27.3 位似-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（人教版）

27.3位似 第1课时位似图形的概念及画法 基础题一 知识点1位似图形的概念 1.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的 是 第4题图 第5题图 5.如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的 位似图形ABCD,已知8胎-子若四边形 ABCD的面积是2，则四边形A'B'C‘D'的面 积是 A.4 B.6 C.16 D.18 6.如图，以点O为位似中心，把△ABC按相似 D 比2放大，得到△A'B'C,则以下说法中错误 2.如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中 的是 心是 A.点P B.点O C.点M D.点N A.△ABC∽△A'B'C B.C,O,C三点在同一直线上 C.AO:AA'=1:2 第2题图 第3题图 D.AB∥A'B 知识点2位似图形的性质 知识点3位似图形的画法 3.(2023·长春)如图，△ABC和△A'BC是以 7.如图，画出以点O为位似中心，把四边形 点O为位似中心的位似图形，点A在线段 OA'上，若OA:AA'=1:2,则△ABC与 ABCD按相似比2缩小得到的图形。 △A'BC的周长之比为 4.如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位 似中心，相似比为2：3，点A,B的对应点分 别为点A',B.若AB=6,则A'B'的长为 ( A.8 B.9 C.10 D.15 36第校要室·数学·九年晚下：风 单7交液Q年6194051送 B中档题 C综合题 8.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四 11.我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角 边形ABCD的位似图形是 形，而且每对对应点所在的直线都经过同一 A.四边形NPMQ 个点，那么这两个三角形叫做位似三角形， B.四边形NPMR 它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位 C.四边形VHMQ 似中心.利用三角形的位似可以将一个三角 D.四边形NHMR 形缩小或放大 9.如图，图中小方格都是边长为1的正方形， (1)如图1，点O是等边三角形PQR的中心， △ABC与△A'B'C‘是以点O为位似中心的位 P',Q,R'分别是OP,OQ,OR的中点，则 似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上 △PQ'R'与△PQR是位似三角形.此 (1)画出位似中心点O. 时，△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似 (2)△ABC与△A'B'C的相似比为 中心分别为 (3)以点O为位似中心，画出把△ABC按相 A.2、点P B号点P 似比2缩小得到的△ABC C.2、点O D.点0 (2)如图2，用下面的方法可以画△AOB的 内接等边三角形.阅读后证明相应问题. 画法： ①在△AOB内画等边三角形CDE,使点 C在OA上，点D在OB上： ②连接OE并延长，交AB于点E',过点 E分别作E'C'∥EC交OA于点C', 10.如图，△ABC与△A'BC'是位似图形，点A, ED'∥ED交OB于点D': B,A',B',O共线，点O为位似中心 ③连接CD',则△CD'E'是△AOB的内 (1)AC与A'C平行吗？为什么？ 接三角形， (2)若AB=2A'B',OC=5,求CC的长. 求证：△CD'E'是等边三角形. 图2 学身交液9年.64194061核 4名校置37 第2课时平面直角坐标系中的位似 基题一 知识点1位似图形的坐标变化规律 1.(教材P50练习T1变式)如图，在平面直角坐 -1123456 标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大 第4题图 第5题图 后得到△OCD.若B(0,1),D(0,3),则△OAB 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐 与△OCD的相似比是 标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点为 A.2:1 位似中心，在原点的同侧画出将△ABC按相 B.1:2 似比2放大得到的△DEF,则线段DF的长 C.31 度为 D.13 知识点2平面直角坐标系内图形的位似作图 2.