第十八章 平行四边形拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十八章 平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行线之间距离最短 【解惑】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点是上一点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值是（ ）cm A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为 ． 3．如图，在等边三角形中，，为上一点（与点、不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的最小值是 ． 类型二、将军饮马(两定一动) 【解惑】如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为，在上，且，是上的一个动点，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 3．如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    类型三、中位线最值 【解惑】如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（        ）    A．4 B．5 C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是 ． 3．如图，中，，点分别是边上的动点，点为的中点，点为的中点，则的最小值 ．    类型四、矩形对角线最值 【解惑】如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 类型五、两动一定最小 【解惑】如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【融会贯通】 1．菱形的边长为4，，点、分别是、上的动点，的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 2．如图，菱形的边长为4，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 3．如图，在菱形中点E，F分别为上的动点，连接，若菱形的面积为12，，则的最小值为 ． 类型六、两定一定长 【解惑】如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 3．如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值 ． 类型七、隐直线 【解惑】如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，．为矩形内一点，且，则点到A，两点距离之和的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，，点是矩形内一点，且点满足的面积是矩形面积的，则点到，两点距离之和的最小值为 ． 类型八、手拉手 【解惑】如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 【融会贯通】 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(   ) A． B． C． D． 2．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 类型九、费马距离 【解惑】如图，菱形ABCD中∠ABC＝60°，ΔABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的个数是（   ） ①△AMB ≌△ENB；②若菱形ABCD的边长为2，则AM＋CM的最小值2；③连接AN，则AN⊥BE；④当AM＋BM＋CM的最小值为时，菱形ABCD的面积也为． A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，在▭ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为▭ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为(        ) A． B．6+2 C．5 D．10 2．如图，已知四边形为矩形，，，P为矩形内一点，Q为边上的动点，，则的最小值为 ．    3．如图，已知菱形ABCD的边长为，点M是对角线AC上的一动点，且，则 °，的最小值是 ． 类型十、最值综合 【解惑】按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2) (3) (4)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (5)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (6) (7) (8)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【融会贯通】 1．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．      【类比求值】 （1）类比上面解题思路，完成下面的填空： ①求的最小值为______； ②求（a，b，c为正数，）的最小值为______． 【解决问题】 （2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．    ①请用（1）中的结论，求最小值是多少？ ②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 2．问题背景 （1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究 （2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 3．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班  李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． 问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行线之间距离最短 【解惑】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小． ∵OD⊥BC，BC⊥AB， ∴OD∥AB， 又∵OC＝OA， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD＝AB＝3， ∴DE＝2OD＝6． 故选B． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点是上一点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值是（ ）cm A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】如图，由题意易得，由平行四边形的性质可得OA=OB，OD=OE，要使的值为最小，则OD的值为最小，即当点D为AC的中点时，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴OA=OB，OD=OE， ∴要使的值为最小，则OD的值为最小，即当点D为AC的中点时， ∴由三角形中位线定理可得， ∴，即的最小值为6cm， 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形中位线、勾股定理及平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线、勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键． 2．如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识．在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时：， 故答案为：． 3．如图，在等边三角形中，，为上一点（与点、不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，当时，此时有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形，， ，， ， ， 当时，此时有最小值， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 类型二、将军饮马(两定一动) 【解惑】如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的周长为16，可求出的长，从而得出结果． 【详解】解：连接，与交于点F． ∵点B与D关于对称， ∴， ∴， ∴最小， ∵正方形的周长为16， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为4． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为，在上，且，是上的一个动点，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，的最小值为的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵四边形是正方形， ∴对角线所在直线是其一条对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， 在中，，， ∴，即的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查对称轴—最短路径，正方形的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，则就是的最小值，即的长就是． 