（从课本到奥数）第三单元 圆柱与圆锥奥数思维训练二-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第三单元 圆柱与圆锥奥数思维训练二 答案解析 1．【解题思路】根据圆锥的体积公式：v＝sh，所以当高为原来的一半时，其底面圆的半径将为原来的一半，根据圆的面积公式则其底面积将为原来的四分之一，所以其体积将为原来的八分之一。因此，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出容器的容积，再减去已有酒的体积，就得到还要添入酒的体积。 【详细解答】据分析可知，10毫升占容器容积的； （毫升） 将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。再添入70毫升酒，可装满此容器。 【考点点评】本题的关键是要找出容器容积与已有酒的体积的关系，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答即可。 2．【解题思路】根据圆柱的体积V＝πr2h可以求出容器内水的体积；放进去底面半径24厘米的圆柱体铁块后，铁块的上底面仍高于水面，说明这时候水的体积没变，但是水箱的底面积变小了，利用h＝V÷S，从而可以求出水此时的高度，最后用现在的水面高度减去原来的水面高度，由此解决问题。 【详细解答】3.14×（40÷2）2 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 1256×10＝12560（立方厘米） 3.14×（24÷2）2 ＝3.14×144 ＝452.16（平方厘米） 1256－452.16＝803.84（平方厘米） 12560÷803.84＝15.625（厘米） 15.625－10＝5.625（厘米） 这时水面升高5.625厘米。 【考点点评】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了圆柱体铁块的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题。 3．【解题思路】原先水的高度和水上高度的比为1∶1，占圆柱体积的，放入一个圆锥后（圆锥完全浸没在水中），水的高度和水上高度的比为3∶2，则水加圆锥的体积占圆柱体积的，则圆锥体积占圆柱体积的，据此求出圆锥的体积即可。 【详细解答】 （立方厘米） 所以圆锥的体积是100立方厘米。 【考点点评】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解题的方法。 4．【解题思路】根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出已知圆柱的体积，并从中找到规律，用含有字母的式子表示第n个圆柱的体积。 【详细解答】π×（2÷2）2×1 ＝π×1×1 ＝π π×（4÷2）2×2 ＝π×4×2 ＝8π π×（6÷2）2×3 ＝π×9×3 ＝27π π×（8÷2）2×4 ＝π×16×4 ＝64π 第1个圆柱的体积：π＝13π 第2个圆柱的体积：8π＝23π 第3个圆柱的体积：27π＝33π 第4个圆柱的体积：64π＝43π …… 第n个圆柱的体积是n3π。 【考点点评】本题考查圆柱体积公式的运用，并从已知的圆柱体积数据中找到规律，按规律解题。 5．【解题思路】根据题意，把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，这个切面正好是边长为8cm正方形，那么圆柱的底面直径和高都等于8cm；根据圆柱的表面积公式S表＝2S底＋S侧，其中S底＝πr2，S侧＝πdh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详细解答】表面积： （cm2） 体积： （cm3） 这个圆柱的表面积是301.44cm2，体积是401.92cm3。 【考点点评】本题考查圆柱表面积、体积计算公式的运用，明确圆柱沿底面直径切开，一般情况下切面是长方形，长与宽分别是圆柱的底面直径和高；如果切面是正方形，那么圆柱的底面直径和高相等，都等于正方形的边长。 6．【解题思路】把一个底面半径是2cm，高是25cm的圆柱沿直径切割成两个半圆柱，表面积增加两个切面的面积，每个切面是一个长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面直径的长方形；根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个切面的面积，再乘2即可求出增加的表面积； 把两个底面直径为6cm，高为8cm的圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少两个底面的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个底面的面积，再乘2即可求出减少的表面积。 【详细解答】表面积增加： 25×（2×2）×2 ＝25×4×2 ＝100×2 ＝200（cm2） 表面积减少： 3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（cm2） 【考点点评】本题考查圆柱的切拼，明确把圆柱沿直径切割成两个半圆柱，表面积增加2个长方形切面的面积；把两个底面相同的圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少2个底面的面积。 7．【解题思路】图1，以直角三角形的长直角边4cm为轴旋转，那么形成的图形是一个底面半径为3cm、高为4cm的圆锥； 图2，如图的方式旋转，图2的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，圆柱、圆锥的底面半径都是3cm、高都是4cm； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出图1、图2的体积； 最后用图1的体积除以图2体积，求出图1的体积是图2体积的几分之几。 