第六章 平面向量及其应用 章末整合提升 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 章末整合提升 学案 知识体系构建 题型突破 题型一　平面向量的线性运算及基本定理 1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 例1(1)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．设＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：B　由题意可知，＝－＝m－n，又BD＝2DA，所以＝2＝2(m－n)，所以＝＋＝n－2(m－n)＝3n－2m. (2)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A．2－ B．2－ C．2＋ D．2＋ 解析：A　如图所示，因为D为△ABC的边AB的中点， 所以＋＝2，所以＝2－. (3)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 解析：A　作出示意图如图所示． ＝＋＝＋ ＝×(＋)＋(－)＝－. 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． 变式训练 1.如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A．　　 B．　　 C．2　　 D． 解析：A　设＝λ， 因为＝，所以＝， 则＝＋＝＋λ ＝＋λ(＋) ＝(1－λ)＋λ， 又因为＝m＋， 所以解得λ＝，m＝. 题型二　平面向量的数量积及应用 1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　(1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb.若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6　　 B．－5　　 C．5　　 D．6 解析：C　由题意可得c＝(3＋t，4)， 由〈a，c〉＝〈b，c〉得cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉， 即＝，解得t＝5. (2)已知O，A，B三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：C　设点P的坐标为(x，y)， 由＝t，得(x－3，y)＝t(－3，3)， ∴x＝3－3t，y＝3t， 即点P的坐标为(3－3t，3t)， ∴·＝9－9t. ∵0≤t≤1，∴当t＝0时，·取得最大值，最大值为9. 1．向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 2．利用向量数量积可以解决以下问题 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； (2)求向量的夹角和模的问题 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝ . 变式训练 2．(1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)．若(a－λb)⊥b，则λ＝________． 解析：法一：由a＝(1，3)，b＝(3，4)， 得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)． 由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0， 故3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0⇒15－25λ＝0⇒λ＝. 法二：由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0， 即a·b－λb2＝0， a·b＝1×3＋3×4＝15，b2＝3×3＋4×4＝25， 则15－25λ＝0，∴λ＝. 答案： (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________． 解析：因为＝＋＝＋， ＝－＝－， 所以·＝(4＋3)·(4－3)＝(2－2)＝×(16×62－9×42)＝9. 答案：9 题型三　三角形中的最值、范围问题 1．任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． 2．通过三角形中的最值、范围问题，培养逻辑推理、数学运算的学科素养． 例3　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－sin2B－cos2A＝sin Csin B． (1)求角A的大小； (2)若a＝，求△ABC周长的取值范围． 解：(1)因为cos2C－sin2B－cos2A＝sin Csin B，所以1－sin2C－sin2B－(1－sin2A)＝sin Csin B，故sin2B＋sin2C－sin2A＝－sin Csin B，即b2＋c2－a2＝－bc，故cos A＝＝－，结合A∈(0，π)，故A＝. (2)因为a＝，所以b＋c>a＝，即a＋b＋c>2.由余弦定理得3＝b2＋c2－2bc×＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－(b＋c)2＝(b＋c)2，解得b＋c≤2，故a＋b＋c≤2＋，当且仅当b＝c＝1时，等号成立． 综上可知，△ABC周长的取值范围是(2，2＋]． 三角形面积公式S△ABC＝absin C与正弦、余弦定理联系紧密，求三角形面积，要充分挖掘题中的条件，转化为求两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也常与基本不等式结合来求最值． 变式训练 3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)若b＝1，求△ABC面积的最大值． 解：(1)∵m＝(2sin(A＋C)，)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n，∴2sin(A＋C)·－cos 2B＝0， 即2sin B·cos B－cos 2B＝0， sin 2B－cos 2B＝0，即tan 2B＝， ∵0<B<，∴0<2B<π，∴B＝. (2)∵＝＝，∴＝＝＝2，∴a＝2sin A，c＝2sin C，∴S△ABC＝acsin B＝sin Asin C＝sin Asin＝sin A(cos A＋sin A)＝sin(2A－)＋. ∵0<A<，∴2A－∈， ∴当2A－＝，即A＝，C＝时，S△ABC有最大值，故△ABC面积的最大值为. 题型四　解三角形的实际应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． 2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养． 例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 解：①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A、B间的距离d(如图所示)． ②法一：第一步：计算AM.在△ABM中，由正弦定理得，AM＝； 第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得， AN＝； 第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理得， MN＝ . 法二：第一步：计算BM.在△ABM中，由正弦定理得，BM＝； 第二步：计算BN.在△ABN中，由正弦定理得，BN＝； 第三步：计算MN.在△BMN中，由余弦定理得， MN＝ . 1．解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将解三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的单位问题、近似计算等． 2．正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图． (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等． (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形． (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累． 变式训练 4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，此时测得山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝(　　) A．50 m B．100 m C．100 m D．200 m 解析：B　如图，延长AB至H，由题意得，∠BAC＝30°，∠HBC＝75°，AB＝600，∠CBD＝30°. 在△ABC中，∠ACB＝75°－30°＝45°， 由正弦定理得，＝， 即＝，解得BC＝300. 由于CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，则CD＝BCtan∠CBD＝300×＝100(m)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章　平面向量及其应用 章末整合提升 学案 知识体系构建 题型突破 题型一　平面向量的线性运算及基本定理 1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 例1(1)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．设＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n (2)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A．2－ B．2－ C．2＋ D．2＋ (3)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 变式训练 1.如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A．　　 B．　　 C．2　　 D． 题型二　平面向量的数量积及应用 1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　(1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb.若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6　　 B．－5　　 C．5　　 D．6 (2)已知O，A，B三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 变式训练 2．(1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)．若(a－λb)⊥b，则λ＝________． (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________． 题型三　三角形中的最值、范围问题 1．任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． 2．通过三角形中的最值、范围问题，培养逻辑推理、数学运算的学科素养． 例3　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－sin2B－cos2A＝sin Csin B． (1)求角A的大小； (2)若a＝，求△ABC周长的取值范围． 变式训练 3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)若b＝1，求△ABC面积的最大值． 题型四　解三角形的实际应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． 2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养． 例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 变式训练 4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，此时测得山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝(　　) A．50 m B．100 m C．100 m D．200 m 学科网（北京）股份有限公司 $$