6.3平面向量基本定理及坐标表示3大常考题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题6.3平面向量的基本定理及坐标表示】 总览 题型梳理 【题型一：平面向量的基本定理】 【题型二：平面向量的正交分解及坐标表示】 【题型三：平面向量线性运算坐标表示（重点）】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：平面向量的基本定理】 知识讲解 　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？ [提示]　不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的． 例题精选 一、多选题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABC 【分析】根据向量是否共线，即可根据基底的定义求解. 【详解】对于A：，所以和共线，故和不能作为基底． 对于B：与共线，故与不能作为基底． 对于C：，所以与共线，故与不能作为基底． 对D：，所以与不共线，故和可以作为基底． 故选：ABC． 2．（21-22高一下·湖北·期末）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A，B选项：根据平面向量线性关系得到的和，的关系；C，D选项：根据平面向量线性关系得到的和，的关系，根据平面向量的共线定理建立等式. 【详解】对于A，B：，A正确，B错误； 对于C，D：因为，，所以， 又因为M，O，N三点共线，所以，故，C正确，D错误． 故选：AC. 二、填空题 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则 ． 【答案】1 【分析】 利用向量共线的条件得到关于的方程即可得到. 【详解】 因为与共线，所以存在实数t，使， 即， 所以，解得． 故答案为：1. 4．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    【答案】 【分析】作出辅助线，得到，从而利用向量基本定理得到答案. 【详解】连接，显然在上，且， 故， 又，故.    故答案为： 三、解答题 5．（23-24高三上·辽宁·期中）如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点， 所以． （2）由，，， 得，， 所以， 因为E，F，G三点共线，则， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 相似练习 6．（22-23高一下·广西钦州·期中）如图，在中，，，BE与AD相交于点M．    (1)用，表示，； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由BC＝4BD得出，然后可得；根据得出，然后根据即可用表示出； （2）根据A，M，D三点共线得出，然后根据平面向量基本定理得出；根据B，M，E三点共线得出，然后即可根据平面向量基本定理求出k的值，进而得出的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以． （2）因为A，M，D三点共线，所以． 因为，所以，即． 因为B，M，E三点共线，所以． 因为，所以． 因为，所以，解得， 从而，，故． 7．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解； （2）由、、三点共线，得到，列出方程，得出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为点是的中点，可得，所以， 又点是靠近点将分成的一个三等分点，所以， 所以. （2）解：因为、、三点共线，所以存在实数，使得， 又因为，可得，， 所以， 因为不共线，则，解得. 8．（24-25高一上·北京·阶段练习）三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【答案】(1)图形见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，直接画图即可； （2）根据几何图形进行线性运算即可； （3）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）如图，    （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线.    【题型二：平面向量的正交分解及坐标表示】 知识讲解 平面向量的正交分解及坐标表示 1. 平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2. 平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． 3. 向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 例题精选 1．（21-22高一下·四川攀枝花·阶段练习）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为. 【详解】，， 与向量的方向相反的单位向量为. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 3．（22-23高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 因此向量在基下的坐标为. 故选：D. 相似练习 4．（23-24高一下·江苏泰州·期中）向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 【答案】. 【分析】利用平面向量基本定理将分别按照和为基底展开，对照系数列出方程组求解即得. 【详解】依题意， ①， 选择平面的基底为时，不妨设，则 ②， 将① 式与②式对照即得：，解得 即向量在基底下的坐标为. 故答案为：. 三、解答题 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【答案】． 【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案. 【详解】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 6．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【答案】． 【分析】根据平行四边形法则，结合直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】如图，    作平行四边形OBAC，则． 因为，， 所以，在中，，． 所以，即． 因此在基下的坐标为． 【题型三：平面向量线性运算坐标表示】 知识讲解 平面向量的线性运算的坐标表示 1. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 2．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？ [提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用． 例题精选 一、单选题 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由向量可得 . 故选：B 2．（24-25高三上·四川·期中）已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的坐标，再根据向量平行列方程可求的值. 【详解】由题意：． 因为，所以，解得． 故选：B 3．（20-21高一下·江苏南京·期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据Rt△ABC构建平面直角坐标系，可知B、C的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量，由平面向量基本定理，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求判断选项. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)    ∵∠DAB＝45°，所以设D点的坐标为(m， m)(m≠0) 则λ＝m，且μ＝m， ∴，即 故选：B 4．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】    以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，，，，，． 因为，所以 解得所以． 故选：B． 5．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 相似练习 6．（17-18高一上·重庆綦江·期末）如图，在等腰梯形中，，，F为的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动，E为圆弧与的交点．若，其中，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示条件，得出的表达式，运用正弦函数求出结果. 【详解】依题意，以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，其中，由题意可知，，，， ，，， 则，，． 因为，所以， 则，解得， 所以．又， 所以． 故答案为：．    7．（23-24高一下·安徽安庆·期中）如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与夹角为α，且，与的夹角为45°．若，求的值 ． 【答案】/ 【分析】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据向量的夹角和45°结合三角函数的概念表示出点A，B，C的坐标，即向量，，的坐标，然后把向量的坐标代入即可求出的值． 【详解】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 由知为锐角，则，， 所以， ， ∴点B，C的坐标分别为，， ∴，， 又， ∴， ∴，解得， ∴． 故答案为： 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆的半径为1，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过O点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系， 其中，其中， 由， 即，整理得， 解得， 则， 所以. 方法二：设，如图，当位于点或点时，三点共线，所以； 当点运动到的中点时，，所以 故答案为： 三、解答题 9．