小专题12 与圆的切线有关的计算与证明-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

∴.∠ADC+∠ABC=180°.∠FBC+∠ABC=180°，∴. 4.解，直线AC与⊙O相切.理由如下，，'AB=1cm,BC=√2m, ∠FBC=∠ADC=60°..，∠FCB=30°，.BC=2BF=4. AC=1cm,.AB十AC=BC.∠BAC=90°，即OA⊥AC ∠BCD=90°，∠BDC=30°，∴.BD=2BC=8.,BD是圆的直 OA为⊙O的半径，.直线AC与⊙O相切. 径，.圆的半径长是4. 5.解：直线AB是⊙O的切线，理由：连接OC.,OA=OB,AC= 16.解，(1)证明：：∠ADE+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC BC,.OC⊥AB.:OC为⊙O的半径，直线AB是⊙O的切 180°，.∠ADE=∠ABC.:AB=AC,.∠ABC=∠ACB.: 鲍 ∠ACB-∠ADB,∴∠ADB-∠ADE.(2)连接CO并延长，交 6.B7.70°8.< ⊙O于点F,莲接BF,则∠FBC=90°，在Rt△BCF中，CF=4, 9.解：面积最大的圆即为△ABC的内切圆，分别作∠ACB,∠ABC 9C=3,∴inF==4∠F=∠BAC,'.sin/BAC=- 的平分线，交点O即为圆心，再分别以点B,C为圆心，BO,CO 为半径画弧，交于点D,O,连接OD交BC于点E,再以OE为半 小专题11与圆的基本性质有关的辅助线作法 径作⊙O.图略。 1.C2.A3.A4.55.D6.110°7.18.29.65°10.3 11.解：(1)证明：连接DC,则∠BDC=∠BAC=45.BD⊥BC 10.15”山.D2.子13. 18 ∴.∠BCD=90°-∠BDC=45°..∠BCD=∠BDC.∴.BD= 14.解：(1)证明：，下=E,.∠ABF=∠BAE.:∠CAD+ BC.(2)∠DBC=90°，.CD为⊙O的直径.∴.CD=2r=6, ∠BAE+∠CDA+∠ABF=180°，且∠CAD=∠CDA,. aBC-CD·im∠BDC-6X9-32.EC-V/BE+BC 2∠CAD+2∠BAE=180°，.∠CAD+∠BAE=90°，即 ∠DAB=90°.又OA是⊙O的半径，.AD是⊙O的切线. =√62+(32)3=3.：BF⊥AC,.∠BMC=∠EBC= (2)连接AF,,F=E,.AF=BE=4,:AB是⊙O的直 90.又'∠BCM=∠ECB,△BCMO△ECB.∴S-B 径，.∠AFB=90°..∠AFD=90°..DF=√JAD-AF= EC EB ，÷BM=BC·EB-3×6=23,cM-B瓷-32 V√(25)24-2.∠BAD-∠AFD=90',∴tanD-A2- EC 3√6 EC 36 AF 4 =6,连接CF,则∠F=∠BDC=45,∴.∠MCF=90°-45 DF-2 -2.∴AB-2AD-4,5.∴⊙0的半径为号AB 45°..MF=MC=W6..BF=BM+MF=23+√6. 25., 12.140°13.B 15.616.289 5确定圆的条件 ·7切线长定理 1.C2.C3.A4.D5.B6.C7.(1,2) 1.C2.B3.D4.C5.D6.8【拓展设问】65 8.解：图略，连接AB,BC,分别作线段AB,BC的垂直平分线，相 7.解：PA,PB是⊙O的切线，，AP=BP.又，∠P=60°， 交于点O,点O即为所求。 △ABP为等边三角形，∠PAB=60°，PA是⊙O的切线， 9.解：图略。【拓展】25π ∠PAC=90°.·.∠BAC=90°-60°=30°.又：AC是⊙0的直 10.D11.10512.10成8 径，∠ABC=90',.BC=2AC=OA=2, 13.解：(1)，AE平分∠BAD,.∠BAD=2∠CAD,∠CAD= 8.证明：连接CN,BC是⊙O的直径，.∠BNC=90,.∠NCM ∠CBD=40°，∠BAD=80°.(2)证明：：AE,BE分别平分 +∠NMC=90°，∠PNC+∠PNM=90°.'PC,PN是⊙O的 ∠BAD和∠ABD,.∠BAC=∠DAC,∠ABE=∠DBE. 切线，.PC=PN..∠NCM=∠PNC..∠PNM=∠NMC BC=CD..BC=CD.∠CBD=∠CAD,.∠CBD .PM=PN. ∠BAC.,'.∠CBE=∠CBD+∠DBE=∠BAC+∠ABE= 9.C10.A11.6,912. ∠BEC..CB=CE..CB=CE=CD..点B,E,D在以点C 为圆心的同一圆上，，点C是△BDE的外心， 13.证明：连接OA,OB.,MA,MB是⊙O的切线，.∠MAB= 14.解：(1)②(2)对角互补的四边形一定有外接圆(3)如果四 ∠MBA,∠MAO=90°.，弦AB垂直平分半径ON,'.OP= 边形没有外接四，那么相对的两个内角之间没有(2)中的关 2OA,∠OPA=90,·∠OAP=30.