【详细解答】图1的体积： ×π×32×4 ＝×π×9×4 ＝12π（cm3） 图2的体积： π×32×4－×π×32×4 ＝π×9×4－×π×9×4 ＝36π－12π ＝24π（cm3） 图1的体积是图2体积的： 12π÷24π＝ 旋转后图1的体积是图2体积的。 故答案为：B 【考点点评】本题解题关键是通过圆柱体积减圆锥体积求出图2的体积。 8．【解题思路】以长方形的长为轴旋转一周形成圆柱甲，那么圆柱甲的底面半径等于长方形的宽，高等于长方形的长；以长方形的宽为轴旋转一周形成圆柱乙，那么圆柱乙的底面半径等于长方形的长，高等于长方形的宽。 根据圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算出结果，再比较，得出结论。 【详细解答】圆柱甲的底面半径是6厘米，高是8厘米； 圆柱乙的底面半径是8厘米，高是6厘米。 ①圆柱甲的底面积：π×62＝36π（平方厘米） 圆柱乙的底面积：π×82＝64π（平方厘米） 36π＜64π 圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积小，原题说法错误； ②圆柱甲的侧面积：2π×6×8＝96π（平方厘米） 圆柱乙的侧面积：2π×8×6＝96π（平方厘米） 96π＝96π 圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等，原题说法正确； ③圆柱甲的表面积： 96π＋36π×2 ＝96π＋72π ＝168π（平方厘米） 圆柱乙的表面积： 96π＋64π×2 ＝96π＋128π ＝224π（平方厘米） 168π＜224π 圆柱甲的表面积比圆柱乙的表面积小，原题说法错误； ④圆柱甲的体积：π×62×8＝288π（立方厘米） 圆柱乙的体积：π×82×6＝384π（立方厘米） 288π＜384π 圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小，原题说法正确。 综上所述，说法正确的有②④。 故答案为：B 【考点点评】本题考查圆柱底面积、侧面积、表面积、体积公式的运用，以长方形的长或宽为轴旋转一周得到圆柱体，弄清长方形的哪条边是圆柱的高，哪条边是圆柱的底面半径是解题的关键。 9．【解题思路】圆柱高增加后，相对原来的表面积，只是侧面积部分增加。所以计算这增加部分的侧面积即可。圆柱的侧面积＝底面周长×高。故表面积增加部分＝π×10×2。据此计算。 【详细解答】3.14×10×2 ＝31.4×2 ＝62.8（cm2） 故答案为：B 【考点点评】本题主要考查圆柱体的侧面积计算方法。 10．【解题思路】根据题意可知，圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长即小圆的周长，分别用含a和b的式子表示出扇形的弧长和圆锥的底面周长，进而找出a和b的比。 【详细解答】扇形圆弧的长：×2πb＝πb； 小圆周长：πa 则有πb＝πa 所以a∶b＝1∶2 故选择：A 【考点点评】此题考查了比的意义以及对圆锥的认识，找出小圆和扇形之间的关系是解题关键。 11．【解题思路】连个三角形旋转一周组成的立体图形是圆锥，假设旋转而成的圆锥底面半径是r，高是h，旋转而成的圆锥底面半径是R，高是H，分别表示出体积，相除即可。 【详细解答】πr²h÷（πR²H）＝r²h÷（R²H） 2r＝R，2h＝H，所以r²h÷（R²H）＝ 故答案为：D 【考点点评】关键是熟悉圆锥的体积公式，理解比的意义。 12．【解题思路】根据圆的周长公式C＝2πr可知，一个圆柱和一个圆锥的底面周长相等，那么它们的底面半径就相等；可以设圆柱和圆锥的底面半径都是1，根据圆锥的高和圆柱的高的比是3∶2，设圆锥的高是3，圆柱的高是2；然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆锥与圆柱的体积比，并化简比。 【详细解答】设圆柱和圆锥的底面半径都是1，圆锥的高是3，圆柱的高是2； 圆锥的体积与圆柱的体积的比是： （×π×12×3）∶（π×12×2） ＝π∶2π ＝1∶2 故答案为：C 【考点点评】本题考查圆锥、圆柱的体积公式的应用，关键是明白圆柱和圆锥的底面周长相等，那么它们的底面半径就相等，用赋值法代入数据计算能更直观地得出结论。 13．【解题思路】“”“”，图形的体积＝长方体的体积－半圆柱的体积；“”“”，先用长方体5个面的面积减去圆柱底面圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【详细解答】体积：30×20×15－3.14×（10÷2）2×30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝600×15－78.5×30÷2 ＝9000－2355÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（立方厘米） 表面积：20×30＋（20×15＋30×15）×2－3.14×（10÷2）2 ＝20×30＋（300＋450）×2－3.14×25 ＝20×30＋750×2－3.14×25 ＝600＋1500－78.5 ＝2100－78.5 ＝2021.5（平方厘米） （20－10）×30＋3.14×10×30÷2 ＝10×30＋3.14×10×30÷2 ＝300＋31.4×30÷2 ＝300＋942÷2 ＝300＋471 ＝771（平方厘米） 2021.5＋771＝2792.5（平方厘米） 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 14．