18.1 平行四边形-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

18.1 平行四边形 一、平行四边形的定义与表示方法 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形被称为平行四边形。 平行四边形的表示方法：在数学中，平行四边形用“▱”符号来表示。例如，平行四边形ABCD可以记作“▱ABCD”。 二、平行四边形的性质 边的性质：平行四边形的对边平行且长度相等。 角的性质：平行四边形的对角相等，而相邻的角互补。即，∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°。 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。 三、平行四边形的判定方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （需证明）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 四、平行四边形的面积计算 平行四边形的面积等于底和高的积，即S=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。 五、注意点 一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。 一组对边相等且一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形。 巩固课内例1:平行四边形的性质——边角关系 1．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ．    3．如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 巩固课内例2:平行四边形的性质——对角线关系 1．如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 2．如图，的对角线，交于点O，且，，则的周长为 ． 3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，求线段的长度． 巩固课内例3:平行四边形的判定——对角线互相平分 1．如图，小明以的两边和为邻边，用尺规作一个平行四边形．小明的做法是：先用尺规作的垂直平分线，垂足为；过点，作射线，在射线上截取．连接，．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（　　） A． 两组对边分别平行 B．对角线互相平分 B． C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等 2．在如图1所示的上按图2和图3所示的尺规作图痕迹作图，不借助三角形全等就能直接推出四边形是平行四边形的依据是 ． 3．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 巩固课内例4:平行四边形的性质———组对边平行且相等 1．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形 B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：△ABC，尺规作图：平行四边形ABCP．甲同学的主要作法如下： ①作∠CAD=∠ACB，且点D与点B在AC的异侧； ②在射线AD上截取AP=CB，连结CP．所以四边形ABCP是平行四边形． （1）老师说：“甲同学的作法是正确的．”甲同学这样作图的依据是 ； （2）老师说：“已知边BC平行于x轴，点B坐标是（2，-1），AP=5．”则点C的坐标是 ． 3．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 巩固课内例5:三角形的中位线定理 1．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 2．如图，是的中位线，若，则的长为 ． 3．如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 类型一、两组对边分别平行证平行四边形 1．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 2．如图，两条对边平行且宽为的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角为，则重叠四边形的面积为 ． 3．等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 类型二、两组对边分别相等证平行四边形 1．综合实践课上，魏华画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．以下是其作图过程． 在魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（  ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 2．若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ． 3．如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 类型三、一组对边平行且相等证平行四边形 1．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 2．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 3．已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 类型四、对角线互相平分证平行四边形 1．综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程． （1）分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，相交于两点，作过这两点的直线交于O； （2）连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C； （3）连接，，则四边形即为所求． 在小明的作法中，可以直接用于判定四边形为平行四边形的依据是（    ）                  A．（两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 2．如图，，是相交的两条线段，分别为它们的中点．当绕点旋转时，连接，，，所得到的四边形始终为 形（与不重合）． 3．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 类型五、三角形中位线的简单应用 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 2．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 类型一、平行四边形中的边求解 1．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，则的长为 ． 3．如图，在平行四边形中，分别平分和，交于点，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 类型二、平行四边形中的角求解 1．在平行四边形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是 ． 3．如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数． 类型三、平行四边形中的对角线求解 1．如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点．，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，已知，是的平分线，且与交于点，，则的长为 ． 3．如图，平行四边形的对角线、交于点，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 类型一、平行四边形中的周长求解 1．如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是（　　） A．10 B．14 C．20 D．22 2．如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 3．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． …… 任务： (1)证明过程中的“依据”是指：______． (2)请你补全小明的证明过程． (3)如图2，在中，，，，则的周长为______． 类型二、平行四边形中的面积求解 1．如图，是平行四边形的对角线交点，为中点，交于点，若平行四边形的面积为8．则的面积是（　　）   A．2 B． C．1 D． 2．如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 3．如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 类型三、拼成平行四边形 1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 类型四、坐标系中的平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，若，，点在第二象限．保持平行四边形不动，将轴向右平移，当轴经过点时，在新的坐标系下，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知坐标系中有四个点，其中点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则C的符合条件的一个坐标是 ． 