÷∠MAB=∠MBA= 系.理由如下：左图：连接BE.,∠A十∠E=180°，∠BCD> ∠E,,.∠A+∠BCD>180°.右图：连接DE,,∠A+∠BED ∠MAO-∠OAP=60°，.△ABM是等边三角形 =180°，∠BED>∠C,.∠A+∠C<180°.综上所述，如果四 14.解：(1)证明：，BA,BC为⊙O的切线，.BO平分∠ABC.同理 边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有(2)中的关 可得，CO平分∠BCD.'AB∥CD,·∠ABC+∠BCD=180 ,.∠OBC十∠BCO=90°.，.∠BOC=90°，即OB⊥OC.(2)连接 系 OF,'BA,BC为⊙O的切线，.BE=BF,BO平分∠ABC. 6直线和圆的位置关系 BM⊥EF,即∠OMF=90',同理可得，∠ONF=90°，.四边形 第1课时直线与圆的位置关系及切线的性质 ONFM是矩形..MN=OF.在Rt△OBC中，OB=6,OC=8, 1.(1)d>3(2)3(3)0≤d<32.B3.A4.C BC=OB+OC,.BC=10,,BC切⊙O于点F,.OF⊥ 5.解：过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ABC中，AC-3cm,BC BC△0F00AB0C5-瓷，即g-品0F=4.8 8 -4cm,由勾股定理，得AB-5cm,Saw■乞AB·CD 号AC·BC,∴CD-AC:BC=2.4cm.(1)当r=2m时， .MN=4.8. 【变式】y=36（x>0) AB 小专题12与圆的切线有关的计算与证明 <2.4cm,∴AB与⊙C相离.(2)当r=2.4cm时，：r= 1.解：证明：：DC与⊙O相切，.OC⊥CD,即∠ACD+∠OCA 2.4cm,AB与⊙C相切.(3)当r=3cm时，r>2.4cm, AB与⊙C相交. 90°.OA=OC,∴.∠OCA=∠OAC.∠ACD=∠ACE, ∠ACE+∠OAC=90°.，∴.∠AEC=90°，即CE⊥AB. 6.40°7.58.50°9.√4T10.3cm或5cm11.A12.C 2,解：(1)证明：连接OD.直线l与⊙O相切于点D,.OD⊥. 13.9 14.0<x≤215.(9,2) AELl,,.∠ODC=∠AEC=90°..OD∥AE.∠ODA= ∠EAD.:OA=OD,.∠ODA=∠OAD..∠OAD=∠EAD. 16.解：(1)证明：连接OD,,DE是⊙O的切线，.OD⊥DE.DE ∴.AD平分∠CAE.(2)设OB=r,则OD=r,OC=r+1. ⊥AC,∴.OD∥AC..∠C=∠ODB.,OD=OB,.∠B= ∠ODC=90°，.OD+CD=DC,即2十3=(r+1)2,解得t ∠ODB.,∠B=∠C.∴.AB=AC.(2)过点O作OG⊥AF,则 ■4..⊙0的半径为4. AG=FG.设AG=FG=x,,OG⊥AF,DE⊥AC,OD⊥DE, 3.解：(1)证明：：AM是⊙O的切线，.∠BAM=90°.：∠CEA= 四边形ODEG是矩形..OD=GE=x+3,OG=DE=6.在 90°，，AM∥CD..∠CDB=∠APB.∠CAB=∠CDB, Rt△AOG中，AG+GO=AO,.x2十62=(x+3)°，解得x= ∠CAB=∠APB.(2)连接AD,,AB是⊙O的直径，.∠CDB .AF=9. 9 +∠ADC=90°.∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB, ∠ADC=∠C..AD=AC=8.AB=10,BD=6.∠DAE 17.2/7 +∠DAP=90°，∠DAP+∠APD=90°，∴.∠DAB=∠APB.又 第2课时切线的判定与三角形的内切圆 1.D2.∠ABC=90'或AB⊥BC(答案不准一）3.60 :∠BDA=∠BAP,△ADBO△PAB.A-:PB= 俗九下·参考答案41 g-1g90-9÷Dp-PB-BD- 36-32 (3)80°7.60xcm28.B9.D10.3000x11.B12.4x 4.解：(1)连接OD,,FD是⊙O的切线，∴∠ODF=90°.：DF∥ 13.35148 AB,∴∠AOD=180-∠ODF=90.∠ACD=号∠AOD= 15.解：(1)点D是AB的中点，PD经过圆心O,.PD⊥AB. ∠A=30°，.∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD.OA=OC 45.:CF=CD,∠F=∠CDF=180°，45=67.5.(2：0A AD=BD,.OD是△ABC的中位线，.BC=2OD.,OA=BC =OD,∠AOD=90°，'.∠EAD=45.,∠ACD=45,∴.∠EAD =2.i00的半径为2六元的长为92-号(2②)：PF 180 ∠ACD.'