高二数学月考卷（湘教版2019选择性必修第二册，导数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

1 / 5 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第 1 章导数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．若 lim → ( ) ( ) = 6，则𝑓 (2) =（ ） A． B．6 C．3 D．-3 2．已知𝑓(𝑥) = e + sin𝑥，则𝑓 (0) =（ ） A．0 B．2 C．1 D．−2 3．若函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝑎在[−6,−4]上单调递减，则 a的取值范围为（ ） A． − ,+∞ B． −∞,− C． − ,+∞ D． −∞,− 4．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎 在𝑥 = −1处取得极值 0，则𝑓 (1) =（ ） A．6 B．12 C．24 D．12 或 24 5．已知𝛼, 𝛽 ∈ − π , π ，且𝛼sin𝛼 − 𝛽sin𝛽 < 0，则（ ） A．𝛼 < 𝛽 B．𝑎 < 𝛽 C．𝛼 > 𝛽 D．𝛼 > 𝛽 6．已知正三棱锥的高为 ℎ ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 π ，则三棱锥体积的最大值是 （ ） A． √ B． √ C． √ D． √ 7．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 4在[0, 𝑎]上的最大值为 4，则实数 a的取值范围为（ ） 2 / 5 A．(0,1] B．(0, √3] C．(0,2] D．(0,2√3] 8．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥ln𝑥 − e 对定义域内任意𝑥 < 𝑥 ，都有 ( ) ( ) < 1，则正实数 m的取值范围为（ ） A． 0, B．(0,e] C． e , + ∞ D．[e, + ∞) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．定义在[−1,3]上的函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓 (𝑥)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数𝑓(𝑥)在(1,3)上单调递减 B．函数𝑓(𝑥)在[−1,1]上单调递减 C．函数𝑓(𝑥)在𝑥 = 1处取得极小值 D．函数𝑓(𝑥)在𝑥 = 0处取得极大值 10．已知函数𝑓(𝑥) = sin𝑥(1 − cos𝑥)，则（ ） A．𝑓(𝑥)的零点为2𝑘π(𝑘 ∈ Z) B．𝑓(𝑥)在 −π，π 上的最大值与最小值之和为 0 C．直线𝑥 = π是𝑓(𝑥)的图象的一条对称轴 D．0 是函数𝑦 = 𝑥𝑓(𝑥)的极小值点 11．定义在(0,+∞)上的函数𝑓(𝑥)，其导函数为𝑓 (𝑥)，且满足0 < 𝑓(𝑥) < 𝑓 (𝑥)，若0 < 𝑥 < 1 < 𝑥 ，且𝑥 𝑥 = 1， 则下列不等式一定正确的是（ ） A．𝑥 𝑓(𝑥 ) > 𝑥 𝑓(𝑥 ) B．𝑓(𝑥 ) > 𝑓(2 − 𝑥 ) C．ln𝑓(𝑥 ) − ln𝑓(𝑥 ) > 𝑥 − 𝑥 D．𝑓(𝑥 ) > (2 − 𝑥 )𝑓(𝑥 ) 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥ex，则𝑓(𝑥)在 0, 𝑓(0) 处切线方程为 . 13．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑎(𝑎 ≠ 0)，且𝑦 = 𝑓(𝑥)在区间(−3,𝑚)上的最大值为 3，无最小值，则𝑎 ⋅ 𝑚的 取值范围是 . 3 / 5 14．若 e + 𝑎 − 2 ≥ ( ) 对任意正数 x恒成立，则实数 a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）航天飞机发射后的一段时间内，第𝑡s时的高度ℎ(𝑡) = 5𝑡 + 30𝑡 + 45𝑡 + 4，其中 h的单位为 m， t的单位为 s． (1)ℎ(0), ℎ(1)分别表示什么？ (2)求第1s内高度的平均变化率； (3)求第1s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 16．（15 分）已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥ln𝑥 − 𝑎，若曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点 1, 𝑓(1) 处的切线方程为𝑦 = 𝑏𝑥 + 2. (1)求𝑎和𝑏的值； (2)求𝑓(𝑥)的单调区间. 4 / 5 17．（15 分）如图，过抛物线𝑦 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)上一点𝑃(1,2)，作两条直线分别交抛物线于𝐴(𝑥 , 𝑦 )，𝐵(𝑥 , 𝑦 )两 点，当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时， (1)求𝑦 + 𝑦 的值； (2)若直线 AB在 y轴上的截距𝑏 ∈ (−1,3]，求△𝐴𝐵𝑃面积的最大值． 18．（17 分）已知函数𝑓(𝑥) = (e − 1) e − 𝑎𝑥 − 2(𝑎 ∈ R). (1)证明：曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)是中心对称图形. (2)证明：若𝑓 (𝑥)是𝑓(𝑥)的导函数，当𝑎 = 1时，𝑓 (𝑥)有两个零点. (3)当𝑎 = 1时，设函数𝑔(𝑥) = 𝑥 e + e − 𝑓(𝑥)，求𝑔(𝑥)的最小值. 5 / 5 19．（17 分）定义：若ℎ (𝑥)是ℎ(𝑥)的导数，ℎ (𝑥)是ℎ (𝑥)的导数，则曲线𝑦 = ℎ(𝑥)在点 𝑥, ℎ(𝑥) 处的曲率 𝐾 = ( ) { [ ( )] } ；已知函数𝑓(𝑥) = e sin π+ 𝑥 ，𝑔(𝑥) = 𝑥 + (2𝑎 − 1)cos𝑥, 𝑎 < ，曲线𝑦 = 𝑔(𝑥)在点 0,𝑔(0) 处的曲率为√ ； (1)求实数𝑎的值； (2)对任意𝑥 ∈ − π , 0 ,𝑚𝑓(𝑥) ≥ 𝑔 (𝑥)恒成立，求实数𝑚的取值范围； (3)设方程𝑓(𝑥) = 𝑔 (𝑥)在区间 2𝑛π + π , 2𝑛π + π 𝑛 ∈ N* 内的根为𝑥 , 𝑥 ,… , 𝑥 ，…比较𝑥 与𝑥 + 2π的大 小，并证明. 