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为 6.如图，在平面直角坐标系中，已知O是坐标原 O(0,0),A(12,9),B(9,0).以点O为位似中 点，A,B两点的坐标分别为(3，一1)，(2,1). 心，在第三象限内将△OAB按相似比缩小， (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧画出将 △OAB按相似比2放大得到的△OA'B'. 得到△OCD,则点C的坐标为 ( (2)分别写出A,B两点的对应点A',B的 A.(-3,-3) B.(-4,-3) 坐标 C.(-3,-4) D.(-6,-3) 第2题图 第3题图 3.(2023·遂宁)在如图所示的平面直角坐标系 易错点位似中的漏解 中，△ABC与△DEF是位似图形，则位似中 7.(教材P51习题T5变式)如图，□OABC的顶 心的坐标为 ) 点C在x轴正半轴上，AB=2,以原点O为位 A.(-1,0) B.(0,0) 似中心，将□OABC按相似比缩小，则点C C.(0,1) D.(1,0) 的对应点C‘的坐标为 4.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为 A(4,6),B(8,4),以原点O为位似中心，在第 一象限内将线段AB按相似比号缩小，得到线 段CD,则点D的坐标为 38 者极误室·数学·九年绿下·以 单7交液Q年6194051送 12.已知△DEF是△ABC的位似三角形（点D, B中档题 E,F分别对应点A,B,C),原点O为位似中 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与 心，△DEF与△ABC的相似比为k. 正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似 1)若相似比太=号，请在平面直角坐标系的 图形，且相似比为了点A,B,E在x轴上.若 第四象限中画出△DEF 正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为 (2)若相似比k=,△ABC的周长为C,则 △DEF的周长为 A.(3,2) B.(3,1) (3)若相似比k一，△ABC的面积为S,则 C.(2,2) D.(4,2) △DEF的面积为 G 1 第8题图 第9题图 9.(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，四边 形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0), C综合题 13.如果两个一次函数y=k1x十b,和y=k2x十 B(2,3),C(-1,2).若四边形OA'B'C'与四边 b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次函 形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C 数为“平行一次函数”.如图，已知函数y= 的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象 一2x十4的图象分别交x轴、y轴于点A,B, 限内点B的坐标为 一次函数y=kx十b与y=一2x十4是“平行 10.如图，点A在反比例函数y=上的图象上· 一次函数” (1)若函数y=kx十b的图象过点(3,1)，求b 过点A作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于 的值. 点C,以点O为位似中心，把四边形OBAC (2)若函数y=k.x十b的图象与两坐标轴围 按相似比放大，得到四边形OBA'C,则经 成的三角形和△AOB构成位似图形，位 似中心为原点，相似比为1：2，求函数 过点A'的反比例函数的解析式为 y=kx十b的解析式. 6 2 BB' 第10题图 -101345 第11题图 11.(2023·绥化)如图，在平面直角坐标系中， △ABC与△AB'C'的相似比为1：2，点A是 位似中心.已知点A的坐标是(2,0)，点C的 坐标是(a,b),∠C=90°，则点C的坐标为 .(用含4，b的式子表示) 学身交流C9年，69H05核 4名校3910.4125或9：2511.1012.1号(22+113.号 9a-3b+c=0, B(1.0)两点，与y轴交于点C(0,3), a十b十c=0,解 14.3m16m c=3, 15.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D a=一1， =90°.由折叠的性质.得∠APO=∠B=90”,.∠POC= 得b=一2，抛物线的解析式为y=一一2x+3.(2)设 90°-∠CPO=∠APD.