八年级数学月考卷（青岛版，测试范围：八年级下册第6章～第7章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版八年级下册 第6章~第7章。 5．难度系数：0.73。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数：，0，，，，0.101001000100001，中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在下列结论中，正确的是（　　） A． B．x2的算术平方根是x C．﹣x2一定没有平方根 D．的平方根是 3．一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9，内壁高为12，若铅笔的长为20，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．对于实数p，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：．现对72进行如下操作：72，即对72只需进行3次换作后变为2，类似的，对120只需进行（　　）次操作后变为2． A．1 B．2 C．3 D．4 5．的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 6．若与是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．或1 7．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OE的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 9．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与点、重合.过作于，于，连，则的最小值等于（    ）.    A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 10．如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论：①①；②四边形为平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形．其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．的平方根是 ． 12．已知两点在同一条数轴上，点对应的数为，点对应的数为，以为边作正方形，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴的交点对应的数为 ． 13．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 14．如图，在某游乐园的平面示意图上建立平面直角坐标系，游乐园的入口位于坐标原点O，观鱼台位于点，从观鱼台出发沿射线方向前行到达民俗园B，从民俗园B向右转后直行到达动物园C，则点C的坐标是 ． 15．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 16．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．    三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的平方根． 18．（10分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？    19．（10分）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形． (1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点B，连接，得到，三边分别为a，b，c，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． (2)一个零件的形状如3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：）如图③所示，这个零件符合要求吗？ 20．（10分）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． 21．（10分）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．    22．（12分）如图，在四边形中，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)__________，__________（分别用含有t的式子表示）； (2)当四边形的面积与四边形面积相等时，求出t的值； (3)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出t的值． 23．（12分）问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 1 ． ______________ 1 2 ． ______________ 1 3 ． ______________ 1 4 ． ______________ 1 5 ． ______________ 1 6 ． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 1 7 ． （ 8 分） ) ( 18．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（ 10 分） 20．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 2 3 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 2024-2025 学年八年级数学下学期第一次月考卷 答题卡 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15．______________ 16． 三、解答题（本题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8 分） 18．（10 分） 19．（10 分） 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12 分） 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版八年级下册 第6章~第7章。 5．难度系数：0.73。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数：，0，，，，0.101001000100001，中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：， 则无理数有，共2个， 故选：A． 2．在下列结论中，正确的是（　　） A． B．x2的算术平方根是x C．﹣x2一定没有平方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】A选项：，故错误； B选项：当x为负数时，它的算术平方根为-x，故错误； C选项：-x2，当x=0时，平方根为0，故错误； D选项：的平方根是，正确； 故选：D. 3．一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9，内壁高为12，若铅笔的长为20，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 这只铅笔露在笔筒外面的最小长度为：， 当铅笔垂直于底面放置时，这只铅笔露在笔筒外面的长度为：，即这只铅笔露在笔筒外面的长度不超过， 这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是， 故选：A． 4．对于实数p，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：．现对72进行如下操作：72，即对72只需进行3次换作后变为2，类似的，对120只需进行（　　）次操作后变为2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：，即，，即， 120， 对120只需3次操作后变成2， 故选：C． 5．的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 6．若与是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．或1 【答案】D 【详解】解：∵与是同一个数的平方根， ∴或， 解得：或． 故选：D． 7．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OE的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD=BD，BD⊥AC， ∴AC=8， ∵S菱形ABCD=AC×BD=24， ∴BD=6， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴OE=BD=3， 故选：B． 