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章导数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 2．已知，则（    ） A．0 B．2 C．1 D． 3．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 5．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 10．已知函数，则（   ） A．的零点为 B．在上的最大值与最小值之和为0 C．直线是的图象的一条对称轴 D．0是函数的极小值点 11．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则在处切线方程为 . 13．已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 14．若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 16．（15分）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 17．（15分）如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，    (1)求的值； (2)若直线AB在y轴上的截距，求面积的最大值． 18．（17分）已知函数. (1)证明：曲线是中心对称图形. (2)证明：若是的导函数，当时，有两个零点. (3)当时，设函数，求的最小值. 19．（17分）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为； (1)求实数的值； (2)对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章导数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．已知，则（    ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故. 故选：B 3．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 4．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【答案】C 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 5．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，易知其为偶函数， ， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在单调递减，单调递增，又其为偶函数， 所以即， 等价于，即， 故选：B 6．已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ， ， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 故选：B 7．已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 8．已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，，且由题干可知，即， 所以当时，恒成立，此时可以是任意实数， 当时，恒成立， 等价于，当时，， 所以当时，，即当时，. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数m的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10．已知函数，则（   ） A．的零点为 B．在上的最大值与最小值之和为0 C．直线是的图象的一条对称轴 D．0是函数的极小值点 【答案】BD 【详解】解：对于A，函数的零点即时x的值， 因为，则或， 当时，， 当，即时，，， 所以的零点为，，A选项错误; 对于B，因为，所以为奇函数， 所以在上的最大值与最小值之和为0，B选项正确; 对于C，， ， ，所以直线不是的图象的一条对称轴，C选项错误； 对于D，令， 则， 当时，，， 所以，单调递减， 又为偶函数，所以时，单调递增， 所以0是函数的极小值点，D选项正确. 故选:BD. 11．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项：因为，可知在上单调递增， 且，则，所以，A正确； B选项：因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，B正确； C选项：令，则， 可知在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为，则，可得， 所以，C错误； D选项：由C可知，且， 则， 令 当单调递增，所以，所以， 所以， 所以，D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则在处切线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以在处切线方程的斜率，即切线方程为. 故答案为：. 13．已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 14．若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，且， 可得，整理可得， 构建 又因为在内单调递增，可得在内单调递增， 可得，且，整理可得， 令，可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，则内单调递减，则， 可得，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 【详解】（1）表示航天飞机未发射时的高度，（2分） 表示航天飞机发射后的高度．（4分） （2），（6分） 即第内高度的平均变化率为．（7分） （3），（10分） 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加．