第24章 小专题（五）与圆的切线有关的性质与判定-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（沪科版）

小专题（五） 与圆的切线有关的性质与判定 类型1切线的性质 (2)若CF=42,DF=4,求⊙O的半径. 方活指身 运用切线的性质进行计算或证明时，常 作的辅助线有连接圆心、切点，利用垂直构造 直角三角形解决问题， 1.(2023·合肥模拟)如图，AB是半圆O的直 径，AC与半圆O相切于点A,BC交半圆O于 点D.若∠C=a,则∠ODC的度数为() A.180°-a B.180°-2a C.90°-a D.90°+a 5.(2023·合肥一模)如图1，AB为⊙O的直径， BC为弦，过圆心O作OD⊥BC于点D,点E 为AB延长线上一点，CE是⊙O的切线， (1)求证：∠BCE=∠BOD; 第1题图 第2题图 (2)如图2，取AC的中点P,连接OP,AP.若 2.(2023·北京)如图，OA是⊙O的半径，BC是 AB=13,BC=5,求弦PA的长 ⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切 线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC= 45°，BC=2,则线段AE的长为 3.如图，已知□OABC,⊙O 恰好经过B,C两点，且 图1 图2 与边AB相切于点B,延 长AO交⊙O于点D,连 接BD,OB,则∠AOB的度数为 4.(2024·合肥45中模拟)如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长 线上一点，连接CD,CF,且CF是⊙O的 切线. (1)求证：∠DCF=∠CAD: 38 名陵课生·新学，九年级下 HK 类型2切线的判定 (2)求证：AE是⊙O的切线. +可活指身+++++一 方法1：已知直线与圆的交点，则该点即 为切点，可连接切点与圆心，证明其与已知直 线垂直，筒记为“有切点，连半径，证垂直”， 6.如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4,点C在 线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接 CD,且CD=OA,OC=2√2.求证：CD是⊙O 的切线。 厅活指身++++一 方法2：未知直线与圆的交点，即切点未 知，则可以过圆心作与已知直线的垂线段，证 明垂线段的长度等于圆的半径，简记为“无切 点，作垂直，证半径” 8.(2024·毫州一模)如图，OA是⊙O的半径， 过点A作⊙O的切线AB,OC∥AB, ∠OBC=∠OBA. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若OC=3AB,求cosC的值. 7.(2024·蚌埠模拟)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB,E是以BD为直径的⊙O上一 点，且AE=AC,连接BE,DE,已知AD=1, AC=5. (1)求⊙0的周长； 名柱道 39理，WBC=形干=1Dm.+BE+D-BF十C 8D的直预，∴∠8ED=时，∠AsE十∠HDE=∠AD计 5组2r11.a+一b3.0c及 ABGG(SAS)(2)AAZGC- BC=10 em. ∠BDE=.00=E,∠BDE=∠OED,品∠CED+ 1解座接An,:PA,P法是80的辑线，二A=P,∠P ∠FA且，∠AHG=∠AB+∠AsH=∠GC十∠ABH Lh.9.h1,69cm112时 ∠AED=了，即∠A0-行，：AF⊥C军X,求是@0的 =.廿∠P=的'：△BP易第边三角市.片B=B= =∠ABC.YE五边思价内角为特”，：∠0-1g 1生蓬墙04,0P,烟M山PL粗避夏，得CA=CE,DE= 单：A2最⊙0的博线 m,∠P4=球，二∠AC=,C是®D的直径，二 14舞：（们延则：蓝接DE,,晋政念ACD是正方感，， DIIPA-PIL PC+CE+OF+PD-18 .PC+CA ∠ABD=∠DCE=∠CDO=4,AC1D,OBCD=OC +p+PD-PA+P-m队-X-m 线M⊥A且F∠B-∠H,M-深，F是00 ∠ae-,aAC-tnod'-x夏-直md. :EB=EA六∠PRD=∠EDB.V点P是AD的中点，日 物率整.六C是⊙0的日线.1)YAB,BC是⊙0曲线， 14解1(1》周毫：43)设△AC内切同的中径为，”在 PA.PB是⊙0的同线：i∠A-室∠APB- AN=nEAB8,.∠AD=∠G:∠A? R△AC中，∠A=g,A8=.AC=4,配=V+下= ∠a-CrD-∠AD-.∠-∠T ∠C,i∠BC-∠oBC.5C=OC-1AB.i +∠ED8=4时+8产=T.,∠C0=-∠0CE =2A00+=(20,精0，即⊙0的 1n8=-AC·AB-是X8×6-,AB+AC+ -1g?6c-CE+E-C出+}giE-号c,ed -∠CDE=18r-46-67=7.5∠CED=∠B0C 率径为1行L 品石=CD,(2莲像DE,DP,四造ACD是E方形， 以期：日)FrA.P0老⊙0第暂我，∴∠AP=0-∠1一 贤最÷ ,∠&AD=∠EOD=,CA=G0:∠P=∠AD=. N',PA=P且.÷∠HAP=∠A8P=0.∠AP=18灯'- C+C门=字4◆24=2.80的为=4.年0 4.5三角形的内切圆 的置明为红 HPE=OE,DE=DE,R1△PDE9R1△ODE(HL1. ×2-4.〔)当∠1=3时，0P=0.厘由：∠1 ∠PDE=∠C0E自IB知，∠P8D=∠CDE,∠PBO ,由1)年CAP=∠AP=,∠A=1=0 1.B 1k解aI)E明：莲覆C,VGD=DE,0C-0A,∠DCE 1期：周略 ×-间.rA,PI是@0羽销线.∠0rm-子∠Ar因 ∠r,∠xA-∠MG'BLAD.∴∠AD毫-.∠OG =∠ODE=∠PDE.Y∠PD+∠ODE+∠POE=r: &D4C支Bs.4 十∠E=0.∠A十∠CE=∠0=0. +∠0E-r.m∠00E=r-带-号00 =片，X:∠D-∠AP-∠1-r=3,∠P 1.期：直是0E,CF.世AB,AC分则是8O的有线.∠ABO CC⊥C0母回D的课径，CD是⊙0的对线()￥ =∠L.F=. CA=,∠A十∠F=1,:∠a球=1∠DF= QJOE AE-0A-0E(-1)0E.ECOE+OC 14D ∠E-∠E在△mA中-m∠-能 ',∠A18一∠5F=. 小专题[五】与医的切城有美的性质与判定 系解：连装A”0是△A配等内切属，∴A山=A5,动= 2金②0的平垫为x.州04用=，，D=1,0= -+aE祭-品后 BF CP-CE.YAB-AC..d.BF +AD-+h.密-2，E-+}-GDem 第1谣削正多地形的性周 1,D玉2人4 本斯：（们1望啊连接C”AD是⊙0的直轻，∠MD=6矿， -室×0-A上Cǎ-√→-位.六 1,C2C3,e4.AAs.C765241,2+1 ∠CD+∠0CA=的'.CF量⊙0的回性，i∠0F △0c3中，0C+-0,+(+)-+1, T.甲∠DCF+∠0cD-.+∠OCA-∠OCF.YOC 8w-子BC+AF=于×10×H-标.经80的率经是r 1a,金图，是是∠s-平-， 解得一子发一子合>，六@0情学经为号 ∠B=0星B=2m:DB M,∠CAD=∠Ai∠y-∠Cn()AIW 期号×13十口+)-知，解料一号六⊙0的卡降为 4.6正多边形与四 10m.