； B中，，选项错误，故选项不符合题意； C中，，选项正确，故选项符合题意； D中，，选项错误，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】左视图是从左面观察几何体，据此即可判断. 【详解】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形， 故选B． 【点睛】本题主要考查几何题的三视图，准确理解三视图是的含义是解题的关键. 5. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的4倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， ……， 以此类推，可知第5个图形需要枚棋子， 故选：B． 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，，．要使A、C、E成一条直线．那么开挖点E与点D的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先利用三角形的外角性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：是的一个外角， ， ， ， 在中，， ， 开挖点与点的距离是， 故选：A． 9. 如图，在中，点，，分别在边，，上，若，则下面所列比例式中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例知识点，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理，分别对各选项进行分析判断． 【详解】A、因为，由平行线分线段成比例定理可得，而，所以该选项错误． B、由于，则四边形是平行四边形，所以． 因为，根据平行线分线段成比例定理可得，又因为，所以，该选项正确． C、因为，可得，又因为，所以，该选项错误． D、因为，则，而，所以，该选项错误． 故选：B． 10. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，张华从家出发匀速骑行到画社，在画社停留了一段时间，之后匀速骑行到文化广场，在文化广场停留了一段时间后，再匀速步行返回家，如图所示的图象反映了这个过程中张华离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的对应关系．根据提供信息得出以下四个结论： 张华在画社停留分钟； 张华从家出发匀速骑行到画社的速度与从画社匀速骑行到文化广场的速度相同； 张华步行返回家的速度为； 张华离家的距离为时，张华离家的时间为． 以上四个结论正确的有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据图象得张华在画社停留（分钟），可解答；根据分钟可求出张华从家出发匀速骑行到画社的速度，根据分钟可求出张华从画社出发匀速骑行到文化广场的速度，即可解答；根据分钟可求出张华步行返回家的速度，即可解答；张华离家的距离为时，分两种情况讨论：当张华骑行到画社的途中时；当张华步行返回家中时；即可解答． 【详解】解：根据题意得，张华在画社停留（分钟），故错误； 张华从家出发匀速骑行到画社的速度为， 张华从画社匀速骑行到文化广场的速度为， 所以张华从家出发匀速骑行到画社的速度与从画社匀速骑行到文化广场的速度相同，故正确； 张华步行返回家的速度为，故正确； 张华离家的距离为时，分两种情况讨论： 当张华骑行到画社的途中时，，离家时间为， 当张华步行返回家中时，张华从文化广场共走了，所以张华从文化广场共走了，所以张华离家的时间为， 所以，张华离家的距离为时，张华离家的时间为或，故错误， 综上，正确的有：， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将3140000用科学记数法表示为__________． 【答案】3.14 【解析】 【分析】用科学记数法将3140000表示出来即可． 【详解】解：3140000=3.14， 故答案为：3.14． 【点睛】科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，为整数.确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值0时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为 故答案为： 13. 已知点和均在双曲线（k为常数，且）上，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据点的坐标，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：点在双曲线上， ， 点在双曲线上， ， 故答案为：． 14. 二次函数与轴的交点坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键．轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0． 本题根据，求出的值，得到轴交点坐标． 【详解】当时，， ∴与轴交点坐标为， 故答案为：． 15. 如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用是解题的关键． 根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：切于C，过圆心O点，是弦，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 16. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______； 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式直接进行计算即可得解． 【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球，共有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球的结果有6种， ∴摸出的小球是红球的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 17. 如图，在中，点D在边上，若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 19. 正方形的对角线，交于点，点在上，，点为的中点，，连接，则的长为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，解直线三角形，连接，过点E作，先根据正方形的性质得到，，然后根据，即可得到长，再根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接，过点E作，交的延长线于点G， ∵是正方形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图，连接，过点E作于点G， 可得， ∴； 故答案为：或． 20. 如图，在中，点B在上，连接，，，点E在上，连接交于点F，，于点G．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中结论正确的序号有__________（填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和，外角定理导角即可证明；延长至点，使得，连接，过点作交延长线于点，过点作交于点，则，，那么，，故②正确；证明，则，设，则，，证明，则，故③正确；此时，故，故④正确；可得，，则，得出，进而得出，，即可判断⑤． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 延长至点，使得，连接，过点作交延长线于点，过点作交于点， ∴，， ∴，，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴ 若， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴，故⑤错误， ∴正确的序号为：①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于角度推导，以及全等三角形的构造． 