2.3 确定二次函数的表达式&小专题5 求二次函数表达式-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

3确定二次函数的表达式 第1课时利用待定系数法求二次函数表达式 6.(教材P43习题T1变式)若二次函数的图象 基础题 经过点(1,6)，且当x=一1时，函数的最小值 知识点1利用一般式求二次函数的表达式 为2，则这个二次函数的表达式为 1.已知二次函数y=x2十b.x一2的图象与x轴 (填一般式) 的一个交点坐标是(1,0)，则二次函数的表达 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图 式为 ( 象的顶点坐标为(4，一3)，该图象与x轴相交 A.y=x2-2x B.y=x2十x-1 于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横 C.y=x2+x-2 D.y=x2-x-2 坐标为1. 2.已知二次函数y=a.x2十b.x+1,当x=1时， (1)求该二次函数的表达式. y=2:当x=2时，y=一5，则该二次函数的表 (2)求tan∠ABC的值. 达式为 3.已知抛物线y=a.x2+bx十1经过点(1，一2)， (-2,13). (1)求a,b的值 (2)若(5，y1),(m,y2)是抛物线上不同的两 点，且2=12一y,求m的值. 知识点2利用顶点式求二次函数的表达式 4.若抛物线的顶点坐标是（一2,1）且经过点(1，一8)， 则该抛物线的表达式是 5.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次 函数的表达式为 知识点3利用交点式求二次函数的表达式 8.(教材P45习题T2变式)经过A(4,0), 12345 B(一2,0)，C(0,3)三点的抛物线表达式是 38 名校误常·象学1·九年量下·s (2)当水面宽10m时，达到警戒水位，如果 B中档题一 水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么 9.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y 达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔 2-4女十3相同，顶点坐标为（一2,10.则该 将被淹没？ 抛物线的函数表达式为 (填一般式) 10.二次函数y=a.x2十bx+1中的x,y的部分 对应值如下表： 2 C综合题 (1)该二次函数的表达式为 13.如图，已知抛物线y=一x2一2m.x一m2十m (2)m的值为 (m>0)与y轴交于点A,其对称轴为直线1， 11.已知二次函数的图象经过点(2，一3)，对称 顶点为B 轴为直线x=一1，抛物线与x轴的两个交点 (1)当m=1时，求抛物线的对称轴及点A的 之间的距离为4，则这个二次函数的表达式 坐标 为 12.【情境素材题】（教材P44习题T3变式）如 (2)直线y=3mx与抛物线交于点CD(点 图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽 C在点D右侧)，与抛物线的对称轴交于 AB为20m此时拱桥的最高点到水面的距 点P,且OP=3OC,求抛物线的表达式. 离为4m. (1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立 恰当的平面直角坐标系，求出这个二次 函数的表达式 4名胶管39 第2课时 由三点确定二次函数表达式 4基础题 B 中档题一 知识点已知三点坐标求二次函数表达式 4.若y=a.x2+b.x十c,则由表格中的信息可知y 1.(教材P44例2变式)已知二次函数y=a.x2十 与x之间的函数表达式是 bx十c的图象经过点（一1,0），(0，一2)，(1， r -1 0 一2)，则这个二次函数的表达式为 ax 1 ax+bx+c 8 3 2.如图，在平面直角坐标系 A.y=x2-4.x+3 B.y=x2-3.x+4 v C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8 中，一条抛物线经过点A, 5.如图，抛物线y=ax2十bx十c经过点A(一1， B,C,且A,B,C三点均在 0),点B(2,一3)，与y轴交于点C(0,-3),抛 格点上，则该二次函数的表 物线的顶点为D. 