第27章 小专题10 与圆的切线有关的计算与证明-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（华东师大版）

小专题10 与圆的切线有关的计算与证明 题型1切线的性质 +可活指身++++++++++++++一 当已知圆的切线和切点时，通常需要连 接圆心和切点，得到切线与半径垂直。 (1)求证：AE=BF; 1.(2024·临夏州)如图，直线1与⊙O相切于点 (2)若AE=4,AC=8,求两个绳柄之间的距 D,AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点 离AB. E,延长AB交直线L于点C. (1)求证：AD平分∠CAE; (2)如果BC=1,DC=3,求⊙O的半径 3.【传统文化】(2022·河南)为弘扬民族传统体 育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校 运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆 组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究， 2.【传统文化】(2023·商丘柘城县三模)抖空竹 如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点 在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文 C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点 化遗产之一.为弘扬传统文化，某校将抖空竹 O,A,B,C,D在同一平面内.当推杆AB与铁 列入了体育课程.在学习了圆之后，数学兴趣 环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B 小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图 传递到铁环上，会有较好的启动效果， 如图所示.已知绳AC,BD分别与空竹⊙O相 切于点C,D,且AC=BD,连结左右两个绳柄 B A,B,AB经过圆心O,交⊙O于点E,F. 55数·九年领下 HS (1)求证：∠BOC+∠BAD=90°： (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区 的值 域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B 是该区域内最低位置，此时点A距地面的 距离AD最小，测得cOs∠BAD=号.已知 铁环⊙O的半径为25cm,推杆AB的长 为75cm,求此时AD的长. 5.(2024·南阳桐柏县二模)如图，AB为⊙O的 直径，C,D是⊙O上不同于A,B的两点， ∠ABD=2∠BAC,连结CD,过点C作CE⊥ DB,交DB的延长线于点E,延长CE交AB 的延长线于点F (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)当BD=6,sinF=3时，求EF的长。 5 题型2切线的性质与判定的综合 厅法指号 涉及证明圆的切线时，一般有以下两种 情况：(1)连半径，证垂直，得切线：(2)作垂 直，证半径，得切线 +++++++++++++++++++++十 4.(2024·武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点 D,底边BC与半圆O交于E,F两点. (1)求证：AB与半圆O相切； HS 56为圆0作8A,使B,C,D兰是中系少有一个点在园有：几雨 ,∠AFB-旷，∠AFD='4D求=√不一AF 7都：这个看佩的知胞制为号××12：一2，（每，设账有国 少有一点在园并，回A的率径r的泉植能盟品3< 0m中.