【解题思路】①组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，代入数据计算即可。 ②观察图形，上、下两个半圆可以组成一个圆；图形的表面积＝圆柱的底面积＋圆柱侧面积的一半＋长方形的面积；根据S底＝πr2，S侧＝πdh，S长＝ab，代入数据计算即可。 【详细解答】①圆柱的体积： 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×18 ＝×3.14×36×18 ＝3.14×216 ＝678.24（立方厘米） 一共：2260.8＋678.24＝2939.04（立方厘米） 图①组合体的体积是2939.04立方厘米。 ②圆柱的底面积： 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 圆柱侧面积的一半： 3.14×10×15÷2 ＝31.4×15÷2 ＝471÷2 ＝235.5（平方分米） 长方形的面积： 15×10＝150（平方分米） 一共：78.5＋235.5＋150＝464（平方分米） 图②的表面积是464平方分米。 15．【解题思路】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，看图可知，圆柱底面周长＋底面直径＝33.12厘米，即圆周率×底面直径＋底面直径＝33.12厘米，33.12÷（圆周率＋1）＝底面直径，底面直径×2＝圆柱的高，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 【详细解答】33.12÷（3.14＋1） ＝33.12÷4.14 ＝8（分米） 8×2＝16（分米） 3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×16 ＝3.14×42×2＋401.92 ＝3.14×16×2＋401.92 ＝100.48＋401.92 ＝502.4（平方分米） 3.14×（8÷2）2×16 ＝3.14×42×16 ＝3.14×16×16 ＝803.84（立方分米） 答：这个圆柱的表面积和体积分别是502.4平方分米、803.84立方分米。 【考点点评】关键是熟悉圆柱特征，先确定圆柱底面直径和高，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式。 16．【解题思路】（1）瓶子正放或倒放时的容积与饮料的体积不变，则瓶子正放或倒放时瓶子里空气的体积相等，所以瓶子的容积＝左图中水的体积＋右图中空气的体积。圆柱的体积V＝πr2h，据此求出左图中水的体积，右图中空气的体积，再把二者加起来即可求出瓶子的容积。 （2）已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，则这个圆锥底面积半径是这个饮料瓶的底面半径的，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积V＝πr2h，求出圆锥形杯子的容积，再用这些饮料的容积除以圆锥形杯子的容积，如果有余数，根据“去尾法”即可求出可以倒满几杯；如果没有余数，商是几就是可以倒满几杯。 【详细解答】（1）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 3.14×42×9 ＝3.14×16×9 ＝50.24×9 ＝452.16（立方厘米） 301.44＋452.16＝753.6（立方厘米） 753.6立方厘米＝753.6毫升 答：这个饮料瓶容积是753.6毫升。 （2）4×＝2（厘米） 3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝37.68（立方厘米） 301.44÷37.68＝8（杯） 答：这些饮料可以倒满8杯。 【考点点评】求不规则物体的体积或容积，可以利用转化思想将其转化成规则的物体进行计算。 17．【解题思路】如下图：分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了一个小圆锥（圆台上虚线部分）。 因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC为等腰直角三角形，则EB＝BC＝6厘米，EA为6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。 【详细解答】由分析可得： 分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC， 在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米； 大圆锥体积：×3.14×62×6 ＝×3.14×36×6 ＝（×36）×3.14×6 ＝12×3.14×6 ＝37.68×6 ＝226.08（立方厘米） 6－3＝3（厘米） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝（×9）×3.14×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（立方厘米） 226.08－28.26＝197.82（立方厘米） 答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。 【考点点评】本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来，熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。 18．