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）： (1)在网格内画出关于y轴对称的图形； (2)平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标． 类型五、平行四边形中的动点求t 1．如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10 2．如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为（）．当 时，四边形是平行四边形． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 1．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为 ． 5．如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为 6．如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     7．如图，平行四边形的边长10厘米，直角三角形的直角边长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10平方厘米，求平行四边形的面积． 8．如图，在平行四边形中，于． (1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． 9．如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：． 10．我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1 平行四边形 一、平行四边形的定义与表示方法 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形被称为平行四边形。 平行四边形的表示方法：在数学中，平行四边形用“▱”符号来表示。例如，平行四边形ABCD可以记作“▱ABCD”。 二、平行四边形的性质 边的性质：平行四边形的对边平行且长度相等。 角的性质：平行四边形的对角相等，而相邻的角互补。即，∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°。 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。 三、平行四边形的判定方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （需证明）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 四、平行四边形的面积计算 平行四边形的面积等于底和高的积，即S=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。 五、注意点 一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。 一组对边相等且一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形。 巩固课内例1:平行四边形的性质——边角关系 1．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质可知，再结合求出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 2．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长为， ， 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)55° (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 巩固课内例2:平行四边形的性质——对角线关系 1．如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点F． ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．如图，的对角线，交于点O，且，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角线互相平分以及平行四边形的对边相等，即可求出的周长． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和勾股定理，由平行四边形的性质得，根据勾股定理得，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴． 巩固课内例3:平行四边形的判定——对角线互相平分 1．如图，小明以的两边和为邻边，用尺规作一个平行四边形．小明的做法是：先用尺规作的垂直平分线，垂足为；过点，作射线，在射线上截取．连接，．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据题意得到，，进而可证明出四边形为平行四边形． 【详解】∵用尺规作的垂直平分线，垂足为 ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形． ∴直接判定四边形为平行四边形的条件是对角线互相平分． 故选：B． 2．在如图1所示的上按图2和图3所示的尺规作图痕迹作图，不借助三角形全等就能直接推出四边形是平行四边形的依据是 ． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答．根据平行四边形的判定和作图进行判断即可． 【详解】解：由图可知先作的垂直平分线，则点O为的中点，由作图可知， 可得：， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 巩固课内例4:平行四边形的性质———组对边平行且相等 1．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形 B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项分析即可作答． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故该选项符合题意； 故选：D． 2．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：△ABC，尺规作图：平行四边形ABCP．甲同学的主要作法如下： ①作∠CAD=∠ACB，且点D与点B在AC的异侧； ②在射线AD上截取AP=CB，连结CP．所以四边形ABCP是平行四边形． （1）老师说：“甲同学的作法是正确的．”甲同学这样作图的依据是 ； （2）老师说：“已知边BC平行于x轴，点B坐标是（2，-1），AP=5．”则点C的坐标是 ． 【答案】 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （7，-1） 【分析】（1）由∠CAD=∠ACB可知AP∥CB，又因为AP=CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）由AP=5，可得BC=5，又因为边BC平行于x轴，点B坐标是（2，-1），根据点的平移的坐标特征，即可求解． 【详解】（1）解：∵∠CAD=∠ACB， ∴AP∥CB， ∵AP=CB， ∴四边形ABCP是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：∵AP=5， ∴BC=5， ∵边BC平行于x轴，点B坐标是（2，-1）， ∴点C的坐标是（7，-1）． 故答案为：（7，-1）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与点的平移的坐标特征． 3．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【详解】证明：∵是的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 巩固课内例5:三角形的中位线定理 1．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握定理内容是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 类型一、两组对边分别平行证平行四边形 1．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法分别判断得出即可．此题主要考查了平行四边形的判定方法，准确无误的掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图， ①根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判定这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②不能判定这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判定这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判定这个四边形是平行四边形； 一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有2组， 故选：C． 2．如图，两条对边平行且宽为的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角为，则重叠四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，由题意可得得，，cm，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于，过点作于， 由题意可得，，cm， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴重叠四边形的面积（）， 故答案为：． 3．