第九章 平面向量（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

第九章 平面向量章末检测 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3. 答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题答题卡交回。 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 7．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 10．已知点为所在平面内一点，则（    ） A．若，则 B．若，且，则为等边三角形 C．若，，则 D．若，且，则的面积是面积的 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量.若，则 . 13．两个半径分别为的☉M，☉N，公共弦的长为3，如图所示，则= . 14．已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 16．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 17．如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 18．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 19．在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且． (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，，）的最小值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 平面向量章末检测 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3. 答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题答题卡交回。 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用向量数量积公式计算可得答案. 【详解】. 故选：A． 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标表示可求出实数的值. 【详解】因为向量，，且，则，解得， 故选：C. 3．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 由于，可得， 解得， 由于，因此． 故选：D 5．已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数量积可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 6．已知向量满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由可求解； 【详解】因为， ， 所以，， 故选：C. 7．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 8．在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与的模，进而得到的三角函数值，再根据为的中点，得到的三角函数值，最后利用三角函数求出的坐标. 【详解】根据向量模的计算公式，若，则. 已知，则； ，则. 可得. 所以. 则. 则. 根据半角公式，； . 因为，设. ； . 所以. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 10．已知点为所在平面内一点，则（    ） A．若，则 B．若，且，则为等边三角形 C．若，，则 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【分析】对于A，利用向量的线性质运算，可得，即可求解；对于B，利用数量积的定义及数量积的运算，可得，从而得到，再利用可得，即可求解；对于C，根据条件可得，，进而有M为的垂心，即可求解；对于D，根据条件，可得，令，从而可得Q点在直线BC上，再利用比值，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 所以，故选项A错误， 对于选项B，因为， 所以，又，在区间上单调递减，则， 又，则，所以为等边三角形，故选项B正确， 对于选项C，若，，则，， 故点M为的垂心，所以，则，故选项C正确， 对选项D，由于 ，而 ，所以 ，其中 ， 不妨设 ，则Q点在直线BC上， 由于 与 同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为， 所以 的面积是 面积的 ，故选项D正确， 故选：BCD. 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量.若，则 . 【答案】 【分析】用向量平行的坐标表示计算即可； 【详解】，， 因为，所以，即. 故答案为：. 13．两个半径分别为的☉M，☉N，公共弦的长为3，如图所示，则= . 【答案】9 【分析】取的中点，连接，由向量投影求解即可； 【详解】 取的中点，连接，由圆的性质，得. 为两个圆的公共弦，从而圆心在弦的投影为的中点，进而在上的投影向量的模能够确定，所以由向量的投影定义. 可得：所以， , 故答案为：9 14．已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用平面向量的夹角建立不等式，同时排除向量重合，得到参数范围即可. 【详解】与的夹角为锐角， ， ，解得. 当时，，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为且，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据平面向量的运算律和数量积的定义计算即可求解； （2）根据平面向量的运算律计算直接得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 解得，由，得. （2）由（1）得， . 16．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 17．如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 18．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19．在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且． (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，，）的最小值． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）当时，则，为的三等分点，，， 所以， ． （2）当时，，， ， ． （3）当时，，， ， 同理，， ， 令， 当，2，3时，， 当或3时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$