又：∠C=∠D,.△CP c=3. △PDA(2):△CP∽△PDA,且△OCP与△PDA的面 积比为1：4识-合AD-8C印-设AB=, 直线AC的解析式为y=缸+，则厂3张+n=0, 解得 功=3， k=1, 则CD=AB=AP=x.DP=x-4,在Rt△APD中，AP= ∴直线AC的解析式为y=x十3.过点P作PE∥x 1n=3. AD+DP,即x2=8+(x一4)，解得x=10.∴.AB=10, 轴交直线AC于点E.设P(1,-一21+3)，则E(- 16.解：由AB=1.5m,S=1.5m2,可得BC=2m.甲：过 24,-f-21+3).∴.PE=-7-2:-t=-7-31.: 点B作BH⊥AC于点H,交DE于点P.AB=1.5m, A(-3.0),B1,0).∴AB=1-(-3)=4,PE∥x轴， BC-2m,∴AC-VAB+C-2.5m南5w-名AC △EP0△ABD品-器器=，- 4 ·BH=号AB,BC,得B1=AB:BC=1.2m设甲设计 AC ++”-<0当1=-号时，品的值最大， 的正方形桌面的边长为xm.:DE∥AC,,R1△BDEn R△BAC品-，即2-云解得一器设 最大值为品此时点P的坐标为（一号，只。 1.2 27.2.3相似三角形应用举例 乙设计的正方形桌面的边长为ym由DE∥AB,得 1.D2.B3.6m R△CDER△CL器-器即六-学，每得y 4.解：，∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D,.△DEFU 2 =号.0<r<产<r,即Sm<S02.乙木 △CRf-票DE=40m=0.4m,EBF=30em 匠的方法符合要求 a,3m,CD=10m得-品CB=.5maB=AC 小专题4相似三角形的性质与判定 +CB=1.5+7.5=9(m).答：树高AB是9m. 5.C6.57.57.120cm8.C9.B10.4m11.3 1.号2153号 4.25+2 12.解：由题意可知，∠BAE■∠MAF■∠BAD=90°，则 5.证明：(1)：四边形ABCD是矩形，.∠A=∠FDC=90 ∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=9O°.∴∠EAF= .∠ADE+∠AED=90°.CF⊥DE.∴.∠DGF=90.. ∠BAH.又∠ABH=∠EFA=90°，∴.△EFAO ∠ADE+∠DFC=90.∴.∠DFC=∠AED.∴.△AEDO △HBA需-福AB=3mBH=2,AF △DFC-品(2)：四边形ABCD是平行图边形， 1mEF=MP,H=婴m.六EG=BF+FG=2+ AB .∠B=∠ADC,AD∥BC..∠B+∠A=180°.：∠B+ 1.89.1(m).答：树EG的高度约为9.1m. ∠EGC=180°，·∠A=∠EGC=∠FGD.又：∠FDG= I3.解：：CD⊥DG,EF⊥DG,∴EF∥CD.∴.△GEF∽ ∠EDA△DPGn△DEA-祭÷咒-器： △GCD.需-需即拾-DB2解得BD=头.： 2 ∠B=∠AIDC,∠B+∠EGC=180',∠EGC+∠CGD= CD⊥DG,AB⊥DG..AB∥CD..△FABC∽△FCD., 18o,∠CGD=∠CDF.又'∠GCD=∠DCF..△CGD n△cDr咒器器-需脚-品 部器即能-是g解得AB-答：假血的商度AB 为8米. 6B7号 27.3位似 8.证明：(1)连接OB.,(OB=(C,∠(OB=∠OBC,AC是 第1课时位似图形的概念及画法 ⊙O的直径..∠CBA=90,∴∠CAB+∠OCB=90°，： 1.C2.A3.1￥34.B5.D6.C ∠CBD=∠CAB,.∠CBD+∠OBC=90.∴.∠OBD= 7,解：图略 90.∴.OB⊥PD.又，OB是⊙O的半径，，PD是⊙O的切 8.A 线，(2)，PA,PD是⊙O的切线，，PO垂直平分AB. 9.解：(1)图略，(2)12(3)图略. ∠AMP=∠AMO=90.∴.∠APM+∠PAM=90. 10.解：(1)AC∥A'C',理由如下：△ABC与△AB'C是位似 ∠OAP=90°，.∠PAM+∠OAM=90°.∴.∠OAM- 图形，∴△ABCn△A'B'C,∴∠A=∠CA'B'.∴AC∥ ∠APM△OAM△APM÷0AM=OM: AC.2:△An△ABC.常-.：AB= PM. 2AB,∴汽一带-是.又：△ABC与△ANBC是位 9.A 10.解：()，抛物线y=ax+b.x+c与x轴交于A(一3,0)， 似形--0-500=0,∴C U九下·华考答表 名酸课堂29 =0C-0C=10-5=5. I1.(1DD(2)证明：EC∥EC.ED'∥ED,.△OCE AO-AFQ0-MP-MD+DP-5.5+0.5- △OC'E',△ODEO△ODE'.