等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质得，再结合可得，接下来说明是等边三角形，然后得出，进而得出，即可得出答案； 对于（2），由（1），得，再根据平行四边形的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即． ∵ ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：． ∵是等边三角形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，灵活选择平行四边形的判定定理是解题的关键． 类型二、两组对边分别相等证平行四边形 1．综合实践课上，魏华画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．以下是其作图过程． 在魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（  ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由作图可得，，据此可得求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，，， ∴魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：． 2．若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案． 【详解】解：∵四边形中，的长度之比是， ∴， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．先利用等边三角形性质及手拉手全等模型分别证和，即判断四边形为平行四边形． 【详解】证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在与中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 同理可证， ， 四边形是平行四边形． 类型三、一组对边平行且相等证平行四边形 1．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 2．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【答案】平行四边 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理推出且，则可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点， ，且， 且， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边． 3．已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 由垂直得到，然后可证明，得到，然后证明，再根据平行四边形的判定判断即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 类型四、对角线互相平分证平行四边形 1．综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程． （1）分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，相交于两点，作过这两点的直线交于O； （2）连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C； （3）连接，，则四边形即为所求． 在小明的作法中，可以直接用于判定四边形为平行四边形的依据是（    ）                  A．（两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：D． 2．如图，，是相交的两条线段，分别为它们的中点．当绕点旋转时，连接，，，所得到的四边形始终为 形（与不重合）． 【答案】平行四边 【解析】略 3．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 类型五、三角形中位线的简单应用 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 2．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，点分别为，的中点，且， ∴， 故答案为：40． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 类型一、平行四边形中的边求解 1．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．首先利用平行四边形的性质及角平分线的定义得到，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 3．如图，在平行四边形中，分别平分和，交于点，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质有，再根据分别平分和，可得，问题得证； （2）根据平行四边形的性质有，即，又根据平分，可得，即，进而可得，同理可得，，问题随之得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 分别平分和， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，， ，， ， 又平分， ， ， ， 同理可得，， ， ． 类型二、平行四边形中的角求解 1．在平行四边形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和角平分线的性质，根据平行四边形的性质求得，结合角平分的性质求得，进一步利用平行四边形的性质求得即可． 【详解】解：，， 平分， ． ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了根据折叠性质求解，平行四边形性质，三角形内角和，根据三角形内角和先求的度数，由折叠性质可知，再结合平行四边形性质即可求出结果． 【详解】解：， ． 由折叠性质可知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 类型三、平行四边形中的对角线求解 1．如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点．，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行四边形的性质可证得，进一步证明是等边三角形，然后利用等腰三角形的判定与性质，可求得，即可证明①正确；再证明，即可知②正确；在中，，即可证明③错误；最后利用中位线定理，即可得④正确；由此可得答案． 【详解】四边形平行四边形， ，，， ， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 所以①正确； ， ， ， ， 平分， 所以②正确； 在中，， ， ， 所以③错误； ，， ， 所以④正确； 所以正确的个数有3个． 故选：C． 2．如图，在中，已知，是的平分线，且与交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分可推出，再根据等腰三角形三线合一性质得，即可得解．掌握平行四边形的性质和等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 3．如图，平行四边形的对角线、交于点，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积为． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及三角形的面积． （1）由平行四边形的对角线、交于点，且，可得，又由，即可求得的长，继而求得答案； （2）由等底等高的三角形的面积相等，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 设，， ，， ， 解得：， ， ； （2）解：， ． 类型一、平行四边形中的周长求解 1．如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是（　　） A．10 B．14 C．20 D．22 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出的值是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出，，再利用已知求出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 2．如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 3．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． …… 任务： (1)证明过程中的“依据”是指：______． (2)请你补全小明的证明过程． (3)如图2，在中，，，，则的周长为______． 【答案】(1)平行四边形的对边相等 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）首先证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）根据题意设，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴依据是平行四边形的对边相等； （2）补全证明如下： ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中， ∴ ∴； （3）∵ ∴设，， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴的周长为． 类型二、平行四边形中的面积求解 1．如图，是平行四边形的对角线交点，为中点，交于点，若平行四边形的面积为8．