24.2 圆的基本性质-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（沪科版）

24.2圆的基本性质 第1课时圆的相关概念及点与圆的位置关系 论？请说明理由 基础题 知识点1圆的相关概念 1.如图，在⊙O中，弦有 ,直径是 ，优弧有 ,劣弧有 知识点2点与圆的位置关系 7.已知⊙O的半径为4，一点P到圆心O的距离 为3，则点P在 ( 第1题图 第3题图 A.圆内 B.圆上 2.已知⊙O中最长的弦为8cm,则⊙O的半径 C.圆外 D.无法确定 为 cm. 8.(2023·合肥包河区期末)已知点A是⊙O外 3.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则 一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为 ∠MON的度数为 () 4.下列说法中，不正确的是 ( A.2 B.4 C.6 D.8 A.直径是弦 9.已知⊙O的直径为10cm,⊙O所在的平面内 B.半径确定了，圆就确定了 有一点P.当PO 5cm时，点P在⊙O C.在同圆或等圆中，圆上的点到圆心的距离 上：当PO 5cm时，点P在⊙O内；当 都相等 PO 5cm时，点P在⊙O外.（填“>” D.同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 “<”或“=”) 5.孙老师上数学课时忘记带圆规，但他手里有一 10.如图，已知在△ABC中，AC=3,BC=4, 根小细绳，你能帮他在黑板上画一个圆吗？并 ∠C=90°，以点C为圆心作⊙C,半径为r. 说明理由。 (1)当r在什么范围时，点A,B在⊙C外？ (2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在 ⊙C外？ ■ 。易错点点的位置考虑不全导致漏解 6.如图，在同一个圆中，比较直径AB与任意一 11.一个点到圆上的最小距离为6cm,最大距离 条不过圆心的弦CD的长短，你会得到什么结 为9cm,则该圆的半径的长为 14名经成堂：数·九年短 17.如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC,OD分 B中档题一 别交AB于点E,F,且AE=BF,请写出线段 12.已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径 OE与OF的数量关系，并给予证明. 的圆，点M的坐标为（一3,4），则点M与⊙O 的位置关系为 () A.点M在⊙O上 B.点M在⊙O内 C.点M在⊙O外 D.点M在⊙O右上方 13.如图，AB是⊙O的直径，点D,C在⊙O上 AD∥OC,∠DAB=6O°，连接AC,则∠DAC= A.15 B.309 C.45 D.60° 综合题一 第13题图 第15题图 18.【新定义问题】如图1，⊙O的半径为r(r> 14.下列命题，其中正确的有 ( O),若点P在射线OP上，满足OP'·OP= ①两个端点能够重合的弧是等弧：②面积相 2,则称点P是点P关于⊙O的“反演点”. 等的两个圆是等圆：③弦是圆上任意两点之 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上， 间的部分：④同圆或等圆中，劣弧比优弧短. ∠BOA=60°，OA=8.若点A',B分别是点 A.1个 B.2个 A,B关于⊙O的反演点，求A'B'的长 C.3个 D.4个 15.如图，点A,D,G,M在半圆O上，四边形 ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC= a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是 图1 图2 ( A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a=6=c 16.如图，数轴上半径为1的半圆O从原点开始 以每秒1个单位长度的速度向右运动，同 时，距原点右边7个单位长度有一点P以每 秒2个单位长度的速度向左运动，经过 秒后，点P在⊙O上. 0 01 e。15 第2课时垂径分弦 6.如图，将半径为2cm的圆形 基础题 纸片折叠后，圆弧恰好经过 知识点1圆的对称性 圆心O,则折痕AB的长为 1.下列说法：①圆是轴对称图形：②圆有无数条 对称轴：③圆的任意一条直径都是圆的对称 7.如图所示，在⊙O中，AB,CD为两条弦，且 轴：④圆所在平面内任意一条经过圆心的直 AB∥CD,直径MN经过AB的中点E,交CD 线都是圆的对称轴.其中正确的有( 于点F,试问：点F是CD的中点吗？ A.1个B.2个 C.3个 D.4个 知识点2垂径定理及其推论 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不成立的是 () A.CM=DM B.CB=BD C.AC=AD D.OM=MD 知识点3垂径定理的实际应用 第2题图 第3题图 8.