：0-西m,om∠p-器-a∠A =V23-=x,片∠&AD=∠AFD=',inD 的率径券rm:周2=2，解料r一.放这个满博的高为 1辰解，(1山尺观作电△AC中任意焉边的重直平分度：实干 船-部-青-2山-AD-4反西@0的木为 a-maw-mr-m √/-=B5ml. O息：位0为图心：0n华身卡径附且可0，⊙0每为所建作 5m号∠0CD-∠ADC-∠CFE-,图n思CDEF为 于A-4 服形.，DE=C下=ien.AD=AE+E0= 级解(11根影随道，周懂的粉城长为V(往护+护一3m镜 米。有△，A好中，肩约婴定理，得=1D来.△A以 4解，1U延圆，通接OD,04.待C出1AB于是H.:△AC为 1k27 货圆童的领图器背国的膜心角站度教为名产-2刘 外接简的率教为1来.六小明家圆形花基的面和为：平 等题三角思，D是毫诗C的中或，0上C,0平分 第2承时材底关尾理和三角帮的内切图 ∠CVC4⊙O粗W于点D,D1A4 OH LAB, 1B2D3°4.1 .0H=CD,露QH为半园0的半轻AN号单周01期 是1（团拔司原的嘉题和我×X工十X一 17.2/石-4 长解.2两心为O,雀错从，QP,,三作服有一个极角为”，， 2)由1》eC0⊥AC,卷R△0CD中，CD=4,0C=0F+ 27.1.2直辑与图的位置关系 交A1同.A11,5 CO=60又号PM与⊙0相0.∠0PA=0. C下=0D+,0+C=GC,∴00+=(00+'. 1,B2B3,A4白5，C《用离 2解们位国笔厘首竿经有？，军线长为4由是夏，知 704 T,解建点C作D⊥An,系足为D,仁A8-4m,C-2: ∠A-.,PA=s,二Q=D,p=5n, 0-3.-,aC-是-千在k△A中，mC 灯一以媚11一？11，二圆维曲每修长与厘自半径之比为 线的径为5 AC=星有m又5=■方AB"D=三B·C: %-aac-- 日·1.)由道立，如2+35=P.肥=2，代人，第特 n=一3（鲁去》，n=去.园验的简面积为r cD-F-5匹1-L4m时，用高：r后m 装解.酸墨切投长定理，两AE=AF,&F=D,CECO度AF 系解，1》E明，盛结0：0M=0元，∠GMC=∠0CA lia cn'. =AEn:期CE=CD场一m:BF=RD(l8 ￥∠K0=∠QMC+∠CA,,∠0C=t∠0MG.'∠A0 时-相相同=：m时，相交 m.VBC-2线m:品(B-十(2-=2张解每士=& -t∠nAC,∠AB-∠oC∴OCND0 CELDE.日 k解：(1)忙∠BAC=,AB=CAH⊥BCG=4方， iUF=4m:B0-mCE=18n 0CLCF义：0C是⊙0曲￥径，CF是⊙0的切.)酒 ∠AHB=:∠B=3r.BH=2,万，在RAAHB中，mB= 情AD,An是⊙0的直登，∠AD加=0.，减L市， 品-要AH-2”@AHA为周心为半垫A 14证明，(1小连销0E,0近.100的对线，∠01D A∠D-2Rm∠A0-F-- 1 '.M=D2,D1=E.00-0D,△0@△B0 =5 -2.AH1BG,直线⊙A相切. 5s.i∠04D=∠0fD=.01CD.又"Ge是 六A-号0-a六0Aa-0cL,h-得 免相切凌橙交象41.AB01法.相奖 @0的卡择，D是②O第切碱.2)莲结C“AM,&V, 1A解.(1作0D8AC,受C于点D."∠C=:∠A=, 化是@0俏r线，∴∠OMD-∠C=∠D取)=∠(' -毫，iaf-贡0C-字.P=0w-w=里YCE1 ∠00B=9g',∠D04='.0=0=2,am- ,E=言，如平数∠ADE,X平分∠上，AM8 mN,二∠ADg4∠家=11，∠减+∠x■ B,m一带-子六E子8F-么在B△BE巾，由为 g,当>兰，©0与直程C,生< (∠AE+∠xE)-×-T.义"∠0BE+ 吸完理：博球√一旺头 46tm,45,=t-40g十4E46门. ∠E-W,∠OCE=∠D0思△DE0n△OEC 21.3圆中的计算问题 小寿题1【四种方法零图中阴影韩分的面积 时，若@0与直线C相宽 第1课时低天身角形的面和 1C1,B人40Fm48年天第60BA 1,2104于停4+岁《Ψ 14解，(1)⊙P与直目a=2相m,一2}=3，厚x一2 CE. 1线135 士1六4一8域一一1二点严的第标为，号)装 399an.3m2平h->法A1a.C 叠+婆C取要8山骨-2- 小专题10与圆的切线有关的计算与证明 27.4正多边形和图 (一1，一子)：粉作⊙P与直线：=3图义时，的取值瓦面 1解.