（21-22高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏·阶段练习）已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，点，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 8．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知向量，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 9．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 三、解答题 10．（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 11．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 12．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．    (1)当时，用向量表示，； (2)证明：为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A B D D A C ABD AD 1．D 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示化简可得答案. 【详解】因为向量，，则， 因为，则，整理可得. 故且，所以，. 故选：D. 2．A 【分析】由两个向量平行得到，再利用二倍角公式即可得到答案. 【详解】已知，因为， 所以，整理得， 又由二倍角公式得. 故选:A 3．B 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 4．D 【分析】利用平面向量的线性运算求得，由此求得，进而求得的值. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，，即. 故选：D. 5．D 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底； 对于B选项，，所以共线，不能作为基底； 对于C选项，，所以共线，不能作为基底； 对于D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D. 6．A 【分析】根据数量积的坐标运算逐一求解，即可求解. 【详解】由题意可得，，，， 故， ， ， , ， 因此， 故选：A 7．C 【分析】令，过作于，利用投影向量的意义求出，再利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求出，由给定向量等式确定点的位置即可求解. 【详解】在中，令，过作于，， 由向量在向量上的投影向量为，得， 解得，则，由，得 ，解得，由， 得，即，因此， 在中，. 故选：C    8．ABD 【分析】利用平面向量的坐标运算求差向量的模；应用两向量垂直等价于数量积为0化简；应用向量平行的条件求解；应用坐标形式求投影向量即可. 【详解】解：因为， 所以，所以，故A正确； 因为，且， 所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C错误； 因为在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD 9．AD 【分析】设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据垂直关系的向量表示可以否定C；结合三角函数的基本关系式与辅助角公式即可得解即可判定D. 【详解】∵，∴是单位向量， 设，， 则，当，方向相反， 即时取等号，∴的最大值为，故A正确； 等价于， 即，即， ∴，故B错误； ，， ，不垂直，故Ｃ错误； ，其中，， 故当时，取得最大值， 此时，故D正确； 故选：AD 10．(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 11．(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示，利用平面向量数量积公式求其夹角余弦即可； （2）利用平面向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，根据待定系数法计算即可. 【详解】（1）以为基底，设， 则 ， 所以， 同理， ， 则； （2）因为三点共线，不妨设， 同理有三点共线，不妨设， 则有. 12．(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出； （2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系. 【详解】（1）因为点是的中点，所以是的中线，所以， 当时，； （2）由（1）知，所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 由已知，，所以， 所以， 因为，不共线，所以，即，消去整理可得， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：两直线交点在向量中的应用 本题中，点为直线和的交点， 所以、、三点共线，；、、三点共线，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题6.3平面向量的基本定理及坐标表示】 总览 题型梳理 【题型一：平面向量的基本定理】 【题型二：平面向量的正交分解及坐标表示】 【题型三：平面向量线性运算坐标表示（重点）】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：平面向量的基本定理】 知识讲解 　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？ [提示]　不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的． 例题精选 一、多选题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（21-22高一下·湖北·期末）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则 ． 4．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    三、解答题 5．（23-24高三上·辽宁·期中）如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 相似练习 6．（22-23高一下·广西钦州·期中）如图，在中，，，BE与AD相交于点M．    (1)用，表示，； (2)若，求的值． 7．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 8．（24-25高一上·北京·阶段练习）三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【题型二：平面向量的正交分解及坐标表示】 知识讲解 平面向量的正交分解及坐标表示 1. 平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2. 平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． 3. 向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 例题精选 1．（21-22高一下·四川攀枝花·阶段练习）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（23-24高一下·江苏泰州·期中）向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 三、解答题 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 6．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【题型三：平面向量线性运算坐标表示】 知识讲解 平面向量的线性运算的坐标表示 1. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 2．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？ [提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用． 例题精选 一、单选题 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川·期中）已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C． D． 3．（20-21高一下·江苏南京·期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 相似练习 6．（17-18高一上·重庆綦江·期末）如图，在等腰梯形中，，，F为的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动，E为圆弧与的交点．若，其中，则的取值范围是 ．    7．（23-24高一下·安徽安庆·期中）如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与夹角为α，且，与的夹角为45°．若，求的值 ． 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是 . 三、解答题 9．（21-22高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏·阶段练习）已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，点，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 8．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知向量，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 9．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 三、解答题 10．（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 11．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 12．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．    (1)当时，用向量表示，； (2)证明：为定值． 2024-2025高一数学重难点题型归纳总结 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$