第十八章 平行四边形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十八章 平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、(特殊)平行四边形的定义 【解惑】依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列选项中，矩形不具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角互补 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质．根据矩形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意； B、矩形的对边相等，故选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，故选项不符合题意；     D、矩形的对角互补，故选项不符合题意； 故选：A 2．菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； 根据菱形的对角线互相垂直平分求出两条对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：菱形周长为：； 菱形的周长为； 故答案为： 3．如图是一个现代简约茶几，其正方形台面的周长为，则它的对角线的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，根据正方形的性质直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵正方形台面的周长为， ∴它的边长为， ∴它的对角线的长度为． 故答案为：． 类型二、添加条件成为(特殊)平行四边形 【解惑】如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A．如， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴A选项不符合题意， B．如添加，无法证明四边形是平行四边形， ∴B选项不符合题意， C.如， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴C选项不符合题意， D．如， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴D选项不符合题意， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 2．已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 类型三、斜中定理 【解惑】如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：中，，，点为斜边上的中点， ； 故选：C 2．如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：2． 3．如图，在中，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：∵在中，是的中线，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，角平分线的定义等知识点，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 类型四、三角形的中位线 【解惑】如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质．用勾股定理可算出，然后根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得，，易证得，然后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一以及中位线的判定与性质，先根据，平分，得出，结合点E是边上的中点，得出为的中位线，即可作答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的中线， 即点D是的中点， 点E是边上的中点， 为的中位线， 故选：C 2．如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； 故答案为：． 3．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，先证为的中位线得，，进而得，，由此可证和全等，从而得，据此可得的长，熟练掌握三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，分别是，的中点， 为的中位线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 故答案为：6． 类型五、中点四边形 【解惑】如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，，，，，，得到四边形为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别为的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意； B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【分析】本题考查中位线，特殊四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握中点四边形的特征是解题的关键．分别画出图形，利用中位线依次证明即可． 【详解】解：A中，∵如图，四边形是矩形， ∴不一定垂直于， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵不一定垂直于， ∴不一定垂直于， ∴四边形不一定是矩形； 故选项A符合题意； B中，∵如图，四边形是正方形， ∴， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 故选项B不符合题意； C中，如图，四边形是菱形，同选项B可得四边形是矩形； 故选项C不符合题意； D中，如图，四边形中，，同选项B可得四边形是矩形； 故选项D不符合题意； 故选：A． 2．下列命题中，真命题是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形 【答案】B 【分析】本题综合考查了特殊平行四边形和等腰梯形的判定方法，中点四边形的性质．解答该题时，需要牢记常见的四边形的性质．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； B. 顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形，故原命题是真命题，故该选项符合题意； C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； D. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是等腰梯形，也可能是直角梯形还可能是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键．先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故答案为：24． 类型六、(特殊)平行四边形的长度求解 【解惑】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解． 【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点，结合图形取中点构造三角形的中位线是解题的关键．取中点为点，过点作于点，连接，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，再利用矩形的判定证明是矩形，得出即可解答． 【详解】解：如图，取中点为点，过点作于点，连接，   ，，点为中点， ，， 在中，， ， ，， ， ， ， 点是的中点，点为中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故选：B． 2．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点O． 由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 3．如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论； （2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 和的角平分线相交于点C， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 又， ∴， ∴， 是等腰直角三角形； （2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示， ， 四边形是矩形， 平分，，，， ， 矩形是正方形，且， 设， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可知，是直角三角形，且， ∵， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键． 类型七、(特殊)平行四边形角度求解 【解惑】如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．在矩形中，相邻两边的长分别为，则两条对角线所夹的锐角是（    ） A．40° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】先根据勾股定理算出AC的长,利用矩形对角线平分求出OA=OC=4,正好与AB相等即可证明△AOB是等边三角形,即可求出角度. 【详解】如图，∵四边形是矩形， ∴， ∴． 又∵，∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，∴， 即两条对角线的夹角是60°或120°，所夹的锐角是60°．故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质和等边三角形的性质,关键在于牢记基础知识,熟练运用性质. 2．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 3．问题探究 （1）如图1，等腰直角，，点是内的一点，且，．过点作的垂线，为对称轴，作关于的轴对称图形，连接．求的度数． 问题解决 （2）如图2，有一个三角形空地．经测量，米，，，现要在的边右侧扩建三角形区域，，垂足为H，且满足，．请利用所学知识，求四边形的面积． 【答案】（1）（2）平方米 【分析】（1）证明四边形是正方形，进而推出是等边三角形，得到，进而求出，即可得解； （2）分别以为对称轴，作，关于的轴对称三角形，延长交于点，证明四边形是正方形，设，在中，，得出，则，根据三角形面积公式求得，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解，进而求得四边形的面积． 【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∵和关于直线对称， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， 又 ∴四边形是正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，分别以为对称轴，作，关于的轴对称三角形，延长交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， 设， ∵，， 则， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 过点作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 所以四边形的面积为：（平方米） 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 类型八、平行四边形的证明 【解惑】如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，再根据平行的性质得到，然后再通过全等三角形的判定证明从而得到，即可证明． 【详解】证明：∵，； ∴四边形是平行四边形； ∴； ∴； ∵O为AC的中点； ∴； ∴在和中； ； ∴（）； ∴； ∴； 即． 【融会贯通】 1．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 2．如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 3．在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）． 【答案】(1)见解析 (2)、、、 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，再根据线段的中点得到，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）结合平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可找出图中的全等三角形． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在与中 ∴． 综上，图中有以下全等三角形： 、、、． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、线段的中点，熟练掌握图形的性质和判定是解题的关键． 类型九、菱形的证明 【解惑】如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质求得，推出，再证明四边形是平行四边形，据此即可证明平行四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为24，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，得，可证明，得出，可得四边形是平行四边形，由即得是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴菱形的周长为：， ∴， ∵， ∴， 又 ， ∴是等边三角形， ∴． 2．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图方法与菱形的判定方法是解题的关键， （1）运用尺规作图作角平分线的方法作图即可； （2）根据已知条件结合作图可得，，由菱形的判定即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图可知， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 3．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 类型十、矩形的证明 【解惑】如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，是的角平分线，四边形是平行四边形，连接，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，三线合一以及三角形中位线的性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据等腰三角形三线合一得到，求出，证明四边形为平行四边形，再根据即可证明结论． （2）四边形为矩形，得到，再根据是边的中线，证明是的中位线，即可得到结论． 【详解】（1）解：矩形，理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ，平分， 是边的中线，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． （2）解：，理由如下： 四边形是矩形， ， ，平分， 所以是边的中线， ， 是的中位线， ． 2．如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形； （2）分别求出，根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点是的中点，是边的中线， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形． （2）解：是等边三角形， ， 是边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又四边形是矩形， ． 3．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定和性质． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知，然后可求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，点F是的中点， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴． 【一览众山小】 1．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 2．已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的对角线相等，且互相垂直的性质，正方形的面积的求解．根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴面积是， 故选：C． 3．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 4．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为4.8km，则、两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴ 故答案为： ． 5．在中，斜边上的中线，则斜边的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：． 6．如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，两点的中点坐标，根据菱形的性质可得A、C关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：菱形的对角线交于坐标原点，点， ∴， 故答案为：． 7．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． (1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； (2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和网格的特点，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可． （2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可 【详解】（1）取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形． （2）连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积． 8．已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； （2），， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 9．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，结合矩形的判定方法即可求证； （2）根据四边形是正方形，周长是，是对角线，得到，根据四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线， ∴，， 如图所示，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 同理，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 10．如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求折痕的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，，进而得出，即可得证； （2）设，则，由折叠可得，在中，，求得，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质得出，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质，可得：， ， ， ， ∴四边形为菱形． （2）解：如图所示，连接，交于点O，   ， 设，则， 由折叠可得， 在中，， ， 解得，， ， 在中， 四边形为菱形， ， 在中，， 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠问题，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、(特殊)平行四边形的定义 【解惑】依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列选项中，矩形不具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角互补 2．菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为 ． 3．如图是一个现代简约茶几，其正方形台面的周长为，则它的对角线的长度为 ． 类型二、添加条件成为(特殊)平行四边形 【解惑】如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 3．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 类型三、斜中定理 【解惑】如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 3．如图，在中，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为 ． 类型四、三角形的中位线 【解惑】如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 3．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 类型五、中点四边形 【解惑】如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 2．下列命题中，真命题是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形 3．如图，E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是 ． 类型六、(特殊)平行四边形的长度求解 【解惑】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（   ）    A．2 B． C． D． 2．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 3．如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 类型七、(特殊)平行四边形角度求解 【解惑】如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在矩形中，相邻两边的长分别为，则两条对角线所夹的锐角是（    ） A．40° B．30° C．45° D．60° 2．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 3．问题探究 （1）如图1，等腰直角，，点是内的一点，且，．过点作的垂线，为对称轴，作关于的轴对称图形，连接．求的度数． 问题解决 （2）如图2，有一个三角形空地．经测量，米，，，现要在的边右侧扩建三角形区域，，垂足为H，且满足，．请利用所学知识，求四边形的面积． 类型八、平行四边形的证明 【解惑】如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 【融会贯通】 1．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 2．如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 3．在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）． 类型九、菱形的证明 【解惑】如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：四边形是菱形． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为24，，，求的长． 2．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 3．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 类型十、矩形的证明 【解惑】如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【融会贯通】 1．如图，在中，是的角平分线，四边形是平行四边形，连接，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 2．如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 3．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【一览众山小】 1．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 2．已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为4.8km，则、两点间的距离为 ． 5．在中，斜边上的中线，则斜边的长是 ． 6．如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ． 7．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． (1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； (2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 8．已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 9．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 10．如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求折痕的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$