（13分） 16．（15分）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【详解】（1）由题可得，（2分） 所以，即，（5分） 切线方程为， 所以. 所以；. （7分） （2）由（1）得，，（9分） 函数定义域为，（10分） 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （15分） 17．（15分）如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，    (1)求的值； (2)若直线AB在y轴上的截距，求面积的最大值． 【详解】（1）由抛物线过点，得，（2分） 设直线的斜率为，直线的斜率为， 由倾斜角互补可知，即，（4分） 由，代入得．（6分） （2）设直线的斜率为，由，得， 由（1）得，将其代入上式得．（6分） 因此设直线的方程为，由，消去得，（8分） 由，得， 这时，（9分） ，又点到直线的距离为， 所以，（11分） 令，则由，得或， 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 故的最大值为，故面积的最大值为．（15分） 18．（17分）已知函数. (1)证明：曲线是中心对称图形. (2)证明：若是的导函数，当时，有两个零点. (3)当时，设函数，求的最小值. 【详解】（1）由， 所以，故是的对称中心， 所以曲线是中心对称图形，得证；（4分） （2）当时，， 所以，（6分） 又，所以，即是偶函数， 在上，令，则， 由，即在上单调递增，（8分） 又，且，故在上存在唯一零点， 由偶函数对称性知：在R上有两个零点，得证；（10分） （3）由题设，则，（11分） 令，则， 令，则， 当，，即在上单调递增； 当，，即在上单调递减； 则，即，故在R上单调递增，（14分） 又，则上，上， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值为3. （17分） 19．（17分）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为； (1)求实数的值； (2)对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明. 【详解】（1）由已知， 所以，解得（舍去， 所以；（3分） （2）由（1）得，则， 对任意的，即恒成立，（5分） 令，则，不等式恒成立， 当时，，原不等式化为，（7分） 令， 则， 所以在区间单调递增，所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为；（10分） （3），证明如下： 由已知方程可化为，（11分） 令，则， 因为，所以， 所以，所以在区间上单调递减， 故 ， ， 所以存在唯一，使得，（13分） 又， 则 ， 由单调递减可得， 所以. （17分） 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章导数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 2．已知，则（    ） A．0 B．2 C．1 D． 3．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 5．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 10．已知函数，则（   ） A．的零点为 B．在上的最大值与最小值之和为0 C．直线是的图象的一条对称轴 D．0是函数的极小值点 11．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则在处切线方程为 . 13．已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 14．若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 16．（15分）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 17．（15分）如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，    (1)求的值； (2)若直线AB在y轴上的截距，求面积的最大值． 18．（17分）已知函数. (1)证明：曲线是中心对称图形. (2)证明：若是的导函数，当时，有两个零点. (3)当时，设函数，求的最小值. 19．（17分）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为； (1)求实数的值； (2)对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D C B B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）表示航天飞机未发射时的高度，（2分） 表示航天飞机发射后的高度．（4分） （2），（6分） 即第内高度的平均变化率为．（7分） （3），（10分） 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题可得，（2分） 所以，即，（5分） 切线方程为， 所以. 所以；. （7分） （2）由（1）得，，（9分） 函数定义域为，（10分） 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （15分） 17．（15分） 【详解】（1）由抛物线过点，得，（2分） 设直线的斜率为，直线的斜率为， 由倾斜角互补可知，即，（4分） 由，代入得．（6分） （2）设直线的斜率为，由，得， 由（1）得，将其代入上式得．（6分） 因此设直线的方程为，由，消去得，（8分） 由，得， 这时，（9分） ，又点到直线的距离为， 所以，（11分） 令，则由，得或， 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 故的最大值为，故面积的最大值为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由， 所以，故是的对称中心， 所以曲线是中心对称图形，得证；（4分） （2）当时，， 所以，（6分） 又，所以，即是偶函数， 在上，令，则， 由，即在上单调递增，（8分） 又，且，故在上存在唯一零点， 由偶函数对称性知：在R上有两个零点，得证；（10分） （3）由题设，则，（11分） 令，则， 令，则， 当，，即在上单调递增； 当，，即在上单调递减； 则，即，故在R上单调递增，（14分） 又，则上，上， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值为3. （17分） 19．（17分） 【详解】（1）由已知， 所以，解得（舍去， 所以；（3分） （2）由（1）得，则， 对任意的，即恒成立，（5分） 令，则，不等式恒成立， 当时，，原不等式化为，（7分） 令， 则， 所以在区间单调递增，所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为；（10分） （3），证明如下： 由已知方程可化为，（11分） 令，则， 因为，所以， 所以，所以在区间上单调递减， 故 ， ， 所以存在唯一，使得，（13分） 又， 则 ， 由单调递减可得， 所以. （17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 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𝛽 6．已知正三棱锥的高为 ℎ ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 π ，则三棱锥体积的最大值是 （ ） A． √ B． √ C． √ D． √ 7．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 4在[0, 𝑎]上的最大值为 4，则实数 a的取值范围为（ ） A．(0,1] B．(0, √3] C．(0,2] D．(0,2√3] 8．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥ln𝑥 − e 对定义域内任意𝑥 < 𝑥 ，都有 ( ) ( ) < 1，则正实数 m的取值范围为（ ） A． 0, B．(0,e] C． e , + ∞ D．[e, + ∞) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．定义在[−1,3]上的函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓 (𝑥)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数𝑓(𝑥)在(1,3)上单调递减 B．函数𝑓(𝑥)在[−1,1]上单调递减 C．函数𝑓(𝑥)在𝑥 = 1处取得极小值 D．函数𝑓(𝑥)在𝑥 = 0处取得极大值 10．已知函数𝑓(𝑥) = sin𝑥(1 − cos𝑥)，则（ ） A．𝑓(𝑥)的零点为2𝑘π(𝑘 ∈ Z) B．𝑓(𝑥)在 −π，π 上的最大值与最小值之和为 0 C．直线𝑥 = π是𝑓(𝑥)的图象的一条对称轴 D．0 是函数𝑦 = 𝑥𝑓(𝑥)的极小值点 11．定义在(0,+∞)上的函数𝑓(𝑥)，其导函数为𝑓 (𝑥)，且满足0 < 𝑓(𝑥) < 𝑓 (𝑥)，若0 < 𝑥 < 1 < 𝑥 ，且 𝑥 𝑥 = 1，则下列不等式一定正确的是（ ） A．𝑥 𝑓(𝑥 ) > 𝑥 𝑓(𝑥 ) B．𝑓(𝑥 ) > 𝑓(2 − 𝑥 ) C．ln𝑓(𝑥 ) − ln𝑓(𝑥 ) > 𝑥 − 𝑥 D．𝑓(𝑥 ) > (2 − 𝑥 )𝑓(𝑥 ) 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥ex，则𝑓(𝑥)在 0, 𝑓(0) 处切线方程为 . 13．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑎(𝑎 ≠ 0)，且𝑦 = 𝑓(𝑥)在区间(−3,𝑚)上的最大值为 3，无最小值，则𝑎 ⋅ 𝑚的 取值范围是 . 14．若 e + 𝑎 − 2 ≥ ( ) 对任意正数 x恒成立，则实数 a的取值范围为 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）航天飞机发射后的一段时间内，第𝑡s时的高度ℎ(𝑡) = 5𝑡 + 30𝑡 + 45𝑡 + 4，其中 h的单位为 m，t的单位为 s． (1)ℎ(0), ℎ(1)分别表示什么？ (2)求第1s内高度的平均变化率； (3)求第1s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 16．（15 分）已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥ln𝑥 − 𝑎，若曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点 1, 𝑓(1) 处的切线方程为𝑦 = 𝑏𝑥 + 2. (1)求𝑎和𝑏的值； (2)求𝑓(𝑥)的单调区间. 17．（15 分）如图，过抛物线𝑦 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)上一点𝑃(1,2)，作两条直线分别交抛物线于𝐴(𝑥 , 𝑦 )，𝐵(𝑥 , 𝑦 )两 点，当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时， (1)求𝑦 + 𝑦 的值； (2)若直线 AB在 y轴上的截距𝑏 ∈ (−1,3]，求△𝐴𝐵𝑃面积的最大值． 18．（17 分）已知函数𝑓(𝑥) = (e − 1) e − 𝑎𝑥 − 2(𝑎 ∈ R). (1)证明：曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)是中心对称图形. (2)证明：若𝑓 (𝑥)是𝑓(𝑥)的导函数，当𝑎 = 1时，𝑓 (𝑥)有两个零点. (3)当𝑎 = 1时，设函数𝑔(𝑥) = 𝑥 e + e − 𝑓(𝑥)，求𝑔(𝑥)的最小值. 19．（17 分）定义：若ℎ (𝑥)是ℎ(𝑥)的导数，ℎ (𝑥)是ℎ (𝑥)的导数，则曲线𝑦 = ℎ(𝑥)在点 𝑥, ℎ(𝑥) 处的曲率 𝐾 = ( ) { [ ( )] } ；已知函数𝑓(𝑥) = e sin π+ 𝑥 ，𝑔(𝑥) = 𝑥 + (2𝑎 − 1)cos𝑥, 𝑎 < ，曲线𝑦 = 𝑔(𝑥)在点 0,𝑔(0) 处的曲率为√ ； (1)求实数𝑎的值； (2)对任意𝑥 ∈ − π , 0 ,𝑚𝑓(𝑥) ≥ 𝑔 (𝑥)恒成立，求实数𝑚的取值范围； (3)设方程𝑓(𝑥) = 𝑔 (𝑥)在区间 2𝑛π + π , 2𝑛π + π 𝑛 ∈ N* 内的根为𝑥 , 𝑥 ,… , 𝑥 ，…比较𝑥 与𝑥 + 2π的大 小，并证明.