精品解析：辽宁省阜新市太平区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年度（上）学业质量检测 九年级数学试卷 （本试题23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）进行判断． 【详解】解： A．是一元一次方程，最高次数为1； B．是一元二次方程，只有一个未知数且最高次数为2； C．是二元一次方程，含有两个未知数； D．是分式方程，不是整式方程； ∴ 只有B选项是一元二次方程． 故选：B． 2. 下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、主视图和左视图都为矩形的，故选项符合题意； B、主视图和左视图都为等腰三角形，故选项不符合题意； C、主视图和左视图为圆，故选项不符合题意； D、主视图是矩形，左视图为三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 在 中， ，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 4. 如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例． 先由折叠可得，再根据矩形DMNC与矩形ABCD相似得出矩形对应边的比例式，求出AB的长即可． 【详解】解：由折叠可得， ∵矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴． 故选：A． 5. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点 处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在 ， 两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即 ， ， 三点共线，， ， 三点共线）．已知电线杆 ，之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离 为30米，则这条河的宽度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 45米 D. 50米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交 于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得解． 【详解】解：延长交 于点，如解图所示． ，， ， 依题意，米，米． 设这条河的宽度为 米． ， ． ， 即， 解得． 这条河的宽度为30米． 故选：B． 6. 一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回小球的重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在0.6左右，由此可知盒子中白的小球的个数可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有白色小球x个，列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中有白色小球x个，由题意得， 解得： ． 答：由此可知盒子中白的小球的个数可能是4个， 故选：B． 7. 如图，四边形是正方形，延长 到点E，使，连结 交 于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质．解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据正方形的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 8. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接 、 ，若 的面积是7，则k的值（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答． 【详解】解：如图，连接， ， 与y轴交于点M， ∵轴，点A双在曲线上，点B在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9. 下列各种现象属于中心投影现象的是（ ） A. 中午烈日下用来乘凉的树影 B. 上午阳光下人走在路上的影子 C. 晚上人走在路灯下的影子 D. 早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投影为中心投影， 故选：C． 10. 如图，在中，E是 的中点，交 于点F，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵，E是 的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比为； 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率．先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值， ∴小球最终停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 12. 小王同学用爸爸遗弃的充电宝和报废手机液晶屏，自制了一个亮度可调节的台灯．已知充电宝电压为5，液晶屏的电阻 ，如图的串联电路中，电流与滑动变阻器电阻，之间关系为 ，当电流表的读数 时，滑动变阻器电阻____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了欧姆定律、反比例函数的应用等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．将，，代入，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 代入，可得， 解得， 所以，滑动变阻器电阻． 故答案为：． 13. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数_________． 【答案】6 【解析】 【分析】设八年级有x个班，根据题意列方程，进行解答即可得． 【详解】解：设八年级有x个班， 解得，（舍）， 则八年级有6个班， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． 14. 如图，已知，若，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，，E，F分别是 和上的两个动点，M为 的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点D关于 的对称点，作点M关于 的对称点，连接，，，则所求的最小值即为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于 的对称点，作点M关于 的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，， ∴，， 过点作 的垂线，交 的延长线于点H，则四边形为矩形， ∴， ∵M为 的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算和方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）0 （2）或 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值及解一元二次方程． （1）先计算乘方，并根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用提公因式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出 关于y轴对称的； （2）在第四象限画出 以点O为位似中心的位似图形， 与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为 ， 该四边形的面积为：． 18. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因， 文山州非物质文化遗产资源丰富、品类繁多， 文山市第三中学为让学生深入了解非物质文化遗产， 决定邀请 铜鼓舞， 壮剧， 坡芽情歌， 葫芦笙舞制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中 坡芽情歌传承人的概率是_____． （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法， 求选中 壮剧和 葫芦笙舞制作传承人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中壮剧和 葫芦笙舞制作传承人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵邀请 铜鼓舞，壮剧， 坡芽情歌， 葫芦笙舞制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲， ∴从以上非物质遗产中任选一个，则选中 坡芽情歌传承人的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中壮剧和 葫芦笙舞制作传承人的结果有2种， ∴选中壮剧和 葫芦笙舞制作传承人的概率是． 19. 菱形中，对角线 ， 相交于点O，E为 边中点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例解答即可； （2）根据菱形的性质得出，进而利用线段的关系解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为 中点， ∴， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴的长为2． 20. 为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价 （万元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求月销售量与销售单价 的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． （1）根据图像上点坐标，，代入，用待定系数法求出即可． （2）根据总利润 单个利润 销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设与 的函数关系式为， 依题意，得，解得 所以与 的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题知． 