9．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与点、重合.过作于，于，连，则的最小值等于（    ）.    A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：连接，    四边形是菱形，，， ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ， 的最小值为4.8， 故选：B． 10．如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形．其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°， ∴∠ABE−∠ABF＝∠FBC−∠ABF，即∠CBA＝∠FBE， 在△ABC和△EBF中， ， ∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF＝AC， 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD＝AD＝AC， ∴EF＝AD＝DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF＝AB＝AE＝DF， ∴四边形AEFD是平行四边形； ∴∠FEA＝∠ADF， ∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF， 在△FEB和△CDF中，， ∴△EBF≌△DFC（SAS），故①正确， ∴EB＝DF，EF＝DC． ∵△ACD和△ABE为等边三角形， ∴AD＝DC，AE＝BE， ∴AD＝EF，AE＝DF ∴四边形AEFD是平行四边形；故②正确， 若AB＝AC，则AE＝AD，四边形AEFD是菱形此， 故△ABC满足AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；故③正确； 若∠BAC＝90°，则平行四边形AEFD是矩形； 由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD＝90°时，可得平行四边形AEFD是矩形， ∴∠BAC＝360°−60°−60°−90°＝150°， 即△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AEFD是矩形； ∴∠BAC＝90°，四边形AEFD不是矩形；故④错误， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．的平方根是 ． 【答案】±2 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为：±2． 12．已知两点在同一条数轴上，点对应的数为，点对应的数为，以为边作正方形，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴的交点对应的数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点表示的数为：，点表示的数为， 故答案为：或 ． 13．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 14．如图，在某游乐园的平面示意图上建立平面直角坐标系，游乐园的入口位于坐标原点O，观鱼台位于点，从观鱼台出发沿射线方向前行到达民俗园B，从民俗园B向右转后直行到达动物园C，则点C的坐标是 ． 【答案】 【详解】连接， ∵点 ∴，， ∴ 由题意得，， 在和中 ∴ ∴ ∵B、O在一条直线上， ∴C，A，D也在一条直线上， ∴，则， ∴C点坐标为． 故答案为：． 15．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 16．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．    【答案】①②③④ 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 三．解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的平方根． 【详解】∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，，（2分） 解得，，（4分） ∵c是的整数部分， ∴．（6分） ∴，（7分） ∴4的平方根是．（8分） 18．（10分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？    【详解】解：设墙高为米，则米，米．（2分） 在中，根据勾股定理，得．（3分） 在中，根据勾股定理，得．（4分） ∵， ∴，即．（7分） 解得：． 答：墙的高度为3米．（10分） 19．（10分）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形． (1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点B，连接，得到，三边分别为a，b，c，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． (2)一个零件的形状如3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：）如图③所示，这个零件符合要求吗？ 【详解】（1）解：如图2，连接， ∵， ∴正方形的面积为， ∵，， ∴，，（2分） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积为：，（3分） ∵正方形的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）解：这个零件不符合要求．（6分） 理由如下：连接，如图， 由勾股定理逆定理知，只有当时，和都是直角，（7分） ∵，，，（9分） ∴， 所以和不可能都是直角．（10分） 因此，这个零件不符合要求． 20．（10分）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． 【详解】（1）证明：在中，是边的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ，（3分） ，（5分） 四边形是平行四边形； （2）解：满足条件时四边形为菱形．（6分） 理由：若时，为等腰三角形， 为中线， ，（8分） 即， 四边形为菱形．（10分） 21．（10分）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．    【详解】解：[三角形中位线定理]，；（1分） 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，；（2分） [应用]连接，如图所示，   、分别是边、的中点， ，，（3分） ， ，， ，， ， ， ；（6分） [拓展]证明：取的中点，连接、．   、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且．（7分） ， ， ，， ，， ， ， ．（10分） 22．（12分）如图，在四边形中，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)__________，__________（分别用含有t的式子表示）； (2)当四边形的面积与四边形面积相等时，求出t的值； (3)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出t的值． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，．（2分） （2）解：∵，，， ∴，，（3分） 设点A到的距离为， 由题意知，，即，（5分） 解得，；（6分） （3）解：由题意知，分四边形，，，是平行四边形4种情况求解； ①当四边形是平行四边形，则， ∴， 解得，；（7分） ②当四边形是平行四边形，则， ∴． 解得，；（8分） ③当四边形是平行四边形，则， ∴， 解得（舍去）；（9分） ④当四边形是平行四边形，则， ∴． ∴；（10分） 综上所述：当t的值为或3或时，点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．（12分） 23．（12分）问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【详解】（1）解：，且，（2分） 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，（3分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且；（4分） （2）解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，（6分） 又∵， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，（8分） ∴；（9分） （3）解：如图，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．