【解题思路】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详细解答】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【考点点评】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 19．【解题思路】设圆柱的底面半径为r分米，则直径为2r分米；底面直径与高的比为8∶5，则高为×直径；高是×2r＝r分米；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，圆的面积公式：面积＝π×半径2，由此列出方程：π×r2×2＋π×2r×r＝1800，进而求出πr2，也就是圆柱的底面积；据此解答。 【详细解答】解：设圆柱的底面半径为r分米，则直径为2r分米； 底面直径与高的比为8∶5，则高为×直径，则高为×2r＝r（分米）。 π×r2×2＋π×2r×r＝1800 4πr2＋πr2＝1800 πr2＝1800 πr2＝1800÷ πr2＝1800× πr2＝400 答：圆柱的底面积是400平方分米。 【考点点评】解答本题的关键是把圆柱的底面积看作一个未知数，再根据比的应用，求出高与半径的关系，进而利用圆柱的表面积公式，进行解答。 20．【解题思路】根据题意，把一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥形铁块，形状变了，铁块的体积不变。 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积； 已知圆锥形铁块的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。 【详细解答】铁块的体积： 3.14×（10÷2）2×8 ＝3.14×25×8 ＝628（立方厘米） 圆锥的底面半径： 62.8÷3.14÷2＝10（厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 628×3÷314 ＝1884÷314 ＝6（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是6厘米。 【考点点评】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 21．【解题思路】先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出一根圆柱形木料的体积，再乘2，即是两根圆柱形木料的体积； 把原来长方体木料的体积看作单位“1”，已知削去部分的体积相当于原来长方体木料的68.6%，那么两根圆柱形木料的体积占原来长方体木料体积的（1－68.6%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出原来长方体木料的体积。 【详细解答】两根圆柱形木料的体积： 3.14×12×10×2 ＝3.14×20 ＝62.8（立方分米） 原来长方体木料的体积： 62.8÷（1－68.6%） ＝62.8÷0.314 ＝200（立方分米） 答：原来长方体木料的体积是200立方分米。 【考点点评】本题考查圆柱体积公式的运用以及百分数除法的应用，关键是找出单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义解答。 22．【解题思路】根据题意，底面直径是高的，用高乘求出底面直径；因为这个圆柱形铁皮水桶无盖，所以少了上面，做这个水桶需要铁皮的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可； 根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，代入数据计算求出这个水桶的容积。 【详细解答】圆柱的底面直径：6×＝4（分米） 圆柱的侧面积： 3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（平方分米） 圆柱的底面积： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 需要的铁皮：75.36＋12.56＝87.92（平方分米） 水桶的容积：12.56×6＝75.36（立方分米） 答：做这个水桶需要87.92平方分米的铁皮，它的容积是75.36立方分米。 【考点点评】本题考查圆柱的表面积、体积公式的应用，在计算圆柱的表面积时，要弄清少了哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用圆柱的表面积公式解答。 23．【解题思路】由圆柱的展开图可知：侧面展开图的长等于圆的底面周长，圆的直径等于侧面展开图的宽，即圆柱的高。设圆的直径为厘米，则底面周长为厘米，由圆的底面周长＋圆的直径＝33.12，可以求出圆的直径，进而利用圆柱的体积公式求出铁通的容积。 【详细解答】解：设圆的直径为厘米。 ＋3.14＝33.12 4.14＝33.12 ＝8 容积：3.14××8 ＝3.14×16×8 ＝50.24×8 ＝401.92（立方厘米） 答：这个铁桶的容积是401.92立方厘米。 【考点点评】本题主要考查学生对于圆柱展开图的分析能力，以及圆柱体积公式的理解与运用。 24．【解题思路】根据题意，铁块从水中取出后水面下降厘米，那么水面下降部分的体积等于这个铁块的体积，水在圆柱形玻璃容器里，根据V柱＝πr2h求出水面下降部分的体积，即圆锥形铁块的体积； 由圆锥的体积公式V锥＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算即可。 【详细解答】3.14×（12÷2）2× ＝3.14×36× ＝3.14×18 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 【考点点评】明确从水中取出物体，水面下降部分的体积等于取出物体的体积；灵活运用圆柱、圆锥的体积计算公式是解题的关键。 