整理方程，得． 解得． ∵此设备的销售单价不得高于32万元， ∴（舍），所以． 答：该设备的销售单价应是30万元． 21. 如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为 米的真空管 与水平线 的夹角为，安装热水器的铁架水平管 长米，求： （1） 的长度（结果精确到米）． （2）铁架垂直管 的长度（结果精确到米）．（，，） 【答案】（1） 的长度约为米； （2）铁架垂直管 的长度约为米． 【解析】 【分析】（ ）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出 ； （ ）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出 ，进而求出 ； 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ∴米， 在中，米，， 则（米）， ∴（米）， 答： 的长度约为米； 【小问2详解】 解：在中，米，， 则（米）， 在中，米，， 则（米）， ∴（米， 答：铁架垂直管 的长度约为米． 22. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段 ，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边 相交于点E，与边 相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想 ，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边 的中点处，它的两条边 和分别与直线 ， 相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①②（2），证明见解析（3）或 【解析】 【分析】（1）①证明，可得结论；②根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得出结论； （2）猜想：，连接 ，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设分两种情形：①当点E在线段 上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接 ， ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3）解：当点E在 上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， ∴ 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵， ， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 23. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值． （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． （3）在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标． 【答案】（1）不是；4 （2）18； （3）或或 【解析】 【分析】（1）分计算矩形的周长和面积，然后结合“美好点”的定义，即可判断点是否为“美好点”；分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得，然后求解即可； （2）①分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得求解即可确定点，再将其代入双曲线解析式，求解即可；②首先确定点，过点作轴，垂足为，然后由求解即可； （3）设，分为对角线、 为对角线和为对角线三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如下图， ∵， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 又∵， ∴点不是“美好点”； 如下图， ∵， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 若点是“美好点”， 则有，解得， ∴． 故答案为：不是；4； 【小问2详解】 解：①∵点为“美好点”， ∴， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 则有，解得， ∴， ∵点在双曲线的图像上， ∴，解得， 故答案为：18； ②由①可知，该双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， 则有，即， 如下图，过点作轴，垂足为， 则，，，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如下图， 设， ∵，，， 若以为对角线， 则有，， 解得：，， ∴； 若以 为对角线， 则有，， 解得 ，， ∴； 若以为对角线， 则有，， 解得，， ∴． 综上所述，G点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”、坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度（上）学业质量检测 九年级数学试卷 （本试题23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中， ，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在 ， 两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即 ， ，三点共线，， ，三点共线）．已知电线杆 ，之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离 为30米，则这条河的宽度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 45米 D. 50米 6. 一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回小球的重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在0.6左右，由此可知盒子中白的小球的个数可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，四边形是正方形，延长 到点E，使，连结交 于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 8. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接 、 ，若 的面积是7，则k的值（ ） A. B. 10 C. D. 9. 下列各种现象属于中心投影现象的是（ ） A. 中午烈日下用来乘凉的树影 B. 上午阳光下人走在路上的影子 C. 晚上人走在路灯下的影子 D. 早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 10. 如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是___________． 12. 小王同学用爸爸遗弃的充电宝和报废手机液晶屏，自制了一个亮度可调节的台灯．已知充电宝电压为5，液晶屏的电阻 ，如图的串联电路中，电流与滑动变阻器电阻，之间关系为 ，当电流表的读数 时，滑动变阻器电阻____． 13. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数_________． 14. 如图，已知，若，则______ ． 15. 如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为 的中点，则的最小值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算和方程： （1）； （2）； （3）． 17. 如图，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出 关于y轴对称的； （2）在第四象限画出 以点O为位似中心的位似图形， 与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 18. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因， 文山州非物质文化遗产资源丰富、品类繁多， 文山市第三中学为让学生深入了解非物质文化遗产， 决定邀请 铜鼓舞， 壮剧， 坡芽情歌， 葫芦笙舞制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中 坡芽情歌传承人的概率是_____． （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法， 求选中 壮剧和 葫芦笙舞制作传承人的概率． 19. 菱形中，对角线 ，相交于点O，E为边中点． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求月销售量与销售单价的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 21. 如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为 米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管 长米，求： （1）的长度（结果精确到米）． （2）铁架垂直管的长度（结果精确到米）．（，，） 22. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线 ， 相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 23. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值． （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． （3）在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $