精品解析：河南省安阳市内黄县2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

内黄县2024—2025学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 太阳绕着地球转 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 2025年有366天 D. 在一个标准大气压下，水加热到时会沸腾 4. 如图，这是由4个相同的小正方体组成的立体图形，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 5. 如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 如图，，，若，则的长为（ ） A. 15 B. 30 C. 35 D. 40 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为（ ） A. 20米 B. 米 C. 米 D. 80米 9. 已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（含糖浓度），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最少的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 12. 抛物线经过点，则______． 13. 参加足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____． 14. 如图，是的直径，内接于，，平分，则的度数为________． 15. 如图，在矩形中，，，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠，则的最大值为________，最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．若，求的度数． 18. 有A，B两个不透明的盒子，A盒中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4；B盒中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，．现从A盒中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从B盒中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点的坐标为． （1）用列表或画树状图的方法列举点所有可能的坐标． （2）求点在反比例函数的图象上的概率． 19. 如图，在平行四边形中，E为边上的一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的作图下，求证：． 20. 如图，在中，是直径，C是圆上的一点，点D在的延长线上，直线是的切线． （1）求证：． （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 学校有一个旗杆，在阳光的照射下，旗杆的影子落在了操场地面上．为了测量旗杆的高度，同学们设计了以下两种方案． 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．如图1，测量标杆米，标杆影长米，旗杆影长米． 方案二：利用锐角三角函数，如图2，在距离旗杆9.5米的点G处放置一架测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，旗杆底部B的俯角为． （1）根据“方案一”的测量数据，求出旗杆的高度． （2）根据“方案二”的测量数据，求出旗杆的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 22. 某公司生产一种产品，其总成本与产量之间的关系可以用二次函数来描述，设产量为x（吨），总成本为（万元），则．已知当产量为1吨时，总成本为7.5万元；当产量为2吨时，总成本为6万元．同时，该产品的销售价格与产量之间的关系符合反比例函数关系，设销售价格为（万元/吨），则．当产量为5吨时，销售价格为4万元/吨． （1）求，的函数解析式． （2）求利润w（万元）与产量x之间的函数关系式（利润销售额总成本，该产品的市场需求量大，生产多少卖多少），并求出产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图1，在中，，，，D，E分别为，上靠近点C的三等分点． 【观察猜想】 （1）如图1，与的数量关系为________，与的位置关系为________． 【类比探究】 （2）如图2，将绕点C旋转至如图所示位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）将绕点C旋转，在旋转过程中，当点A，E，D在同一条直线上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内黄县2024—2025学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意； B、不是二次函数，则B不符合题意； C、是二次函数，则C符合题意； D、是一次函数，则D不符合题意； 故选：C． 2. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 太阳绕着地球转 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 2025年有366天 D. 在一个标准大气压下，水加热到时会沸腾 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A．太阳绕着地球转是不可能事件； B．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件； C．2025年有366天是不可能事件； D．在一个标准大气压下，水加热到时会沸腾是必然事件． 故选B． 4. 如图，这是由4个相同的小正方体组成的立体图形，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据该几何体的三视图可逐一判断，掌握三视图的含义是解题的关键． 【详解】解：该几何体的主视图： 左视图： 俯视图： ∴主视图、左视图相同． 故选：． 5. 如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为．从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， 故选：B． 6. 如图，，，若，则的长为（ ） A. 15 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理，是解决问题的关键．运用平行线分线段成比例得出，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得：且． 故选：D． 8. 如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为（ ） A. 20米 B. 米 C. 米 D. 80米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题及勾股定理，根据正弦的定义得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：滑雪场坡度，的长为米， ，则， 在中，， ， 米（负值舍去）， 故选：A． 9. 已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点,根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵关于直线的对称点是，，， 而 ， ∴， 故选：D． 10. 糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（含糖浓度），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最少的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象上点的坐标特征，根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定乙瓶糖水中含糖固体质量最多，丙瓶糖水中含糖固体质量最少，甲、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述甲、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面， ∴乙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多，丙瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可． 【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0． 