高二数学月考卷（苏教版2019，江苏专用，范围：选择性必修第二册第6～7章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~7章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 2．在三棱锥中，M在PA上，N在BC上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】M在PA上，N在BC上，且，， . 故选：B. 3．若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式的通项为， 令，得，则，解得. 故选：A． 4．某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．42种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法； 6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法， 从这些书中任取1本历史书和1本地理书， 根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种. 故选：B. 5．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 6．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 7．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【解析】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 8．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形，故，正确. 故选AD． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则， 又，所以，得，故D错误. 故选AC. 11．已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】建立空间直角坐标系如图所示，则. 对于A，当时，点在线段上，则，所以，故A正确； 对于B，当时，点在线段上，将平面与平面沿展开，得，又，故周长的最小值为，故B正确； 对于C，当时，，，若，则，解得，所以符合条件的点有两个，故C错误； 对于D，，则当，，则，表示单位圆上的点到点的距离的平方， 则其最小值为，所以的最小值为，故正确.故选ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，则在上的投影向量的模为 【答案】 【解析】因为， 可得，， 所以在上的投影向量的模为. 故答案为：. 13．已知甲袋子中装有个红球和个白球，乙袋子中装有个红球和个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出个球，则取出的个球中恰有个红球的不同取法共有 种. 【答案】27 【解析】取出的个球中恰有个红球，则 甲袋子中取个红球和1个白球，同时乙袋子中取1个红球和1个白球， 其取法有种； 甲袋子中取2个白球，同时乙袋子中取2个红球， 其取法有种， 所以一共有种. 故答案为：27. 14．如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 【答案】 【解析】点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧． 以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 设，则． 因为，所以， 所以， 所以． 当时，最小，最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【解析】（1）连接，如图， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （7分） （2）， ∴ . （13分） 16．（15分） 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【解析】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （4分） （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （7分） （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （11分） （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. （15分） 17．（15分） 如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【解析】（1）如图所示： ，故， 因为， 所以； （4分） （2）因为， 所以，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时，故， 即，解得. （8分） （3）， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. （15分） 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 【解析】（1）由等腰梯形中，， 过C做，交于，连接AC，如图所示 根据对称性可得，， 所以，可得， 又由， 所以，即， （2分） 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由平面， 所以平面平面. （4分） （2）取的中点，的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴正方向建立空间坐标系， 则，，，， 所以，，， （7分） 设平面的法向量为， 则，则，令，得一个法向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （10分） （3）点在棱（不包含端点）上，设， 因为平面的法向量为， 因为， 设平面的法向量为， 则，则， （13分） 令，得一个法向量， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，所以，计算得； 所以，即得. （17分） 19．（17分） 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. (1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； (2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 【解析】（1）由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上， 从而，故， 设，则， 从而，注意到到直线的距离均为，故， （2分） 所以由知，所以，即，得， 从而，又在两个互相垂直的大圆上，故， 从而两两垂直， 从而由在平面内交于点，可知垂直于平面，而在平面和平面内， 故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面， 平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直， 故由球面角的定义知，所以球面的内角和是. （5分） （2）①由已知条件，可设， 如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则，不妨设， 设，则由可知； ； ，故， 不妨设，则，所以， 设平面的法向量分别为，并设， 则即， 从而，故可以取 （8分） 所以，， ， 故球面的三个内角的余弦值分别为. （10分） ②先证明一个引理. 引理：若球面的三个球面角， 设该球面的面积为，则， 引理的证明： 记球的表面积为，则， 设的对径点分别为， 则所在的大圆和所在的大圆，它们将球面分成了四个部分， 其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍， 即，类似可定义，且同理有， 而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有， 所以， 故， （15分） 引理得证. 回到原题，根据①的结论，有， 再由引理知球面的面积. （17分） 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A B D B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．27 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）连接，如图， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （7分） （2）， ∴ . （13分） 16．（15分） 【解析】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （4分） （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （7分） （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （11分） （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）如图所示： ，故， 因为， 所以； （4分） （2）因为， 所以，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时，故， 即，解得. （8分） （3）， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）由等腰梯形中，， 过C做，交于，连接AC，如图所示 根据对称性可得，， 所以，可得， 又由， 所以，即， （2分） 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由平面， 所以平面平面. （4分） （2）取的中点，的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴正方向建立空间坐标系， 则，，，， 所以，，， （7分） 设平面的法向量为， 则，则，令，得一个法向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （10分） （3）点在棱（不包含端点）上，设， 因为平面的法向量为， 因为， 设平面的法向量为， 则，则， （13分） 令，得一个法向量， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，所以，计算得； 所以，即得. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上， 从而，故， 设，则， 从而，注意到到直线的距离均为，故， （2分） 所以由知，所以，即，得， 从而，又在两个互相垂直的大圆上，故， 从而两两垂直， 从而由在平面内交于点，可知垂直于平面，而在平面和平面内， 故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面， 平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直， 故由球面角的定义知，所以球面的内角和是. （5分） （2）①由已知条件，可设， 如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则，不妨设， 设，则由可知； ； ，故， 不妨设，则，所以， 设平面的法向量分别为，并设， 则即， 从而，故可以取 （8分） 所以，， ， 故球面的三个内角的余弦值分别为. （10分） ②先证明一个引理. 引理：若球面的三个球面角， 设该球面的面积为，则， 引理的证明： 记球的表面积为，则， 设的对径点分别为， 则所在的大圆和所在的大圆，它们将球面分成了四个部分， 其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍， 即，类似可定义，且同理有， 而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有， 所以， 故， （15分） 引理得证. 回到原题，根据①的结论，有， 再由引理知球面的面积. （17分） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~7章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在三棱锥中，M在PA上，N在BC上，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．42种 C．种 D．种 5．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 7．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 8．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，则在上的投影向量的模为 . 13．已知甲袋子中装有个红球和个白球，乙袋子中装有个红球和个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出个球，则取出的个球中恰有个红球的不同取法共有 种. 14．如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 16．（15分） 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 17．（15分） 如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 19．（17分） 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. (1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； (2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~7章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在三棱锥中，M在PA上，N在BC上，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．42种 C．种 D．种 5．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 7．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 8．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，则在上的投影向量的模为 . 13．已知甲袋子中装有个红球和个白球，乙袋子中装有个红球和个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出个球，则取出的个球中恰有个红球的不同取法共有 种. 14．如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 16．（15分） 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 17．（15分） 如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 19．（17分） 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. (1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； (2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！