（12分） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版八年级下册 第6章~第7章。 5．难度系数：0.73。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数：，0，，，，0.101001000100001，中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在下列结论中，正确的是（　　） A． B．x2的算术平方根是x C．﹣x2一定没有平方根 D．的平方根是 3．一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9，内壁高为12，若铅笔的长为20，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．对于实数p，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：．现对72进行如下操作：72，即对72只需进行3次换作后变为2，类似的，对120只需进行（　　）次操作后变为2． A．1 B．2 C．3 D．4 5．的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 6．若与是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．或1 7．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OE的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 9．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与点、重合.过作于，于，连，则的最小值等于（    ）.    A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 10．如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论：①①；②四边形为平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形．其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．的平方根是 ． 12．已知两点在同一条数轴上，点对应的数为，点对应的数为，以为边作正方形，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴的交点对应的数为 ． 13．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 14．如图，在某游乐园的平面示意图上建立平面直角坐标系，游乐园的入口位于坐标原点O，观鱼台位于点，从观鱼台出发沿射线方向前行到达民俗园B，从民俗园B向右转后直行到达动物园C，则点C的坐标是 ． 15．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 16．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．    三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的平方根． 18．（10分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？    19．（10分）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形． (1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点B，连接，得到，三边分别为a，b，c，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． (2)一个零件的形状如3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：）如图③所示，这个零件符合要求吗？ 20．（10分）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． 21．（10分）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．    22．（12分）如图，在四边形中，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)__________，__________（分别用含有t的式子表示）； (2)当四边形的面积与四边形面积相等时，求出t的值； (3)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出t的值． 23．（12分）问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D A C D D A B B C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．±2 12． 13．m 14．(600,-1800) 15．正方形 16．①②③④ 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分） 【详解】∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，，（2分） 解得，，（4分） ∵c是的整数部分， ∴．（6分） ∴，（7分） ∴4的平方根是．（8分） 18．（10分） 【详解】解：设墙高为米，则米，米．（2分） 在中，根据勾股定理，得．（3分） 在中，根据勾股定理，得．（4分） ∵， ∴，即．（7分） 解得：． 答：墙的高度为3米．（10分） 19．（10分） 【详解】（1）解：如图2，连接， ∵， ∴正方形的面积为， ∵，， ∴，，（2分） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积为：，（3分） ∵正方形的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）解：这个零件不符合要求．（6分） 理由如下：连接，如图， 由勾股定理逆定理知，只有当时，和都是直角，（7分） ∵，，，（9分） ∴， 所以和不可能都是直角．（10分） 因此，这个零件不符合要求． 20．（10分） 【详解】（1）证明：在中，是边的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ，（3分） ，（5分） 四边形是平行四边形； （2）解：满足条件时四边形为菱形．（6分） 理由：若时，为等腰三角形， 为中线， ，（8分） 即， 四边形为菱形．（10分） 21．（10分） 【详解】解：[三角形中位线定理]，；（1分） 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，；（2分） [应用]连接，如图所示，   、分别是边、的中点， ，，（3分） ， ，， ，， ， ， ；（6分） [拓展]证明：取的中点，连接、．   、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且．（7分） ， ， ，， ，， ， ， ．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，．（2分） （2）解：∵，，， ∴，，（3分） 设点A到的距离为， 由题意知，，即，（5分） 解得，；（6分） （3）解：由题意知，分四边形，，，是平行四边形4种情况求解； ①当四边形是平行四边形，则， ∴， 解得，；（7分） ②当四边形是平行四边形，则， ∴． 解得，；（8分） ③当四边形是平行四边形，则， ∴， 解得（舍去）；（9分） ④当四边形是平行四边形，则， ∴． ∴；（10分） 综上所述：当t的值为或3或时，点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．（12分） 23．（12分） 【详解】（1）解：，且，（2分） 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，（3分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且；（4分） （2）解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，（6分） 又∵， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，（8分） ∴；（9分） （3）解：如图，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．（12分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$