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的 3.(2024·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为 直径为10，水面宽AB=8,则截面圆心O到 8,圆心O到AB的距离OE=4,则⊙O的半 水面的距离OC的长为 ( 径长为 ) A.4 B.3 A.4 B.4√2 C.5 D.52 C.2 4.(2024·新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是 ⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E.若CD=8, D.1 OD=5,则BE的长为 () 9.【情境素材题】（教材P16例3变式）被誉为 A.1 B.2 C.3 D.4 “中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美 丽的圆弧形石拱桥（如图），已知桥拱的顶部C 距水面的距离CD为2.7m,桥拱所在的圆的 半径OC为1.5m,则水面AB的宽度是 第4题图 第5断图 A.1.8m 5.如图，在⊙O中，C是弦AB的中点，且AC B.1.6m 2,连接OC,线段OC的长为2，则∠AOC的度 C.1.2m 数为 D.0.9m 16 名校速堂·版子·九年短 易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不 15.【方程思想】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ 是直径” AB于点E,连接AD,过点O作OF⊥AD于 10.下列说法正确的是 ( 点F.若CD=6,BE=1,求△AOF的面积 A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但 不一定过圆心 C.过弦的中点的直径垂直于弦 D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦 B中档题一 11.(教材P17练习T2变式)如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C,D两点，AB=10cm,CD=6cm,则AC的 长为 () 综合题一 A.1 cm B.2 cm C.1.5 cm D.0.5 cm 16.【传统文化】(2019·安徽)筒车是我国古代 发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学 家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒 车的工作原理.如图2，简车盛水桶的运行轨 迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面 上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米， 第11题图 第14题图 ∠OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高 12.(2022·安徽)已知⊙O的半径为7，AB是 点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB ⊙O的弦，点P在弦AB上.若PA=4, 所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈ PB=6,则OP= () 0.66,cos41.3°≈0.75，tan41.3≈0.88) A./14B.4C.23 D.5 13.(教材P16例3变式)(2023·广西)赵州桥 是当今世界上建造最早，保存最完整的中国 水面 用用链 古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧 形，跨度约为37m,拱高约为7m,则赵州桥 图I 图2 主桥拱半径R约为 37m 47m A.20mB.28mC.35m D.40m 14.如图，在⊙O中，弦AB=4,点C在AB上移 动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点 D,则CD的最大值为 .17 第3课时圆心角、孤、弦、弦心距间关系 6.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE, 4基础题 ∠COD=35°，则∠BOE= 知识点1圆心角 7.(教材P20例6变式)如图，AB,CD是⊙O的 1.下面四个图中的角，是圆心角的是 直径，弦CE∥AB,AC的度数为70°，则 ∠EOC= A B 2.如图，已知AB为⊙O的直 径，点D为半圆周上的一点， 且AD所对圆心角的度数是 第7题图 第8题图 BD所对圆心角度数的2倍，则 8.如图，在⊙0中，AB=AC,且∠A=40°，则 圆心角∠BOD= ∠C= 3.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB 9.下列说法正确的是 所对的圆心角的度数是 A.相等的圆心角所对的弦相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.等弧所对的弦相等 D.相等的弦所对的圆心角相等 B 10.如图，M,N分别为⊙O中两条不平行弦AB 第3题图 第4题图 和CD的中点，且AB=CD.求证：∠AMN= 4.(本课时T3变式)如图，弦AB所对的圆心角 ∠CNM. 是90°，且AB=62,则该圆的半径的长为 知识点2圆心角、弧、弦、弦心距间关系 5.如图，AB,CD是⊙O的两条弦 (1)若∠AOB=∠COD,则AB= =CD; (2)若AB=CD,则∠AOB= =CD; (3)若AB=CD,则∠AOB= AB= 第5题图 第6题图 18 名校读堂·数子·九年极可 易错点对圆中的有关线段的关系运用不当 (2)若AB=45,BC=8,求半径OA的长. 而致错 11.如图，在⊙O中，AB=2CD,试判断AB与 2CD的大小关系，并说明理由. 解：，在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的 弦相等， ∴.当AB=2CD时，AB=2CD. 以上解答是否正确？若不正确，请改正， D C综合题 15.(教材P19例5变式)如图1，PC是⊙O的直 B中档题一 径，PA与PB是弦，且∠APC=∠BPC. (1)求证：PA=PB; 12.(教材P26习题T12变式)如图，在Rt△ABC (2)如果点P由圆上运动到圆外，PC过圆 中，∠ACB=90°，∠A=26°，以点C为圆心， 心，如图2，是否仍有PA=PB?为什么？ BC为半径的圆分别交AB,AC于点D,E, (3)如图3，如果点P由圆上运动到圆内，那 则BD的度数为 () 么PA=PB是否仍然成立？不用说明理由. A.26°B.64 C.52 D.128 图1 图2 图3 第12题图 第13题图 13.如图，在⊙O中，已知弦AB=DE,OC⊥AB, OF⊥DE,垂足分别为C,F,则下列说法： ①∠DOE=∠AOB:②AB=DE:③OF=OC: ④AC=EF.其中正确的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 14.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB AC. (1)求证：AO平分∠BAC: 第4课时 圆的确定 5.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐 4基础题 标分别为(1,4)，(5,4)，(1，-2)，则△ABC的 知识点1确定圆的条件 外心坐标是 1.如图，已知平面内有A,B,C三个点，过点A A.(2,3) 作圆能作 个；过A,B两点作圆，圆心 B.(3,2) 应在 上，这样的圆 C.(1.3) 有 个：过B,C两点作圆，圆心应在 D.(3,1) 上：若过A,B,C三 6.若一个三角形的外心在三角形的内部，则此 点作圆.圆心为 三角形为 三角形：若外心在三角形 ,半径也能确 的一条边上，则此三角形为 三角形： 定，这样的圆有 个 若外心在三角形的外部，则此三角形为 三角形. 7.已知直角三角形的两条直角边分别为5cm, g 12cm,则该三角形的外接圆半径为 2.下列条件中，只能确定一个圆的是() 8.如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口 A.过定点A A,B,C,这三个洞口不在同一条直线上，请问 B.过定点A,B,且半径为R 这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾 C.过不在同一直线上的三点 及三个洞口？找出这个位置， D.过不在同一直线上的四点 知识点2三角形的外接圆 3.(教材P24练习T1变式)如图，△ABC的三 B c 个顶点都在⊙O上，则下列说法错误的是 r A.⊙O是△ABC的外接圆 B.点O是△ABC角平分线的 交点 C.OA=OB=OC 知识点3反证法 D.⊙O的内接三角形有无数个 9.如图，直线AB,CD相交，求 4.下列关于三角形的外心说法正确的是( 证：AB,CD只有一个交点. A.三个内角平分线的交点 证明：假设AB,CD相交于 B.三边垂直平分线的交点 两个交点O与O',那么过O,O两点就有两条 C.到三边的距离相等 直线，这与“ D.外心在三角形内 矛盾，所以假设不成立，则 20 名校课堂·监子·九年板 15.阅读下列文字，回答问题， B中档题 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠ 10.(教材P26习题T15变式)小明不慎把家里的 45°，则AC≠BC. 圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为 证明：假设AC=BC,因为∠A≠45°，∠C= 配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到 90°， 商店去的一块玻璃碎片应该是 ( ) 所以∠A卡∠B, A.第①块 B.第②块 所以AC≠BC.这与假设矛盾，所以AC≠ C.第③块 D.第④块 BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出 其证明的方法：若有错误，请予以纠正 ④ 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC 的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD 于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积 为 ( A.3π B.4π C.6x D.9π 12.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆.若 16.如图，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分 AB=3,则⊙O的半径是 ( ) 线交AB于点C,交弦AB于点D. (1)用尺规作图的方法作此残片所在圆的圆 A号 B.3 心（不写作法，保留作图痕迹）： C.3 D.2 (2)若AB=24,CD-8,求此残片所在圆的 半径 第12题图 第14题图 13.平面直角坐标系内的三个点A(1,0),B(0, -3),C(2,-3) 确定一个圆（填“能” 或“不能”) 14.（本课时T12变式)如图，在△ABC中， ∠B=30°，∠C=45°，AB=4cm.能够将 △ABC完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 cm, 名校置 n6n。21玉期(1)周醉.〔)满碎.(1调碎 等由箱帝，二△A(2△A,(西边帝A有D是美 第3液时图心角，理，压，结心题同关系 参考答案 4解，(1因神.2山日8，G,品C身国点的园对思的置职为1D s.由，△8位AA0D,Aa=ADUH-AD=达 1D3r3.w4.6系1CDA月2)∠00DA表 ×年-×号×生×4-×士×4×4-00初图略，点E的型 =0.国诗暴A0D是商形. (1∠C034.10d 第24章圆 24.2圆的基本性后 1.系0象.C 标(0：，郭常不喻一) 24.1规转 第1碳时圆的相关据念及点际刀的位置关系 1a明座接M,,:0为同0，，N分并为常AH,君制 点舞：(1D丽诗，2)西骑，(1)因骑 第1国时图彩的域转 1.AC.ABAB ABC.CAB AC.BC 3.4 4B 中A,OM4AB,ON LCD.A8=CDDM=ON.号 1D 长新)通略四围率，学 .解：■.在小雷婚一腐绵上一支和笔，特奶一编膜定在显框 ∠ON-∠OWY∠AMN-r-∠CMN.∠CNM- 1I点量3点0∠0减∠0（∠'0而 1,期.(1)圈骑.(2山调障.〔1)图蜂 上。手拿粉笔酸直属子烧翼室点在属后上西一图奉国得环 r'-∠GNM.∠N=∠GNM D4.BB6.目1.08.A.721n.kD10 k期()两暗：2)周路 1山：不E确，B<2CD理由：取AB的中点E,莲要AE,E, 个圆用由，圆可以看成星到定点的西商零千定长的所有 11.D1法刻1从r或1 :n-ICD.Ug-E-五AE-球=CAr+ 小专顺（二}整转性质的罐合运用 点集成的画感， 1k解：I1》f明：：∠CAF=∠AE.i∠AP十∠CAr BE-CD.YAE+BEAB,ABCNCD. 10a,7节表7548湖5.16037.5k8+9百 解：直径是园中最长的成，理由如下，连接《亡，O,侧目= ∠AE十∠CAE,界∠EAF=∠BMC廿W线厘AC绕或A 12C B.D 良精列AF第位置，二C=AF,在△AC阳△AF中， 矣AaB M+-C+有△D中，C+，AD 14解，(11E响，连接08X汇：i-众.立A8-AC又r0x (AB-AE 1L解置边形AC是是形，∴AD8DC-∠CBN=∠AD CD,车直整是调中最长的焦 =0期，M=M,,△Ama△A0C(S.,∠且4D- T,ARD到=G2 ∠AAC=∠EMF,△ABC2△AEF54S.AEF=BC 一5，山数醉的性两，棒市=Cr,∴∠C家=∠C一 ∠A口：M)平分∠且C2》f长M)交BC于点E,日 AC-AF. 75,∴∠=子一一=16，银装将角=了2 点作E⊥C于点E,则AB=EE-C 点A在⊙C角.直D在⊙C料， A当-AC,0平分∠HAC,iAR⊥，C--4在 2DYAB=E,∠ABC-45,∠BME=1好'-6”×2 .∠FAG-∠4F-对：△A9△4F,∠F 11.L青m凌2,5m1法A1线H4.B1长D 11解，(11边币H上是正方雨，情由如下，：△4E候 ∠C=.i∠C=∠FG十∠B='+2=74 162减号 01-r图0E-一土.由对最室理，厚O地-0E+BE, 点A霍通时针方州数桥矿每翼么A0F,Rt△AE IB /=(得一+.解海-反半提04容长为 R△ADE.+∠BAE=∠DMF,∠ALEB=∠AFD=H",AE 1下.解0Em形.正第.连接040&04.0B量⊙0前丰径， 第1覆时申心对棕与申心对称用怒 1解，(1E用，罐点行作(g⊥PL《LPB,象显骨铜为 =AF.六∠AFH=.又V∠DMF+∠FA0: M=进∠A8=∠0A.义廿AE=N,△M 1C2C人D4口5，B4前阳那， F.V∠AC-∠C,,E=CF.PA=P&42历有PA ∠A5+∠FAB-0∠FAE-射.香达®AFHB是 AAs3.需af, =且理由年下：建点作G⊥A,上P路.垂昆外解为 工.解：(1)图中△ABC和△上D出或中行对称.(1)：△C 更形，置：AE=AF,,西边形AFHE是正方形，日1比AE G.H,∠AFC=∠C,CUCH,又OP=OP, △EDB城中心对格，△ADC的窗积为4，：△EDB的蜜积包 =s,屑边形AFE和四边特A中是正表能.A5 =4,n=41'=t.05·0明=，r=4,00=4- △aRE△PHCHI.,.G-PH.:G⊥AM.OH⊥ 为4：D为C的中点，二△D的制色为4，.△A正 E-门-：W-AI-1a在R△AE中，Ar=A+ C8a4,即点B年B'重合.∠B0M=,0F=0M, BN.OG-OM,AM-BN.dAG-BH.PG+AG-PH 的面积为长. kA9D10B1L.①@④1点M天C14.A 时.吴H-7,5=+71=+(a+子，解 △40gW为等边三n罪.04=2,0M=0B=4:A为 +H,▣PA=P及()PA=PB仍酷设之 =及∴球=5十7=，由能转第性周，释F=球，D用 M的中点多A'⊥G在1AnB◆，B= 第4课时圆的确定 长答案不灌一。如AB一C:1板2高 =DF+=1作#5=17 1T.解，(11m聘.《2)商《1)知，AAAC期CD=E, w0-明=725. 1.无教线程A厚的需直平分线尤数我段C的雨直平分 1 第2课时量经分生 佳线是A出：B文虞AB:AC或C,的景直甲分线的交a AE=BC,在△ACE中，AE-AC<CE<AE十AC,聊BC 周测(24,1) 一2.C人B4B5.Dk里角直角餐角1.收5m 1C.2.D3B4.B54s4.g5m 1.A主B美D4.D5B6.,1物3.k象S=5 L解在时A,BC三真为通点的△A℃，外0处能量省为地 工，解：高F是D的中点，厘商，：直释MN平计不是直径的铁 同时国及三个网，住如下，连报AB,C,升例作线 第3爆时在率面直角坐标系中对图形出行蓝转变牌 1a号17D24g* H,N⊥A点AHCD,MNLCA.CF=D立海 A思，G皓量宜平学绳，相义于点0，点O即为质求点，图略 1C2.D[-2,-》 1及解(11周毫.(2面略.(2，-1D 广是D的中点， 象是过两灿有且具有一条直性AB:D只有一个安热 4解3)通毫.中)调海 14朝1)由2转的能质，特AC=CD=,∠ACD=时，去 Lh9.A14.b1.B正D1k14.2 1州，(1D图.(2图 10H1,口2.C1k44中1) △ACD是等边三角w,过点D作D5⊥C于点K,:AC⊥ 系期.1离路.(0调暗.(1)一1.一) 1反，通格00.CD1A,CE-DE=7C0-&量⊙0前 1线解，有婚.发E,载设AC-BC,期.∠A-∠&又的为∠C C∴∠CE=∠=∠AD=0-0=.东 T,4-4,11减r44-3月1，A,C10(-1,1 率登为r,赠E=一1，GD-下在△00呢中，r一1产+ 对，厕日∠用=∠A=行，这与∠A*手睛，新理AG 11t-4w21 △CmE◆，DED-多，CEm50E-3i.呢-C BC不或立.新以AC≠C 柱指，a,毫，日图 -CE=.BD=BE十D正=￥i.425am- 1区解，(1)西总，(2修接0出，剩原看程定理，厚奶-寸A各 5口+5口-十×号×8×6+}x4的x1-B oM-00P-0E.8m一多m-×营-华 2.幸半是为，测心-一，0出=：程繁勾晨定，料 从2影8-2华 了+1中一，加目一1以答：龙观片两在国的摩是为 1长解，(11E明：乱鼠通直，阁∠8G-,∠ABC∠E0F= 24.3图周角 小专避（一1開格作图引含无朝度直尺作图》 ，EF=AC,0⊥EF,0为AC.F中点，0 H0=寸4B=a米.靠购ACD中，∠0A8=L.了 1,解：1)面身：友筒坐解为（一4，户1，丽辞：△A 第1楼时围周角定理及其推论 车△风高G美于y轴对称 AC.0D-+EP.C-EF.+08 -00 01. ,-u-器t-- 1.H 2C )D 4.D 5. 玉箱：们指略.(3图略5、一发4一4X4一立×× ∠00.∴.△济是等边三角形，二∠第-六，A (米，0D=D·a41.1'=3×0s=之.4（米2.D kE明0ML0恐，∠h08=m.÷∠C-∠B=子∠A0明 -边-0L:△白草绕斜边中点D送时针装特0料到圆 =5.AC⊥B0,-∠AD-∠DAE-5∠C 号×4×1-×2×2=6A40A'-4,4n 2,∠A-r.i∠A0D--3'-,iA0D为 的所有等为丘4果 ∠AE.5.AD℃