25．【解题思路】本题中，表面积减少的部分就是拼接时相互重合的两个面的面积。所以我们先用100.48÷2÷3.14可得出圆柱体底面半径的平方，再还原成半径；两个圆柱体高12厘米，则一个高为12÷2＝6（厘米）。这样，要求的圆柱体的半径、高都已知了，就可以计算其表面积了。尤其注意的是，表面积用侧面积＋拼接时减少的面积来计算更简便。 【详细解答】100.48÷2÷3.14 ＝50.24÷3.14 ＝16 16＝42，即半径＝4厘米， 12÷2＝6（厘米），即高＝6厘米， S圆柱＝S侧＋2×S底 ＝2×3.14×4×6＋100.48 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（平方厘米） 答：原来每个圆柱体的表面积是251.2平方厘米。 【考点点评】本题难点在于底面半径的确定，先要求出一个圆柱底面的面积，再将S＝πr2变形，得出半径，其次，小数混合运算量也不小，要仔细计算，防止出错。 26．【解题思路】圆柱体积＝底面积×高，根据瓶子体积＝水的体积＋第二个瓶子里空着的体积，据此解答。 【详细解答】3.14×（9÷2）2×（30﹣25＋20） ＝3.14×20.25×25 ＝63.585×25 ＝1589.625（立方厘米） 1589.625立方厘米＝1589.625毫升 答：这个瓶子的容积是1589.625毫升。 【考点点评】此题主要考查圆柱容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 27．【解题思路】（1）大圆柱体积－小圆柱体积＝零件体积； （2）用大圆柱侧面积＋两个底面面积＋小圆柱侧面积即可。 【详细解答】（1）3.14×（6÷2）×10－3.14×（4÷2）×5 ＝3.14×9×10－3.14×4×5 ＝282.6－62.8 ＝219.8（立方厘米） 答：这个零件的体积是219.8立方厘米。 （2）3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5 ＝56.52＋188.4＋62.8 ＝307.72（平方厘米） 答：一共要涂307.72平方厘米。 【考点点评】本题考查了组合体的体积和表面积，体积用减一减的方法，求表面积时可以将小圆柱下面的底面积平移到上面，就组成了完整的大圆柱表面积。 28．【解题思路】（1）根据圆锥的容积（体积）公式：，圆柱的体积公式：，把相应数据代入即可。 （2）根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入求出储存粮食的体积，然后粮食的体积乘每立方米粮食的质量即可。 【详细解答】（1）50分米＝5米，24分米＝2.4米 ×3.14××2.4＋3.14××3 ＝3.14×9×0.8＋3.14×6.25×3 ＝3.14×（7.2＋18.75） ＝3.14×25.95 ＝81.483（立方米） 答：这个粮仓的容积是81.483立方米。 （2）55千克＝0.055吨 3.14××3×0.055 ＝3.14×6.25×3×0.055 ＝19.625×3×0.055 ＝58.875×0.055 ≈3（吨） 答：这个粮仓实际最多能贮3吨粮食。 【考点点评】此题主要考查圆锥，圆柱的容积（体积）公式的运用，解决本题的关键是熟记公式，注意单位换算。 29．【解题思路】（1）因为从统计图提供的信息可以计算出放入1个铁块时水面上升的高度，则结合题目数据可以计算出至少放入几个铁块，会有水溢出； （2）在容器底面积、铁块底面积、以及放入一个铁块后水面上升的高度、铁块的高度这四个量之间，容器底面积、放入一个铁块后水面上升的高度是已知的，因此铁块的体积可求，再用铁块的体积除以铁块底面积，就得到了铁块的高度； （3）因为放入7个铁块后，容器内水满意出，且溢出的水的体积就等于7个铁块的体积，则容器内剩余水的体积就等于容器体积减去7个铁块的体积。 【详细解答】（1）由图可知，铁块块数为0时，水面高度为8，每放入一个铁块，水面高度上升2，当放入4个铁块时，水面高度为16，此时再放入一个铁块水会溢出17高圆柱形容器。 （2）方法一： 设铁块底面积为3x，容器底面积为5x， 铁块的体积＝容器底面积×放入一个铁块后水面上升高度， 即， 铁块高度＝铁块体积÷铁块底面积，即。 方法二： 体积＝底面积×高，已知铁块体积与液面上升体积相等， 故体积一定时底面积与高呈反比例关系，即铁块底面积∶容器底面积。 所以铁块高度∶水面上升高度。 设铁块高度为x，则可得到比例方程： ，解得。 （3）由题可知，当放入7个铁块后，容器内水满且溢出。 因为， 所以， 所以。 7块铁块体积：。 容器体积：。 容器内水的体积：。 【考点点评】本题需要结合统计图来解答，且在容器底面积、铁块底面积、以及放入一个铁块后水面上升的高度、铁块的高度这四个量之间，总能找到一个衔接量，以便先间接求出某个数量，再通过公式计算得到最终的答案。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第三单元 圆柱与圆锥奥数思维训练二 一、填空题 1．如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入( )毫升酒，可装满此容器？ 2．如图，一个圆柱形容器的底面直径是40厘米，容器中水面的高度为10厘米，把底面直径为24厘米，高40厘米的铁块竖直放入后，铁块的上底面仍高于水面，这时水面升高了( )厘米。 3．一个圆柱形玻璃杯，体积为1000立方厘米，现在水的高度和水上高度的比为1∶1，放入一个圆锥后（圆锥完全浸没在水中），水的高度和水上高度的比为3∶2，圆锥的体积是( )立方厘米。 4．小宇观察下图发现了“圆柱的底面积和高的变化引起体积变化”的规律。根据这个规律，用含有字母的式子表示第n个圆柱的体积是( )。    5．