【详解】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，如图： 此时即为的最小值，与的交点是此时P的位置， 又，M，N分别是的中点， ∴E也是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又， 则， 故答案为：10． 【点睛】此题是有关最短路线问题，有关直线同侧的折线段相加的值最小问题，常转化为直线两侧两点之间线段最短问题． 3．如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】动点问题,找到对称轴作对称点,相连即可算出答案,连接CE即为AP+PE的最小值． 【详解】   连接CE, 因为A、C关于BD对称． CE即为AP+PE的最小值． ∵正方形边长为4,E是AB中点, ∴BC=4,BE=2． 故答案为: . 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 类型三、中位线最值 【解惑】如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（        ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于，   四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ∴由勾股定理得， 、分别为、的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，过A作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知，当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过A作于， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， ∵平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴由得， 即的最小值为, ∴的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线性质，将的最小值转化为求的最小值是解答的关键． 3．如图，中，，点分别是边上的动点，点为的中点，点为的中点，则的最小值 ．    【答案】 【分析】连接，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到求的最小值即是线段的最小值，由动点最值问题-点到直线的距离垂线段最短，结合平行四边形性质及含的直角三角形性质及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    在中，点为的中点，点为的中点，则是的中位线， ， 点是定点、是线段上的动点， 的最小值即是线段的最小值， 由点与直线上动点距离的最小值是过点作线段的垂线，如图所示：    在中，，则，在中，， ，则，从而，再由勾股定理可得， 的最小值为． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及三角形中位线的判定与性质、点到直线距离垂线段最短、平行四边形性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 类型四、矩形对角线最值 【解惑】如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点，于点，， ∴， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 2．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识．由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接，，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为； 故答案为：． 3．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】1.2 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵M是的中点， ∴． 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 故答案为：1.2． 类型五、两动一定最小 【解惑】如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，解题的关键是作出关于的对称点，连接，当时，有最小值，最小值为的长，解直角三角形求得即可． 【详解】解：如图，关于的对称点，连接， 菱形关于对称，是边上点， 是边上的点，， 当时，有最小值，最小值为的长． 菱形的边长为2，， ， 的最小值为． 故选：C． 【融会贯通】 1．菱形的边长为4，，点、分别是、上的动点，的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，菱形的性质， 先作点P关于的对称点，连接，则，当点C，Q，三点共线时，取最小值，为的长，当时，取最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】如图所示，作点P关于的对称点，连接，则， ∴， 当点C，Q，三点共线时，取最小值，为的长， 当时，取最小值． ∵， ∴， ∴, 解得， ∴的最小值为． 故选：D． 2．如图，菱形的边长为4，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识．连接，作于，利用证明，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，作于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 当点、、共线，的最小值为的长， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在菱形中点E，F分别为上的动点，连接，若菱形的面积为12，，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称路径最短问题，菱形的性质．作关于的对称点，则，当时，最小，根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则， 当点三点共线时， 四边形是菱形， ∴当时，最小， 菱形的面积为12，， ， ， ， 即的最小值为2． 故答案为：2． 类型六、两定一定长 【解惑】如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点E作，过点M作交于点F，连接，则四边形为平行四边形，证得当A、M、F三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点M作于点G，设与相交于点O，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点E作，过点M作交于点F，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、F三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点M作于点G，设与相交于点O， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ， 由勾股定理得， ∴， 即的最小值为． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，正确做出辅助线确定出P和Q点的位置是解答本题的关键． 要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可.为此，先在边上确定点的位置，可在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，则此时最小，即四边形的周长最小． 【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形的周长的最小值 ， 故选C． 2．如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，延长至点G，使，连接、、，根据可证明，得出，则，故当D、E、G三点共线时，取最小值为，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解∶延长至点G，使，连接、、， ∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当D、E、G三点共线时，取最小值为， 在边长为5的正方形中，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 3．如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与判定，勾股定理，过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，，即可得到是平行四边形，是正方形，则，当在上时，取最小值，最小值为的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，， ∵边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，使， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴当在上时，取最小值，最小值为的长， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型七、隐直线 【解惑】如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，则可证明，得；取中点O，则，则点G在直线上运动，连接，则，，当三点共线时最小，从而最小，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点G作于H， 则， ； 四边形是矩形， ， ， ， ； ， ， ； 取中点O，连接，则， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 则点G在直线上运动； 连接，则垂直平分， ， ， 当三点共线时最小，从而最小， ， 则由勾股定理， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，确定点G运动的路径是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，．