∠ADE=∠CDA,∴△DAE∽△DCA.∴0 ⊥AC,&∠0PF-30.&OF-号oP-h.&PF- CDA=DE·DC-=8.DA=22(负值舍去).OA= D VOP-0F=.iS=5nm-56an=02-支× 360 号DA-2,⊙0的半径为2. 1xB-号x县 5.解：(1)证明：连接OD,OA,作OH⊥AB于点H,,△ABC为等 16.A 腰三角形，O是底边BC的中点，，AO⊥BC,AO平分∠BAC 小专题13四种方法求圆中阴影部分的面积 ,AC与⊙O相切于点D,.OD⊥AC.OH⊥AB,.OH OD,即OH为半圆O的半径.AB与半圆O相切.(2)由(1)知 1.6m2.D3.5x-1245月-2x5.9+音6.C7.B OD⊥AC,在Rt△OCD中，CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD +CD=OC,OD+4=(OD+2)2..OD=3..OC=5. &Cg晋+ 2 10.-71.c cosC-CD=÷.在Rt△OCA中，cosC= OC 5sin∠OAC 回顾与思考（三）圆 1.A2.40°3.B4.A5.A6.55°7.60 8.解：(1)证明：，FA=FE,∴，∠FAE=∠AEF,:∠FAE= 6.解：(1)证明：连接OC,,AD是⊙O的直径，∴.∠ACD=90°， ∠BCE,∠AEF=∠CEB,,∠CEB=∠BCE.CE平分 ∠ADC+∠CAD=90°.'OC=OD,∴.∠ADC=∠OCD. ∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.:AB是直径，∠ACB=90°. ∠DCF=∠CAD..∠DCF+∠OCD=90°，.OC⊥CF,又，OC ∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=9O°..∠CDE 是⊙O的半径，.CF是⊙O的切线.(2)：∠B=∠ADC,cosB =180°-（∠CEB+∠DCE)=90°.，.CD⊥AB.(2)由(1）知， 号eos∠ADC=子.在R△ACD中，：co8∠ADC-C ∠BEC=∠BCE,.BE=BC."AF=EF,FM⊥AB,.MA= AD ME=OM+OE=2...AE=MA+ME=4.,.OB=OA=AE- 5,AD=10.∴CD=6.AC=/AD-CD=8..只=3 3 OE=3...AB=0A+OB=6,BC=BE=OB-OE=2./ACB 4 =90°，∴，AC=√/AB-BC=√62-2=4√2. :∠FCD=∠FAC,∠F=∠F,∴△FCD∽△FAC.e-焉 9.c10.c1.c2.D139 F元-子，FC=FD·FA设FD=3x,则FC=4x,FA=3x FD 3 14.解：(1)证明：连接OA.BE是⊙O的直径，·∠BAE=90 +10,(4a)=3x(3x+10),解得x=9或=0（含去）.∴FD ∠BAO+∠OAE=90°，：OA■OB,∠ABC=∠BAO. ∠EAC=∠ABC,.∠CAE=∠BAO..∠CAE+∠OAE= =3=9 90°..∠OAC=90°.，OA是⊙O的半径，.CA是⊙O的切 线.(2)∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,.△ABC∽△EAC.. 7.解：(1)CD与⊙O相切，理由如下：连接OD,DB,'点E是线段 OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D,DE垂直平分OB..DB 能-器品-音∴BC-16.BE=BC-CB=12连接 OE OD 1 BD.,AD平分∠BAE,∠BAD=∠EAD..BD=DE.. -DO,OE-BE.BCOB,OB-OD,.. BD=DE.BE是⊙O的直径，.∠BDE-90°.DE-BD ∠DOE=∠COD,∴.△EOD∽△DOC..∠CDO=∠DEO.' DE⊥AB,∠CDO=∠DEO=g0°，∴.OD⊥CD.又，OD为⊙O 号BE-6E 的半径，CD为⊙0的切线.(2)这个确定的值是7，证明：连 15.70°16.B17.C18.20 19.解：(1)证明：：AB是半圆O的直径，∴.∠ACB=90°.：∠D 接0P,南已知可得，0P-0B-BC-20E÷8票-瓷-宁又 ∠ABC=60°，∠CAB=90°-∠ABC=30°.∠ABD=180 -∠CAB-∠D=90°..BD⊥OB.又'OB是半圆O的半径 :∠POE-∠coP,∴△0EP△0PC跽-8瓷- .BD是半圆O的切线.(2)连接OC.OC=OB,∠ABC= 60°，.△OCB为等边三角形.∴.∠COB=60°，OC=CB=3. 8圆内接正多边形 ∠A0C=180°-∠C0B=120.∴le=120xX3=2元 1.B2.C3.C4.B5.A6.D7,√3cm8.A 180 9.图路. 1 20.C21.(8-2②)22.m-7 10.D11.A12.A13.A 14.解：连接OB,OC,OD.等边三角形ABC内接于⊙O,BD为 新课标·新情境·新题型·引领训练 ⊙0内接正十二边形的一边，∠B0C=号×360°=120， 192c3D ∠B0D-2×360=30.∠C0D=∠B0C-∠B0D=90 4.解：(1)240(2)∠BAD=∠FAD.理由如下：连接BD,FD.: 六边形ABCDEF是等边半正六边形，，，AB=BC=CD=DE= 0C=0D,∠0CD=45.0C=CD·cos45*=5v2X2 EF=FA,∠C=∠E..△BCD2△FED(SAS)..BD=FD.在 (AB-AF, 5(cm)..⊙O的半径R为5cm △ABD和△AFD中，BD=FD,△ABD≌△AFD(SSS).. 15.解：(1)连接OA,OB.:正三角形ABC内接于⊙O,.AB= AD-AD, BC,OA=OB,∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°.BM= ∠BAD=∠FAD.(3)如图（答案不难一）. CN,.AM=BN..△AOM≌△BON(SAS)..∠AOM ∠BON..∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM.'.∠MON= ∠A0B=120°.(2)90°72°(3)∠M0N=360 9弧长及扇形的面积 1.(D4x(2)10(3)40°2.10m3.4x4.455.5 6.(1)4π(2)4 42s九下·参考答案小专题12 与圆的切线有关的计算与证明 题型1切线的性质 3.如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线， +方活指身 AC,CD是⊙O的弦，且CD⊥AB,垂足为E, 当已知圆的切线和切点时，通常需要连 连接BD并延长，交AM于点P 接圆心和切点，得到切线与半径垂直. (1)求证：∠CAB=∠APB. 十十十”十十+n++m中十十十十十+++++”+十+十 (2)若⊙O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长. 1.如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一 P M 点，D为BA的延长线上一点，连接CD.若 DC与⊙O相切，E为OA上一点，且 ∠ACD=∠ACE.求证：CE⊥AB. 7D D 2.(2024·临夏州)如图，直线1与⊙O相切于点 4.(2023·无锡)如图，AB是⊙O的直径，FD是 D,AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥I于点 ⊙O的切线，CD与AB相交于点E,直线 E,延长AB交直线l于点C. DF∥AB,交CA的延长线于点F,CF=CD. (1)求证：AD平分∠CAE. (1)求∠F的度数。 (2)如果BC=1,DC=3,求⊙O的半径 (2)若DE·DC=8,求⊙O的半径 82 名校深发·数华1九年下 题型2切线的性质与判定的综合 +厅活指身+++++++++++++++ (2)若AD-10,cosB-号，求FD的长. 涉及证明圆的切线时，一般有以下两种 情况：(1)连半径，证垂直，得切线，(2)作垂 直，证半径，得切线， 5.(2024·武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点 D,底边BC与半圆O交于E,F两点. (1)求证：AB与半圆O相切. (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC 的值。 7.古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切平面图 形中，最美的是圆形.”请研究如下美丽的圆. 如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点 C,使BC=OB,点E是线段OB的中点， DE⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动 点（不与点A,B重合），连接CD,PE,PC. (1)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明 理由 (②小明在研究的过程中发现瓷是一个确定 的值，请猜想这个确定的值是多少，并加 以证明. 6.(2023·张家界)如图，⊙O是△ABC的外接 圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一 点，连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD. (1)求证：CF是⊙O的切线： 4名管83