精品解析：江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（正直班）

莲塘一中2024—2025学年第一学期24正直班期末测试卷 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. 有最大值8 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最小值8 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分， 9. 下列判断错误的是（ ） A. 函数的最小值为7 B. 函数的最小值为7 C. 函数的最小值为7 D. 函数的最小值为7 10. 若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在腿中的横线上． 12. 函数的最小值为___________. 13. 若“”为假命题，则实数的取值范围为_____. 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求 16. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 17. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值. （2）若正实数满足，求的最小值. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲塘一中2024—2025学年第一学期24正直班期末测试卷 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值可判断AB错误，分别讨论的符号利用不等式性质可得C正确，作差法计算可得D错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，即A错误， 对于B，不妨取，此时满足，但不成立，即B错误； 对于C，当时，此时， 易知，所以，即 当，时，显然成立； 当，时，可得，易知，即， 当其中一个为0时，显然成立，综上可得C正确； 对于D，易知， 易知，所以，可得， 即D错误. 故选：C 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】集合和都是点集， 由，解得或， 则, 故选：C 5. 已知集合.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，结合数轴列式求解，注意要讨论是否是空集. 【详解】 由得，优先考虑为空集的情况： 当，即时，，符合题意； 当，即时，需解得. 综上得，则的取值范围为. 故选：A. 6. 若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 7. 集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由题意知，是的真子集，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 8. 设，，，则（ ） A. 有最大值8 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最小值8 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D. 【详解】因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分， 9. 下列判断错误的是（ ） A. 函数的最小值为7 B. 函数的最小值为7 C. 函数的最小值为7 D. 函数的最小值为7 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 10. 若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用求解判断各选项即可. 【详解】实数，且满足， 选项A：（当且仅当时等号成立）. 则有最大值，A正确； 选项B：， 当且仅当时等号成立， 则有最小值4，B正确； 选项C：， 当且仅当时等号成立， 所以有最小值，C正确； 选项D：由， 当且仅当时等号成立， 所以，即有最大值，D错误. 故选：ABC. 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在腿中的横线上． 12. 函数的最小值为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】. ，， （当且仅当，即时取等号）， . 故答案为：. 13. 若“”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到为真命题，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为“”为假命题，可得为真命题， 即对于任意恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 所以取得最小值，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【小问1详解】 由条件可得：； 【小问2详解】 或 所以或 16. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【小问1详解】 对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值. （2）若正实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得是方程的两根，再利用韦达定理即可求解. （2）由（1）得正实数满足，再利用“1的代换”即可求解. 【小问1详解】 由题意得是方程的两根， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）得正实数满足， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】（1） （2） ， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【小问1详解】 因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $