2024-2025学年八年级数学下册第一章《三角形证明》单元检测试卷（北师大版）

第一章《三角形证明》单元检测试卷（北师大版） 一．选择题（共10小题） 1．若等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是　　 A． B． C．或 D． 2．等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是　　 A．或 B．或 C．或 D． 3．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形　　的交点 A．三条中线 B．三条高 C．三个内角平分线 D．三边垂直平分线 4．下列命题是假命题的为　　 A．两边相等的两个直角三角形全等 B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．角平分线上的点到这个角的两边的长度相等 5．如图，在等腰中，，为的角平分线，若，则的长为　　 A．2 B． C．4 D． 6．如图，在中，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 7．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中　　 A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 8．如图，中，，平分，垂直平分，交于点．若，，则的周长为　　 A． B． C． D． 9．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，则射线，即为的角平分线．边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是　　 A． B．2.5 C． D．3 10．如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 二．填空题（共5小题） 11．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为 ． 12．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆，若衣架收拢时，，如图2，则此时，两点之间的距离是 ． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 14．如图，在△中，，是△的角平分线，，则点到的距离为 ． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，联结，则的周长为 ． 三．解答题（共8小题） 16．如图，在中，，，平分交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 17．如图，在△中，是的中点，，，垂足分别是点、，．求证： （1）平分． （2）若△的面积为，，求的长． 18．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线，相交于点．（1）若的面积是20，且，求的长； （2）若，求的度数． 19．如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的中垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）连接，求证：平分． 20．如图，在△中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）如图，在轴上找一点，使得的值最小，并写出点的坐标． 22．在边长为9的等边三角形中，点是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒． （1）如图1，若点是上一定点，，，求的值； （2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 23．如图，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）如图，当点恰好落在上时． ①求的长及点的坐标； ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由； ③如图，点是线段上的动点（点，除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《三角形证明》单元检测试卷（北师大版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．若等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是　　 A． B． C．或 D． 【解答】解：底边为，腰长为，这个三角形的周长是， 底边为，腰长为，，不能以为底构成三角形， 故该等腰三角形的周长是． 故选：． 2．等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是　　 A．或 B．或 C．或 D． 【解答】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为； 综上所述，它的底角是或． 故选：． 3．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形　　的交点 A．三条中线 B．三条高 C．三个内角平分线 D．三边垂直平分线 【解答】解：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：． 4．下列命题是假命题的为　　 A．两边相等的两个直角三角形全等 B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．角平分线上的点到这个角的两边的长度相等 【解答】解：、两边相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，不符合题意； 、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，不符合题意； 、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，不符合题意； 、角平分线上的点到这个角的两边的垂线段的长度相等，故原命题错误，是假命题，符合题意． 故选：． 5．如图，在等腰中，，为的角平分线，若，则的长为　　 A．2 B． C．4 D． 【解答】解：，为的角平分线， ，， ． 故选：． 6．如图，在中，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设 解得． ． 故选：． 7．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中　　 A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时， 应先假设每一个锐角都大于． 故选：． 8．如图，中，，平分，垂直平分，交于点．若，，则的周长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：垂直平分， ， ， 在中，，平分，， ，， ， ， ， ， ， ，， 的周长为， 故选：． 9．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，则射线，即为的角平分线．边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是　　 A． B．2.5 C． D．3 【解答】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 故选：． 10．如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 【解答】解：△为等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， △的边长：， 故选：． 二．填空题（共5小题） 11．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为 　，，．　． 【解答】解：①如图， ，， ，， ， ， ，， ， 不能构成三角形，故舍去， ②如图，，， 同理得：，， ，， 能构成三角形， 腰长为，底边为， 故这个等腰三角形各边的长为，，． 故答案为：，，． 12．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆，若衣架收拢时，，如图2，则此时，两点之间的距离是 　20　． 【解答】解：连接． ，． △是等边三角形． ． 故答案为：20． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 　或　． 【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 14．如图，在△中，，是△的角平分线，，则点到的距离为 　8　． 【解答】解：如图所示，过点作于， ， 是△的角平分线，，，， ， 到的距离为， 故答案为：8． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，联结，则的周长为 　　． 【解答】解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．如图，在中，，，平分交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【解答】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 17．如图，在△中，是的中点，，，垂足分别是点、，．求证： （1）平分． （2）若△的面积为，，求的长． 【解答】（1）证明：是的中点， ， 于点，于点， ， 在△和△中， ， △△， ， 点在的平分线上， 平分． （2）解：既是△的中线，也是角平分线， △为等腰三角形， ， ，且， ， 由（1）得， ， 解得， 的长为． 18．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线，相交于点．（1）若的面积是20，且，求的长； （2）若，求的度数． 【解答】解：（1）是的中线，． ， 的面积是20，且， ， ， ； （2），， ， 是的角平分线， ． ， ， ． 19．如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的中垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）连接，求证：平分． 【解答】（1）解：如图所示，就是要求作的边上的中垂线； （2）证明：是边上的中垂线，， ， ， ， ， ， ， 平分． 20．如图，在△中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：平分，，于， ． 在△与△中， ， △△， ． （2）解：设，则， 平分，， ． 在△与△中， ， △△， ，即， 解得，即． 21．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）如图，在轴上找一点，使得的值最小，并写出点的坐标． 【解答】解：（1）过点作轴于点，过作轴于点， ， ， ，， ， ， ，， ； （2）延长到，使得，连接交轴于点， 则， 此时：， ，即， 解得：， ， ． 22．在边长为9的等边三角形中，点是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒． （1）如图1，若点是上一定点，，，求的值； （2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【解答】解：（1）如图1，是等边三角形，， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ， 解得：， 当的值为3时，； （2）如图2，①当点在边上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：，解得：， 当时，为等边三角形． 23．如图，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）如图，当点恰好落在上时． ①求的长及点的坐标； ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由； ③如图，点是线段上的动点（点，除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：①点， ， 由（1）知， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 过作轴于， ， ， ， ，， ，； ②存在，如图，当时， ， ，， ，，，； 当， ， 是等边三角形， ，重合， 当为等腰三角形时，，，或，； ③不会变化，如图，连接， ， ， ， 的值不会发生变化． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$