在△C8动中，国求月0D=修可 ∠事=，+P,二442)'= 第1课时至多边形与圆 0+4'.解得0C-2⊙0的卡径为2 m(8-的m5n-656au-6x十×如X1行 期1》E期，连慧C,:CE是80的切烧，0C⊥CE 系115分1aC1,5以2 =053,正大边形青月画周长为2x·0 ∠《风堂=0，∠O出+∠E-B,汇=溶，品∠u 1断用“A-K--觉=EA.A-C-D-正 1及解，⊙与x,3轴，直线AB分别相冒于我D:E,C BA.C2-CA-DEr-2AC-ABi∠A-∠B-∠C 0:m正六边患外接间直积为▣·0F一0间e, =∠09CO0L6C,H∠B0D+∠0B=d.∠GEw AD-AC,BC-50=0思"点1静h棕为(-1.一1) =D=∠E五边形ACOE是正五边题. 1.C30目.C4D4 ∠B连接AC交0硬T点严，”AI是@0的直径， 点B的学标为0，-0,3=E=1a进=4，hE-C- 米解率题答麦不厘一，期.心△ADE是直角三作形：意AD是正 1核延期：直接N垂直平分理，W=M)又幻 ∠A=.0=N5度=下一了=2.号P为 生.度AC=AD=,题0M=于+1，ABmx+&,0M'+OF 大速米AnD原外接园的直是：SAD产C这若 =0w,10=0明=Mn,里△an为等道三作形 C的中a0球1MC+AF=CP=k0F=号C-昌 =伊，x+1y+=4a+a,都得-24(=3,4 象，解，西然，1)以0为周0,4-2m为单径西画，2反0有 设直线山的表达过为，一山卡：仁一， ∠浴-，∠MC-1."08-要-o PF-Ow-W-兰-是-t查△MPF中，P 为点，世为一边∠A从格=，再用∠ ∠003=∠D0E=2,#到与30坐于点B.C,D,E,(3)4 ∠C-晋-，B,城分到是⊙0店复正大边君 和+==2 银A,BC,CD,D求，EA,则五边形ACOE量是斯要的E 和正十二店肠的边长 蚁明连推0D由限意.将中-0D-04-子-，不 -4. 五边彩如图D:(装次座接AC,A.D,形，E铁两出 1T.超明：I1F玉边释AD堂是E室边用，D是=C,∠包 2E,0W+T-+r=(t8y=0.h0CD为等 1A解，(11罐期，选接HE二直芒地△C的内..∠Ag 「要作的角线和要求的五角用) -∠B-∠AC-1e,∠AC-1rA-G 厘直角三角廖，∠00G=行00⊥Cm又，0D是⊙0的 =∠C8E:∠&AD=∠CALN∠CAD=∠DBC.a∠&AD i∠Bn=T.∠D+∠BCA=B.品EAC同理可 单径，D是⊙0的相M =∠D0C∠DN5=∠D0C+∠EC=∠AE+∠AD 证DCg纪六m边愿DE为平行腾功用，又片DE= 1.解.(1)CD⊥AB,∠C=,H∠B=r, =∠BE.D址=u球.C∠C-∠MH:∠D=∠D, DC,国功易EW母簧形，2)是E∠AC=∠AEB= ∠A-∠Am,X:∠CAp=∠nAC,a△ACp△AC △an△M点器-篇世-Ad:时，w ∴是-箭“A0-1c-…吉 -1.AF-5...AD-DWAy-D-8X]-E. I.C 12 E,r∠AM∠A△An△mA-能 D-A-ADDE- 1A，(1明：：五边形A边是正直造形，=C 品AF=BE·BM.由1，再∠EAM=Y,∠MA=8 =AB一A0=《六⊙0情周民为4元)蓝明：适接E,由 1线2 CD,∠A=∠B监：F,G分刷是C,CD的中真， -'一Y=.ME=AEA&ME=BE,M,素 D,架-焉AE-AM6“架-答x∠D正 周测24421.9) ABC 是蚁段B尼给奇金计制及 ∠EAB,△ADEO△AE&∠AED=∠ABR.YBD是 1.C2D表A4.C4.A5G4,D7.2fR可 =CG.在AMBF刚△O中，∠A8F∠OU,4△AF 1m1415214 BF-00+ 11