为矩形内一点，且，则点到A，两点距离之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．首先由，得出点在与平行且与的距离是4的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值． 【详解】解：设中边上的高是． ， ， ， 动点在与平行且与的距离是4的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离． 在中，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，点是矩形内一点，且点满足的面积是矩形面积的，则点到，两点距离之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据轴对称求线段和最小，勾股定理，先求出矩形的面积，可得，进而确定的高，再作出点C的关于直线的对称点，连接，交直线于点P，然后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：设的高为h， 在矩形中，， ∴， ∴， 即， 解得． 在上取点E，F，使，作点C关于直线的对称点， ∴． 根据两点之间线段最短，连接交于点P， ∴． 在中，（cm）． 所以的最小值为cm． 故答案为：cm． 类型八、手拉手 【解惑】如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由可证得，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，由，得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得的最小值． 【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示：    ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长． ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的最小值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【融会贯通】 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值； 【详解】解：如图，连接CF、CG、AE， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，最小， ∴d1＋d2＋d3的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键． 2．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是根据证明，把问题转化为求的最小值．过作于，证明，可得，，即得是等腰直角三角形，，故当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为，由，即可得答案． 【详解】解：过作于，如图：   四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为， ，， ， 最小值为， 故答案为：2． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点E作轴于点F，易证，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即得出点E在的平分线所在的直线上运动，再结合垂线段最短可知当时，最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即平分， ∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，正确作出辅助线，证明点E在的平分线所在的直线上运动是解题关键． 类型九、费马距离 【解惑】如图，菱形ABCD中∠ABC＝60°，ΔABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的个数是（   ） ①△AMB ≌△ENB；②若菱形ABCD的边长为2，则AM＋CM的最小值2；③连接AN，则AN⊥BE；④当AM＋BM＋CM的最小值为时，菱形ABCD的面积也为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据菱形的性质，运用“SAS”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线BD对称，可知AM+CM最小为AC长；③先假设AN⊥BE，而后逆推即可判断；④根据图形特征得出当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC，交CB的延长线于F，在Rt△EFC中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解①∵△ABE是等边三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°． ∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE． 又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS），故①正确； ②连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，BD⊥AC，AO=CO． ∴点A和点C关于直线BD对称， ∴当M点与O点重合时，AM+CM的值最小为AC的值． ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=2． 即AM+CM的值最小为2，故②正确； ③假设AN⊥BE，且AE=AB， ∴AN是BE的垂直平分线， ∴EN=BN=BM=MA， ∴M点与O点重合， ∵条件没有确定M点与O点重合，故③错误； ④如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短， ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长． 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=180°﹣120°=60°， 设菱形的边长为x，∴BF=，EF=， 在Rt△EFC中，∵， ∴， 解得x=4， ， ∴菱形的面积为， 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在▭ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为▭ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为(        ) A． B．6+2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，通过边长转换，可将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最小值． 【详解】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K ∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到 ∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD ∴△APF是等边三角形，∴AP=PF ∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG ∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6 ∴AE=AD=BC=6，AD∥BC ∴在Rt△AHE中，AH=3，EH=3 ∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC ∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG ∵∠ABC=60°，AB=4 ∴在Rt△ABK中，BK=2，AK=2 ∴HG=2 ∴EG=3 故选：C 【点睛】本题考查最值问题，解题关键是旋转△APD，将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式． 2．如图，已知四边形为矩形，，，P为矩形内一点，Q为边上的动点，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，连接，，，且与交于点，由勾股定理可求的长，由面积公式可求点P到的距离为3，可得的最小值为4，因为要使有最小值，就要使有最小值，由三角形的三边关系可求，当点P与点所在位置重合，的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，且与交于点，    ∵，，， ∴， ∵， ∴点P到的距离为， ∴点P到的距离为， 因为要使有最小值， 则（垂线段最短）， 因为四边形为矩形， 则，，， 即， 由三角形的三边关系可知， 因为要使有最小值，就要使有最小值， ∴要使点P与点所在位置重合， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．