12. 抛物线经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点代入函数解析式即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 参加足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场场比赛，共要比赛45场，可列出方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 【详解】解：设有个队参赛， ． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，内接于，，平分，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能找到的运动轨迹是解决此题的关键．根据确定点的运动轨迹是在以点P为圆心，的长为半径的圆弧上运动，再由Q是边上的动点和最短距离即可得解． 【详解】解：，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠， 是在以点P为圆心，的长为半径的圆弧上运动，如图所示， 当Q与C重合时，有最大值， 根据“两点之间线段最短”知， 当在与圆弧的交点处时，最小， 故答案为：，3． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 （1）首先计算特殊角的三角函数值、乘方，最后合并计算，求出算式的值即可． （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ， ， ∴，． 17. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，推出是等腰三角形，进而求出的度数，利用即可求出的度数． 【详解】解：绕点B逆时针旋转，得到， ，，， ． ， ， ， ． 18. 有A，B两个不透明的盒子，A盒中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4；B盒中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，．现从A盒中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从B盒中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点的坐标为． （1）用列表或画树状图的方法列举点所有可能的坐标． （2）求点在反比例函数的图象上的概率． 【答案】（1）见详解 （2）点在反比例函数的图象上的概率为是 【解析】 【分析】本题主要考查利用列表和画树状图计算概率： （1）根据列表的方法即可求得答案； （2）根据列表和画树状图可求得事件所有可能的结果和点在反比例函数的图象上的的结果． 【小问1详解】 解：列表如下． A B 1 2 3 4 共有12种等可能的结果； 【小问2详解】 解：由（1）可知满足点在反比例函数的图象上的结果有，，，共3种， 点在反比例函数的图象上的概率为是． 19. 如图，在平行四边形中，E为边上的一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的作图下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图，并标上字母即可； （2）根据平行四边形的性质可证，从而，进一步得到． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ， ． ， ． 20. 如图，在中，是直径，C是圆上的一点，点D在的延长线上，直线是的切线． （1）求证：． （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，面积的求法，三角形的解法． （1）连接，得到，然后可得结论； （2）推出，通过求解三角形，推出，然后求解面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC． 是直径， ． ， ， ． 直线CD是的切线， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ． ，， ， ． 21. 学校有一个旗杆，在阳光的照射下，旗杆的影子落在了操场地面上．为了测量旗杆的高度，同学们设计了以下两种方案． 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．如图1，测量标杆米，标杆影长米，旗杆影长米． 方案二：利用锐角三角函数，如图2，在距离旗杆9.5米的点G处放置一架测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，旗杆底部B的俯角为． （1）根据“方案一”的测量数据，求出旗杆的高度． （2）根据“方案二”的测量数据，求出旗杆的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】（1）旗杆的高度为18米 （2）旗杆的高度约为18米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用． （1）根据列比例式求解即可； （2）过点F作，交于点H．在中，根据求出，在中，根据求出，燃弧根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， ，即， （米）， 旗杆的高度为18米． 【小问2详解】 解：如图，过点F作，交于点H． 由题意，得，，米． 在中，， 米． 在中，， 米， 米， 旗杆的高度约为18米． 22. 某公司生产一种产品，其总成本与产量之间的关系可以用二次函数来描述，设产量为x（吨），总成本为（万元），则．已知当产量为1吨时，总成本为7.5万元；当产量为2吨时，总成本为6万元．同时，该产品的销售价格与产量之间的关系符合反比例函数关系，设销售价格为（万元/吨），则．当产量为5吨时，销售价格为4万元/吨． （1）求，的函数解析式． （2）求利润w（万元）与产量x之间的函数关系式（利润销售额总成本，该产品的市场需求量大，生产多少卖多少），并求出产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）当产量为3吨时，利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，熟练运用二次函数的性质求最值． （1）根据题意列出方程组，解方程组即可求得； （2）根据利润销售额总成本，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求得． 【小问1详解】 解：（1）将，和，分别代入， 得 解得 ． 将，代入，得 ， 解得， ． 【小问2详解】 解：由题意，得， 其对称轴为直线． 又， 开口向下， 当时，w取得最大值． 当时，（万元）． 答：当产量为3吨时，利润最大，最大利润是万元． 23. 如图1，在中，，，，D，E分别为，上靠近点C的三等分点． 【观察猜想】 （1）如图1，与的数量关系为________，与的位置关系为________． 【类比探究】 （2）如图2，将绕点C旋转至如图所示位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）将绕点C旋转，在旋转过程中，当点A，E，D在同一条直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长，交于点F． ，，，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ． ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）因为D，E分别为，上靠近点的三等分点，已知三角形的边的关系，可通过计算得出，根据，从而得到； （2）类比探究：延长，交于点．由已知条件可证，得到且，进而推出，所以结论仍然成立； （3）分两种情况讨论．①当A，D，E三点共线，在上方，过点C作，交于点G ，在中利用勾股定理求出，，，的长度，再根据（2）中结论和勾股定理求出的长度；②A，D，E三点共线，在下方，过点C作，交于点G，同理求出的长度． 【详解】解：（1）解：D，E分别为，上靠近点C的三等分点，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：分2种情况讨论： 如图，当A，D，E三点共线，在上方，过点C作，交于点G． 在中，，， ， ， ，， ， 由（2），得， ； ②如图，A，D，E三点共线，在下方，过点C作，交于点G． 同理，可得， 由（2），得， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了三角形中线段的数量关系与位置关系，以及图形旋转，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质等．解题的关键是通过相似三角形的判定与性质来证明线段关系，并利用勾股定理求解线段长度，同时要注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $