高二数学月考卷（江苏专用，苏教版2019选择性必修第二册第6～7章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D C B A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．0 14．， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）根据题意的二项展开式共有项，可知， 2分 所以的展开式中二项式系数之和为. 4分 （2）展开式中存在常数项，常数项为 由题可知，则的通项为，. 6分 令，得， 所以展开式中存在常数项，此时通项变为 9分 （3）的二项展开式中通项为， 展开式中通项的系数为， ,解得当时系数最大， 则展开式中的系数最大的项为 13分 16．（15分） 【解析】（1）连接， 1分 ， ， ， 5分 ， ， ∴，即的长为. 9分 （2）， 10分 ∴ . 15分 17．（15分） 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 2分 设平面的法向量为， ，， 则有， 4分 显然，因此 平面 ； 6分 （2）由， 7分 设点 到平面 的距离为， 则有 . 10分 （3）平面的法向量为， ， 则有， 12分 设平面 和平面 夹角为， 则有. 15分 18．（17分） 【解析】（1）由图1可知： 2分 由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ， 故，同理， 5分 故 ； 9分 （2）莱布尼茨三角的性质： 11分 证明：. . 故结论正确. 17分 19．（17分） 【解析】（1）在底面菱形中，连接，记，取的中点为，连接， 在菱形中，，在直四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，所以两两垂直， 3分 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 因为，所以，， 可得， 则， 所以，则， 由，则，即， 因为，所以，则. 6分 （2）由题意作图如下： 由图可知平面的一个法向量， 由，则的中点的坐标为， 即，由，则（）， 由（1）可知，由，则， 则， 9分 由平面，则，解得， 所以，则， 当时，等号成立，所以的最小值为. 12分 （3）由题意可作图如图： 由（1）可得，由（），则， 设的中点为，则， 在菱形中，且为中点，则， 14分 在三棱锥中，底面的外接圆圆心为的中点， 易知球心为线段的中垂线与直线的交点，则设 由，则， 易知，可得，解得， 由，，则，即， 所以. 17分 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________，____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________，____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~7章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 2．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 3．的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【解析】的展开式中的常数项为. 故选：D 4．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 【答案】C 【解析】先排数学，有种不同的排法； 再排英语，有种不同的排法； 最后排剩余课程，有种不同的排法； 所以不同的排法共有种.故选：C. 5．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以.故选：B. 6．如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为． 故选：A． 7．将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法， 则 且能被整除， 所以，除的余数为，即. 故选：D. 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故A符合题意； 对于B，由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， ∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； 对于C，对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故C不符合题意； 对于D，由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】ABD 【解析】对于A，令，可得，A正确． 对于B，展开式中的第二项为，所以，B正确． 对于C，令，可得，则，C错误． 对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD 10．现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（     ） A．没有空盒子的方法共有种 B．有空盒子的方法共有种 C．恰有个盒子不放球的方法共有种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 【答案】AC 【解析】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确， 对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误； 对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，再对三个盒子全排共有种方法，故C正确； 对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AC. 11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（    ） A． B．平面与平面可能平行也可能垂直 C．的取值范围是 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，所以， 则． 对于A，，所， 所以，故A正确； 对于B，当点与点重合时，平面平面， 当点与点重合时，平面平面，故B正确； 对于C，根据题意，可设点，其中， 则 ， 当]时，， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量为，则有 ， 故，取， 所以点到平面的距离为，故D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【答案】 【解析】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 13．若，则除以7的余数是 ． 【答案】0 【解析】， ， ， 故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0． 故答案为：0 14．如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】， 【解析】由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为. 建系如图，设，则. . 令， . 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的二项展开式共有项，完成以下问题： (1)求展开式中二项式系数之和； (2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由； (3)求展开式中的系数最大的项. （注：结果用数字作答） 【解析】（1）根据题意的二项展开式共有项，可知， 2分 所以的展开式中二项式系数之和为. 4分 （2）展开式中存在常数项，常数项为 由题可知，则的通项为，. 6分 令，得， 所以展开式中存在常数项，此时通项变为 9分 （3）的二项展开式中通项为， 展开式中通项的系数为， ,解得当时系数最大， 则展开式中的系数最大的项为 13分 16．（15分）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【解析】（1）连接， 1分 ， ， ， 5分 ， ， ∴，即的长为. 9分 （2）， 10分 ∴ . 15分 17．（15分）如图，长方体中，，点在线段上，且. (1)求证: 平面; (2)求点到平面的距离; (3)求平面和平面夹角的余弦值. 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 2分 设平面的法向量为， ，， 则有， 4分 显然，因此 平面 ； 6分 （2）由， 7分 设点 到平面 的距离为， 则有 . 10分 （3）平面的法向量为， ， 则有， 12分 设平面 和平面 夹角为， 则有. 15分 18．（17分）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 【解析】（1）由图1可知： 2分 由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ， 故，同理， 5分 故 ； 9分 （2）莱布尼茨三角的性质： 11分 证明： . . 故结论正确. 17分 19．（17分）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. (1)若时，求证：； (2)若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； (3)若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 【解析】（1）在底面菱形中，连接，记，取的中点为，连接， 在菱形中，，在直四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，所以两两垂直， 3分 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 因为，所以，， 可得， 则， 所以，则， 由，则，即， 因为，所以，则. 6分 （2）由题意作图如下： 由图可知平面的一个法向量， 由，则的中点的坐标为， 即，由，则（）， 由（1）可知，由，则， 则， 9分 由平面，则，解得， 所以，则， 当时，等号成立，所以的最小值为. 12分 （3）由题意可作图如图： 由（1）可得，由（），则， 设的中点为，则， 在菱形中，且为中点，则， 14分 在三棱锥中，底面的外接圆圆心为的中点， 易知球心为线段的中垂线与直线的交点，则设 由，则， 易知，可得，解得， 由，，则，即， 所以. 17分 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~7章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 2．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 4．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 5．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 6．如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 7．将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 10．现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（     ） A．没有空盒子的方法共有种 B．有空盒子的方法共有种 C．恰有个盒子不放球的方法共有种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（    ） A． B．平面与平面可能平行也可能垂直 C．的取值范围是 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 13．若，则除以7的余数是 ． 14．如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的二项展开式共有项，完成以下问题： (1)求展开式中二项式系数之和； (2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由； (3)求展开式中的系数最大的项. （注：结果用数字作答） 16．（15分）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 17．（15分）如图，长方体中，，点在线段上，且. (1)求证: 平面; (2)求点到平面的距离; (3)求平面和平面夹角的余弦值. 18．（17分）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 19．（17分）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. (1)若时，求证：； (2)若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； (3)若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~7章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 2．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 4．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 5．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 6．如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 7．将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 10．现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（     ） A．没有空盒子的方法共有种 B．有空盒子的方法共有种 C．恰有个盒子不放球的方法共有种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（    ） A． B．平面与平面可能平行也可能垂直 C．的取值范围是 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 13．若，则除以7的余数是 ． 14．如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的二项展开式共有项，完成以下问题： (1)求展开式中二项式系数之和； (2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由； (3)求展开式中的系数最大的项. （注：结果用数字作答） 16．（15分）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 17．（15分）如图，长方体中，，点在线段上，且. (1)求证: 平面; (2)求点到平面的距离; (3)求平面和平面夹角的余弦值. 18．（17分）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 19．（17分）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. (1)若时，求证：； (2)若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； (3)若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$