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，这个切面正好是一个边长为8cm的正方形。这个圆柱的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 6．把一个底面半径是2cm，高是25cm的圆柱沿直径切割成两个半圆柱，表面积增加( )cm2；把两个底面直径为6cm，高为8cm的圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少( )cm2。 二、选择题 7．一个直角三角形，两条直角边分别是4cm和3cm。以下面两种方式旋转得到立体图形（每条旋转轴垂直于底边），旋转后图1的体积是图2体积的（    ）。 A． B． C． D． 8．一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（    ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等 ④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 9．一个圆柱底面直径是10cm，若高增加2cm，则表面积增加（      ）cm2。 A．31.4 B．62.8 C．20 D．157 10．在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥（如图），如果圆的直径为，扇形的半径为，那么等于（    ）。 A． B． C． D． 11．下图中，是由直角按放大所得。若将它们以为轴旋转一周，则扫过的立体图形的体积是扫过的立体图形的（    ）。 A． B． C． D． 12．一个圆柱和一个圆锥的底面周长相等，圆锥的高和圆柱的高的比是3∶2，那么圆锥与圆柱体积比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 三、计算题 13．已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 14．计算下列图形的体积和表面积。 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米）。 四、解答题 15．把一张长方形的铁皮按图裁剪，正好做成一个圆柱，求这个圆柱的表面积和体积。 16．如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： （1）这个饮料瓶容积是多少？ （2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 17．如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 18．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 19．一个圆柱，底面直径与高的比为8∶5，如果这个圆柱的表面积是1800dm2，这个圆柱的底面积是多少平方分米？ 20．把一块底面直径是10厘米，高8厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面周长是62.8厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 21．一根长方体木料，被加工成了两根长都是10分米，底面半径都是1分米的圆柱形木料，已削去部分的体积相当于原来长方体木料的68.6%。原来长方体木料的体积是多少立方分米？ 22．要做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高6分米，底面直径是高的。做这个水桶需要多少平方分米的铁皮？它的容积是多少？（接口处忽略不计） 23．一张长方形铁皮，从中剪下一个圆和一个长方形，正好可以做成一个无盖圆柱形铁桶，求这个铁桶的容积。 24．一个底面直径是12厘米，高3分米的圆柱形玻璃容器里装有一部分水，水中浸着一个高是9厘米的圆锥形铁块，铁块从水中取出后水面下降厘米，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 25．两个相同圆柱体的木块底面相拼，拼成一个高12厘米的圆柱体，表面积就减少了100.48平方厘米，求原来每个圆柱体的表面积是多少？ 26．如图，壮壮测量一个瓶子的容积，测得该瓶子的底面直径是9cm，瓶子深30cm，然后他给瓶子内盛入一些水，正放时水高20cm，拧紧瓶盖倒放时水高25cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 27．如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。 （1）这个零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 28．一个粮仓由一个圆柱和一个圆锥体组成（如下图）。（粮仓的厚度忽略不计） （l）求这个粮仓的容积是多少？ （2）实际贮粮中，只有圆柱部分贮粮，如果每立方米粮食重55千克，这个粮仓 实际最多能贮多少吨粮食？（得数保留整数） 29．在一个高为17厘米的圆柱形容器中注入部分水后，再将若干同样形状大小的长方体铁块放入，使其完全浸入水中，水面高度与放入铁块块数变化关系如图所示。 （1）放入铁块前，水面高度为________厘米，至少投入________个铁块时，会有水溢出。 （2）若长方体底面积与容器的底面积比为3∶5，试求一块长方体的高度。 （3）在（2）成立的基础上，若圆柱的底面半径为10厘米，则放入7块铁块后，容器内有水多少毫升？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$