三、解答题（60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算；根据分式的混合运算化简，然后根据特殊角的三角函数值进行计算化简，再代入化简的代数式，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画以为直角边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； （2）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且； （3）连接，直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图所示，等腰直角即为所求． （2） 如图正确所示，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直接三角形，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格结合等腰直角三角形的判定作图即可； （2）利用网格，画且即可； （3）利用勾股定理计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由勾股定理得：线段CD的长为． 23. 为迎接即将举行的哈尔滨亚冬会，某学校对一部分学生进行了“你最喜欢的冰雪运动”问卷调查（每人必选且只能选一项），根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若全校共2000名学生，请估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）从扇形统计图中可以看出滑雪人数占，从条形统计图中可以看出滑雪人数为50，据此即可求出总人数； （2）求出冰壶人数后即可补全条形统计图； （3）用2000乘以滑冰人数所占的百分比，即可估计出全校学生中最喜欢“滑冰”运动的学生的人数． 【小问1详解】 解：（名）， 答：在这次问卷调查中，一共抽查了200名学生； 【小问2详解】 解：冰壶的人数为：（名）， 【小问3详解】 解：（名）， 估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生约有800名． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联以及用样本估计总体是解题的关键． 24. 已知：在中，，于点，平分交于点，交于点，于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若点为的中点，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于的四条线段． 【答案】（1） 证明：,， ， ， 平分， ， 又,， ， , ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是菱形； （2），，， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可． （2）先证明，再分别证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：,,,. ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是长倍的所有线段有,,,． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，寻找全等三角形是解题的关键，必须熟练掌握特殊三角形边角关系． 25. “冰雪同梦 亚洲同心”．随着时间推移，冰雪之约渐近，亚冬盛会将启．阳光社区决定举办一次社区冬季徒步活动，活动结束后，为参加活动的居民准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为60克，营养成分表如下． A B 项目 营养成分表（每60克） 营养成分表（每60克） 热量 700千焦 900千焦 蛋白质 10克 15克 脂肪 克 克 碳水化合物 28克 6克 纳 205毫克 236毫克 （1）若要从这两种食品中摄入3900千焦热量和60克蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）对于减肥的人群来说，对碳水化合物的摄入量要加以控制．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的碳水化合物含量不高于108克，则最多选择A种食物多少包？ 【答案】（1）A种食品3包，B种食品2包 （2）最多选择A种食品3包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设应选用x包A种食品，y包B种食品，根据“要从这两种食品中摄入3900千焦热量和60克蛋白质”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求解； （2）设选择m包A种食物，则选择包B种食物，根据每份午餐中的碳水化合物含量不高于108克，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设应选用x包A种食品，y包B种食品， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用3包A种食品，2包B种食品； 【小问2详解】 解：设选择m包A种食物，则选择包B种食物， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为3． 答：最多选择A种食物3包． 26. 已知，在中，是的直径，与弦相交于点F，点E为弧上一点，连接，，，，与交于点N，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，将半径绕圆心顺时针旋转，得到，与、分别交于点K、H，连接交于点P，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，与交于点M，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2） 证明：如图所示，连接， 设 ∵ ∴ ∵ ∴， ∵将半径绕圆心顺时针旋转，得到， ∴，则 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵是直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）根据弧与圆周角的关系可得，进而可得，根据垂径定理的推论可得，则； （2）连接，设，进而可得，根据将半径绕圆心顺时针旋转，得到，得出，进而证明，根据内错角相等两直线，即可得证； （3）解得出，在上截取，使得，则，证明，进而求得，解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴ 如图所示，在上截取，使得，则 设 由（2）可得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ 过点作交于点 ∴ ∴ ∴ 在中，, ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧与圆周角的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定，含度角的直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标点，抛物线交轴正半轴于点，，点在此抛物线上． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第二象限内抛物线上一点，点的横坐标为，连接交轴于点，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点在该抛物线上，，点在轴正半轴上，，连接交轴于点，连接，，若平分，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，进而求得，根据正切的定义，即可求解； （3）过点作交的延长线于点，交轴于点，过点分别作轴的垂线交于点，设交轴于点，连接，过点作于点，根据（2）可得，设，则，得出，根据得出，进而得直线的解析式为，，即可得出，从而得出是的内心，求得，，则四点共圆，根据，可得，进而求得，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 将，代入得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：点为第二象限内抛物线上一点，点的横坐标为， ∴，， ∵轴， ∴，则， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作交的延长线于点，交轴于点，过点分别作轴的垂线交于点，设交轴于点，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式为，， 当时，，则， ∴， 即到轴与的距离相等，则点在的角平分线上， 又平分，则， ∴是的内心， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵，则，,， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，三角形内心的应用，圆周角定理，一次函数等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $