高一数学月考卷（苏教版2019，必修第二册第9～10章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9章~第10章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，当时，为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（   ） A． B． C． D． 4．设关于x的方程有实数解，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（    ） A．0 B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在上的投影向量是 10．已知函数，则下列函数判断正确的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是 . 14．向量满足，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 17．（15分） 已知函数已知. (1)求函数的周期、对称轴、对称中心; (2)求在上的单调区间与最值； (3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 18．（17分） 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为. (1)分别用表示两个方案中矩形的面积,； (2)分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 19．（17分） 已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点． (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9章~第10章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得， 所以，则. 故选：B. 2．在中，，当时，为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以． 故为钝角三角形． 故选：C. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C. 4．设关于x的方程有实数解，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以，即. 因为，， 所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要条件． 故选：A. 5．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点，所以， 则，所以， 又， 所以 故选：A. 6．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，两边平方得，所以， ，， 所以． 故选：D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 8．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设分别为的中点，连接，如图， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在上的投影向量是 【答案】BD 【解析】对于A，因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B，由A可得， 又，故，即向量的夹角为.故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，在上的投影向量是，故D正确. 故选：BD. 10．已知函数，则下列函数判断正确的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】由， 可得. 对于A，因，则为偶函数，故A错误； 对于B，因当时，，，故的图象关于直线对称，即B正确； 对于C，当时，，而在上单调递减，故C正确； 对于D，当时，，故函数的图象关于点对称，即D错误. 故选：BC. 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 13．已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是 . 【答案】. 【解析】 ， 由，且，则， 且在区间上只有一个最大值点和一个零点， ，解得， 的取值范围为：. 故答案为：. 14．向量满足，且，则 ． 【答案】3 【解析】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （4分） （2）因为，且， 所以，解得. （8分） （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. （13分） 16．（15分） 已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； （4分） （2）因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. （8分） （3）因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. （15分） 17．（15分） 已知函数已知. (1)求函数的周期、对称轴、对称中心; (2)求在上的单调区间与最值； (3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 【解析】（1）， 所以， ，所以对称轴为：， ，所以对称中心为：，（4分） （2），， 所以上单调递增，上单调递减， 所以上单调递增，上单调递减， ，，， 所以的最大值为3，最小值为 . （9分） （3），而恒成立， 所以， 当取得最大值3时，，所以. （15分） 18．（17分） 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为. (1)分别用表示两个方案中矩形的面积,； (2)分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 【解析】（1）如图1，在中，，， 所以，. 在中，，. 则，. （4分） 如图2，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点， 在中，，，所以，. 由扇形和矩形的对称性可得，， 则在中， ，则， ，. 则，. （10分） （2）由，得，. 方案一： 当时，即时，取最大值，最大值为. （14分） 方案二： 所以当时，即时，取最大值，最大值为. 因为， 所以. （17分） 19．（17分） 已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点． (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 【解析】（1）因为 而点为线段上靠近点的三等分点， 则，可得，所以. （4分） （2）①由题意得， ，， 所以， 事实上，对任意正整数，且时， ，，（7分） 有， 所以， 所以. （9分） ②当，时， ，， ， （12分） 令， 当，2，3时，； 当或3时，上式有最小值为； 当时， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为 （16分） 综上，的最小值为. （17分） 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9章~第10章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，当时，为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（   ） A． B． C． D． 4．设关于x的方程有实数解，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（    ） A．0 B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在上的投影向量是 10．已知函数，则下列函数判断正确的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是 . 14．向量满足，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 17．（15分） 已知函数已知. (1)求函数的周期、对称轴、对称中心; (2)求在上的单调区间与最值； (3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 18．（17分） 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为. (1)分别用表示两个方案中矩形的面积,； (2)分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 19．（17分） 已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点． (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C A A D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （4分） （2）因为，且， 所以，解得. （8分） （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； （4分） （2）因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. （8分） （3）因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）， 所以， ，所以对称轴为：， ，所以对称中心为：，（4分） （2），， 所以上单调递增，上单调递减， 所以上单调递增，上单调递减， ，，， 所以的最大值为3，最小值为 . （9分） （3），而恒成立， 所以， 当取得最大值3时，，所以. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）如图1，在中，，， 所以，. 在中，，. 则，. （4分） 如图2，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点， 在中，，，所以，. 由扇形和矩形的对称性可得，， 则在中， ，则， ，. 则，. （10分） （2）由，得，. 方案一： 当时，即时，取最大值，最大值为. （14分） 方案二： 所以当时，即时，取最大值，最大值为. 因为， 所以. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为 而点为线段上靠近点的三等分点， 则，可得，所以. （4分） （2）①由题意得， ，， 所以， 事实上，对任意正整数，且时， ，，（7分） 有， 所以， 所以. （9分） ②当，时， ，， ， （12分） 令， 当，2，3时，； 当或3时，上式有最小值为； 当时， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为 （16分） 综上，的最小值为. （17分） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$