则的面积是（　　）   A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的面积，可知，根据是中点，可知，最后根据平行四边形的对角线互相平分，推出是中点，从而得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形且面积为8 ， 又为中点 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理， 熟练掌握知识点，正确添加辅助线，运用勾股定理是解题的关键． 延长交于，由平行四边形下的性质推出，，，得到，令，，求出的面积，四边形的面积，于是得到，推出，由勾股定理得到，求出，（舍去），得到的面积，即可求出四边形的面积为． 【详解】解：延长交于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 令，， 的面积， 梯形的面积，的面积， 四边形的面积， 与四边形的面积比为， ， ， ， ， ，（舍去）， 的面积， 四边形的面积为． 故答案为：12． 3．如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会作垂线构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，利用平行四边形和直角三角形的性质可得，得到，进而得到，在中利用勾股定理求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点作交延长线于点，则有， 平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 类型三、拼成平行四边形 1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 2．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 【答案】3 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼接即可得． 【详解】解：如图，可拼成如下的三种平行四边形： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵六个三角形是全等的正三角形， ∴OA=EF，AF=OE， ∵两组对边分别相等， ∴四边形AOEF为平行四边形； 同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形， ∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键． 类型四、坐标系中的平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，若，，点在第二象限．保持平行四边形不动，将轴向右平移，当轴经过点时，在新的坐标系下，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，平面直角坐标系，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，并会作辅助线在坐标系中构造直角三角形计算是解题的关键．作出坐标系平移后的图形，过点作轴于点，分别求和即可． 【详解】解：∵，的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 坐标系平移后的图形如图，过点作轴于点， ∵， ∴，四边形为长方形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 2．已知坐标系中有四个点，其中点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则C的符合条件的一个坐标是 ． 【答案】（4，1） 【分析】由平行四边形的判定，结合图形，直接写出答案即可． 【详解】解：如图所示： 分三种情况：①AB为对角线时，点C的坐标为（4，1）； ②OB为对角线时，点C的坐标为（−2，1）； ③OA为对角线时，点C的坐标为（2，−1）； 综上所述，点C的坐标为（4，1）或（−2，1）或（2，−1）， 故答案为：（4，1）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，画出图形是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）： (1)在网格内画出关于y轴对称的图形； (2)平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，或． 【分析】（1）先找到A、B、C点关于y轴的对称点，顺次连接即可； （2）将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点． 【详解】（1）如图所示： （2）∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点． 所以，点D的坐标为：，或． 【点睛】本题考查画轴对称图形，平行四边形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 类型五、平行四边形中的动点求t 1．如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 2．如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为（）．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时，四边形是平行四边形，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若四边形是平行四边形，则， 设运动时间为t． ，，， ∵当点第一次返回点时点也停止运动， ∴点也运动秒，则， 当时，点在上运动，则， ∴， ∴， 解得：； 当时，点在上运动，则， ∴， ∴， 解得：； 综上，当或时，四边形是平行四边形． 故答案为：或． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，涉及了平行四边形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）由题意得：，，根据即可求证； （2）分类讨论两种情况，画出图形即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∵，， ∴， ∵ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形 （2）解：时，如图所示： 则， ∴， ∴ 由（1）得：， ∴， 解得：； 时，如图所示： 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 1．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 2．如图，中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据“”可证明，得到，，可对①进行判断；通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；因为，，由，推出，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得，则，可对④进行判断． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ，故①错误； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ，故②正确； ，， ， ，故③错误； ，， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 4．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为 ． 【答案】72 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：72． 5．如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， 故答案为：5． 6．如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【答案】 【分析】取的中点，连接，证明，得到，求出，由的中点，F为的中点，得到，，证明，则，即可求出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 7．如图，平行四边形的边长10厘米，直角三角形的直角边长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10平方厘米，求平行四边形的面积． 【答案】50平方厘米． 【分析】本题是一道有关三角形的面积和平行四边形的面积的题目，要注意面积公式以及面积转化． 因为阴影部分比三角形的面积大10平方厘米，都加上梯形后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面积大10平方厘米． 【详解】解：三角形的面积为：（平方厘米）． 平行四边形的面积为：（平方厘米）． 答：平行四边形的面积为50平方厘米． 8．如图，在平行四边形中，于． (1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． 【答案】(1)作图见详解 (2)①，②，③，④ 【分析】本题主要考查尺规作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，可证明，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求线段， （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ①， ，， ②， 在、中， ， ， ④， ． 故答案为：①；②；③；④． 9．如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明； （2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为中点， ∴， 由翻折得：， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$