如图，已知菱形ABCD的边长为，点M是对角线AC上的一动点，且，则 °，的最小值是 ． 【答案】 30 18 【分析】过点作于点，连接，证明，得到当D、M、E三点共线时，ME+DM最小，即MA+MB+MD最小，由此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 菱形中，， ，，AC垂直平分BD， 是等边三角形，DM=BM， ， ， ， ， ∴当D、M、E三点共线时，ME+DM最小，即MA+MB+MD最小， 菱形的边长为，∠DAE=30°，∠AED=90°， ∴, ， ． 的最小值是18． 故答案为：30，18． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 类型十、最值综合 【解惑】按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2) (3) (4)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (5)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (6) (7) (8)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题； （1）作点关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求； （2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可． （4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求． 【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可） （2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）如图④，即为所求的桥． 根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． （4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 【融会贯通】 1．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．      【类比求值】 （1）类比上面解题思路，完成下面的填空： ①求的最小值为______； ②求（a，b，c为正数，）的最小值为______． 【解决问题】 （2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．    ①请用（1）中的结论，求最小值是多少？ ②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 【答案】（1）①13②（2）①100②见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，利用轴对称求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）类比题干给出的方法，进行求解即可； （2）①直接利用结论求解即可；②作点关于的对称点，连接，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为13．    故答案为：13. ②如图，同法①可得：的最小值为：；    故答案为： （2）①∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴ 由（1）中结论可得：的最小值为：； ②作点关于的对称点，连接，    则：，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为100． 2．问题背景 （1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究 （2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为 【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径，再利用矩形的性质，求出和的距离，最后利用勾股定理即可求出最短路径； （2）根据平移的性质可知四边形和均为平行四边形，再利用最短路径作法得出即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案； （3）根据题意画图可知四边形为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接，， 连接 交于点， 则 ， ， 当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长． 连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点， 则， 四边形 是矩形， ，， 又， ， 即最短路线的长是． 故答案为：． （2） 存在．理由如下， 如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接，，， 则． 由平移知， ． 又 ， 四边形 是平行四边形， ， 由平移知， 又， 四边形 是平行四边形， 当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长． 过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形． ， ，， 的最小值为． 故答案为：存在，最小值为． （3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接，， 过点 作， 且， 作点 关于 的对称点， 连接 交于点． 连接， 则． 是平行四边形， ， 点 ，N重合时，旅游路线最短． 过点 作直线， 过点 作 于点， 则 ，，， ， ． 故答案为：最短路线长为． 【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径． 3．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班  李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． 问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 【答案】问题1．“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米；问题2．；问题3．（1）见解析，P点坐标为（2，0）；（2）；问题4．线段PE+PC的最小值是． 【分析】问题1．作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′②如图2中，王小二从A处牵牛到河边饮水然后回到家B的最短路程，根据勾股定理计算即可； 问题2．由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果； 问题3．（1）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，利用对称的性质得到PA=PA′，则PA+PB=PA′+PB=BA′，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点A′的坐标，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求得P点坐标； （2）利用两点间的距离公式求出BA′即可． 问题4．过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：问题1：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，过点A′作A′M⊥BD并交BD线于点M， ∴AC=A′C=300米， 在Rt△A′BM中，A′M=CD=900米，BM=BD+DM=BD+ A′C=1200米， A′B=（米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； 问题2：如图，连接BE， 设BE与AC交于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度． ∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3， ∴BE=． 故答案为：． 问题3．（1）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到PA=PA′，则PA+PB=PA′+PB=BA′，BA′的值最小； A点关于x轴对称的点A′的坐标为（-2，-4）， 设直线BA′的解析式为y=kx+b， 把A′（-2，-4），B（4，2）代入得： ，解得， ∴直线BA′的解析式为y=x-2， 当y=0时，x-2=0，解得x=2， ∴P点坐标为（2，0）； （2）PA+PB的最小值= BA′=； 问题4．过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP， 此时线段PE+PC最小，且PE+PC=AE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB=BD=8，OC=AC=6， ∴BC=10，即 设CE=x，则DE=10-x，AB=CD=AD=BC=10， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即CE=， ∴AE=， ∴线段PE+PC的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$