(1)证制：道塘C0:直线蜂⊙0相切于点D,.D 14手+号5+ L II ZC JC 4N SA 6 B 7.A LD 9A 1话解，《1)正明：连雄0D在△0BD和△0C中， 为一1C5,当0护与直线=：利离脱：的泉值道棚为 LYAEI,-∠OC∠AEC=C0NAB.∠OD 1收期：因略 =∠EMD.F0M=CD,∠0DA=∠MD.∠0D BD-BC. 1L1B.2.A 15.H ∠EAD.AD平分∠CAB.2)日O8=r:渊OD=r,OC=r 00-0用，△8D9△0CSss1.·∠ODB-∠eB 15解，辆续，(1D日D为图心，0礼=2m为举经同：2以0 +t,∠C-s0W+CD=,+=+ O0-OC. 2T,2,3切线 高为顶离，M为一道作∠5=：再假我作∠飘C →，厚0DLA队翼00贵⊙D的半径，÷AB是8O等 第1保时线的判定与性情 ∠D=∠-71“，分网与交于点H,G,D,F4(1分州 生解.(1》E雨：莲情0C,0,AC,B0分期4⊙0相督于点 相线()”∠C0B-0W,÷∠004-量⊙0的年轻券 1D玉.CAC=(荐米不难…)31M 直精A,C,D,D球，EA则王五道廖AD度是所要 C,∠00=∠DD=整△0程△D0中， 4延明，BC平分∠AD,∠08C=∠DBC.YO8=CC 周简正五边形：()位次睛AC,A0,BD,BE,CE.量满出 AC-BO. (x+-2中4.解精-1，.D=0℃=1，M=2 ∠0C=∠OC&∠D-∠OC&400D.B01 了所要的金角星 ∠MCO=∠BD0,△ACD2△BDO9A).A=B CDC⊥0足”高C为g0上一真，CD为@0的相 14解，连信0州.C,0.“等也过扇形AC内接十⊙0，① 1 义0=0iAE=BP.2)段Ce=OC=,则0=r士 为内接至十二诗君情边，4∠C=宁×一1 5406.492.4”8C △0nc.∠00F-∠0-x1r-60-G .春心A0中，出匈量定理.料十4)=十，解得王 发证明，连体0：D品0的制国：六∠C=,等 =6,二A0=10二An=的，二两十绳之的离A为 的长为1-于 ∠0D-位×1o-1∠C00-∠x-∠0D- 30 ∠+∠ODB-0w,”AB是00的直，i∠ADB .∠A+∠(D=了，￥0=出.∠心路=∠B以 17解，1》M明，”∠k8-∠0=灯'.i∠MG十∠边 A解：（们）E用：益点作EF0D,身则义AD于点5，夏 ∠A=∠HDC =∠0+∠A0i∠AC=∠B0莫“A0=0,O 于点F.”CDB0相切.∠0D=VAD上CD, ×号-5(m,即回0尚半径R-5m -.△A△D(AS).AC=H(2)那 1aD11.e12.8T13.9<214.8度4万 ∠ADC-0.EF多CD,∠OF=∠AEBr 15,■：1》连格从，（流，F正三角卷AC内接T8AB 15解(1DE明，FE=日E,∠A8F=∠A∠CAD+ ∠B0C+∠08F-,∠ABE+∠BD-w.AB为⊙O C,∠0MM-∠0HN=0,∠A0用-1r,M-0'M ∠&AE+∠DM+∠ABF=IBo,A∠AD=∠CDM: 的膜，∠0Hn=∠0用F+∠ABE=.∠08F 2∠CAD+2∠nE=1oW.i∠CAD+∠AE=, =∠&A队∠BQC+∠&AD=',2)在R△MRE中，H 道-0，解得0C-1角整金去.4-1 =CW,.AM=IN.,△AOM@△B0N(As).∠AOM 4 =∠BN.六∠AOM+∠aN=∠BDN+∠O,■ ∠A8=,又“01是00的平量，AD是00的切牌. 第2课时园修的侧面果开西 2)连苗P行-，iAF=8E-4.“AB是@0的有 -5m6∠D--子AE-6m在 L H 2C 3 A AA SC 4.B ∠0-∠IN=.24*管（∠0w-E 用再下+年理