∴CE:CE'=OE:OE',DE 6.9_0.5.NQ=2a.:QM=OP=0H+HP=5 :DE=OE:OE,∠CEO=∠CEO,∠DEO= ∠D'E'O..CE:CE'=DE:DE',∠CED=∠CE'D' 2 △CDE△CDE.△CDE是等边三角形，∴.△CD'E +0.5MN=NQ+QM=2+9+a.5=y9+ 是等边三角形. 2 4.8.答：建筑物MN的高度约为4.8米 第2课时平面直角坐标系中的位似 1.D2.B3.A+.(4,2)5.25 小专题5与相似三角形有关的探究题（选做）】 6.解：(1)图路.(2)A(一6,2)，B(一4，一2) 1号ASw=CN号-名2DF 72.1.0或-1.0)8A9.4,610y=号 △DM票(3)号 11.(6-2a.-2) 2.解：(1)证明：CE∥AB,∠E=∠EAB,∠B=∠ECB. 12.解：(1)图路.(2)mC(3)S 13.解：(1)由题意，得=一2，把点(3,1)和k=一2代人y= △CEDn△BAD.÷器品：∠B=∠EAB,∠BAB= kx十b,得1=一2×3十b,∴，b■7.(2)根据相似比为1÷2可 知，函数y=kx十b的图象经过点(1.0)，(0,2)或（一1,0）， ∠CD∠E=∠CAD..CE-CA是-02将 (0,一2).①当函数y=kx十b的图象经过点(1,0)和(0,2) △ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点 时，解析式为y=一2x十2：②当函数y=kx+b的图象经过 点(-1,0)和(0，一2)时，解析式为y=-2x-2. E处.∠CAD-∠BAD.CD=DE.由1可知，能-器 章末复习（二）相似 又：AC=1.AB=2是-=80BD=2Cn∠BAC 1.60°110282.A3.A+5.D6.D7.152 90,∴.BC=√AC+AE=√+2=5.∴BD+CD= 81:39410山.9 .∴3CD=.CD=9DE=g 3.解：(1)AD⊥BEAD=BE(2)BE=mAD,AD⊥BE.证 I2.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD.: ∠CEF=2∠BAD,.∠BAC=∠CEF,又'∠ACB= 明”∠ACB=∠DCE=90,∠ACD=∠BAE.:CE CD ∠ECF,.△ABC∽△EFC.(2)BE=3DE=3,∴.DE= CB 1,BD=4,AB=AC,AD平分∠BAC,.BD=CD=4,. 票-，△ADC△BC六器-器-m∠CBE- CE=5,BC=8.,F是AC的中点，AC=2CF.△ABC ∠A..BE=mAD.∠A十∠ABC=90°，'，∠CBE十 n△EFC祭能即是-2gCF-2后 ∠ABC=90°，即∠ABE=90°，∴.AD⊥BE.(3)由(1)知，AC =BC=6,∠ACB=90,AB=62.∴BD=62-. 13.1.5m14.C15.C16.517.8π AD=BE=x,∠DBE=9O°，·.DE=BD+BE= 新课标·新情境·新题型·引领训练 (62-x)十x.:点F与点C关于DE对称，CE=EF, 1.A2.183.∠A=∠C(答案不唯一) CD=DF..CD=CE...CD=DF=EF=CE../DCE= 4.△CDE(答案不唯一) 90,四边形CDFE是正方形.y-7DE 5解：I)南题意，得AB∥OE,△ABF0△EB0F,是 6巨-+1.y与：之间的函数解析式为y= 8s即E-8∴0E=20E/CD.CE/0D.0EL B -6√2x+36(0<x≤62).：y=x2-62x+36= OD,.四边形OECD是矩形..CD=OE=2..错烛的像 (x-3②)+18，y的最小值为18. CD的长度为2，(2)y=T一1 4.解：【间题发现】AE=√2BF【类比探究】上述结论还成立， 6,解：(1)三角形的中位线定理相似三角形的性质 理由如下：连接CE.,∠FCE=∠BCA=45,∴.∠BCF (2)①点G是△ABC的重心..AE=3GE..AE=2GE ∠ACE=45°-∠ACF.在Rt△CEF和Rt△CBA中，CE ,GE=3.5,.AG=2GE=7.②5 7.解：过点O分别作OQ⊥MN于点Q,OP⊥ME于点P,交 ECF,CA-ECB.得-器-E.△ACEACF.. AC于点H.,OQ⊥MN,OP⊥ME,且∠NMD=90,.四 AE=CA=瓦.∴AE=EBR, BF CB 【拓展延伸】√30+②或 边形QMP)为矩形..∠Q)P=90°.·N)⊥AB, ∠NOA=90°..∠NOQ=∠AOH.'∠NQO=∠AH0= √30-√z 90,△Na0n△AH0÷08-8 .:OH⊥AC,BC⊥ 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 AC0H/BC0-是.：0为AB的中点dAH 第1课时正弦 2AC=0.5,A0-2AB-1.六DP-AH-0,5,0H 1.c2D34号 30 们九下·参专答套