达式为 (1)求抛物线的表达式： 3.抛物线y=ax2+bx+c中的x,y的部分对应 (2)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积 值如下表： 是△BCD面积的4倍，若存在，请求出点 -2 -1 01 P的坐标；若不存在，请说明理由. 4 30 (1)把表格填写完整， (2)在平面直角坐标系中画出函数图象。 (3)根据表格的数据填空： ①抛物线与x轴的交点坐标是 ,顶点坐标是 ②在对称轴右侧，y随x增大而 ③抛物线的函数表达式为 543当 L23.4567 40 名校误意·象学1·九年量下·塔 小专题5求二次函数表达式 类型1利用待定系数法求二次函数表达式 类型2利用平移、对称求二次函数表达式 1.已知二次函数的图象经过点A(1,一2)和 4.已知抛物线y=-x2+2x+1. B(0,一1)，且对称轴为直线x=1,求这个二 (1)先向右平移3个单位长度，再向下平移2 次函数的表达式 个单位长度得到的函数表达式是 (2)关于x轴对称的抛物线的表达式为 (3)关于y轴对称的抛物线的表达式为 2.已知二次函数y=a.x2一5a.x十c的最小值为 可法指身 是，其图象过点D(0,),求这个二次函数的 (1)二次函数的平移变化 上加下减常数项，左加右减自变量 表达式 ①抛物线y=ax2十h.x十c向左（右）平 移m(m>0)个单位长度，得到抛物线y= a(x士m)2+b(x士m)十c: ②抛物线y=ax2十bx十c向上（下）平 移n(n>0)个单位长度，得到抛物线y axr2+bx+c士n. (2)二次函数的对称变化 3.抛物线y=ax2十bx十c与x轴的交点坐标分 ①关于x轴对称 别是（一1,0），(3,0). 抛物线y=a.x2+bx十c关于x轴对称 (1)求这条抛物线的对称轴. 后，得到抛物线y=一ax2一b.x一c: (2)若该抛物线最高点到x轴的距离为4，求 抛物线y=a(.x一h)2十k关于x轴对 该抛物线的解析式。 称后，得到抛物线y=-a(x一h)2一k, ②关于y轴对称 抛物线y=a.x2十bx十c关于y轴对称 后，得到抛物线y=ax2一bx十c: 抛物线y=a(x一h)十k关于y轴对 称后，得到抛物线y=a(x十h)2十k. 名酸置 41一一（一4）十4十m,解得m一16.，平移后抛物线的表达式为 小专题3二次函数的图象与性质 =-x十20. 1.A2.D3.D4.D5.D6.D7.B8.C9.D10.D 17.B 11.B12.(1,2)13.110 第3课时二次函数y=a(x-h)和 14.解：(1)，y=一2+2.r=一(.x-1)2+1,∴，抛物线=一 y=a(x一h)P+k的图象与性质 2r的顶点坐标为(1,1)，，抛物线y=一x2十x(h为常数)的 1.略2.D3.y=(x+1)(容案不唯一) 顶点横坐标比抛物线y=一x十2x的顶点横坐标大1，抛物 4.解：(1)：抛物线5y=a(x+h)的对称轴是直线x=一2，，一h =一2，解得h=2.∴抛物线的表达式为y=(r十2).抛物线 线y=一t+r(6为常数)的顶点横坐标为2.六一2x- =2..b=4,(2)由(1)可得y=一x2十br=一x+4x,点 y=u(r十2)P过点(1，-3)，.-3=9a,解得a= Γ3。心抛物 A(为)在抛物线y=一十2x上，点B(不十，为十h)在地 线的表站式为=-子(+2.(2)>-2-2大0 物线y=一2+4x上·y=一+2r,为+4=一（十 t)+4x+t)..-+2x十h=一i一2tr一1+4r1+4 5.D6.C7.a>01-28.A9.下1 .h=-一2.1十2x1十4.①h=31,.31=--21+ 10.(1)m≤1(2)m≥】 2十4，整理，得(t+211)■1+2r1,x1≥0,1>0，，1=1， 11.CDAC12.2成413.D14.C ∴.h=3.②将x,=1-1代人h=一-211十2x1十41，得h 15.解：(1)将(-3,0)代人y=4(x+1)+2,得0=4d十2，解得a -3对+8-2=-31-专)+号：-3<0.∴当1=号时h 7,”抛物线的对称轴为直线x-一1，A,B两点关于对 取最大值，最大值为号。 称轴对称点B的坐标为(1,0.(2)”y=一（红+1）产+2. .P(-1,2).A(-3,0),B(1,0),.AB=1-(-3)=4., 15解：1)①是是②略.③略.(2)-1<<0或>1 (3)①函数图象是轴对称图形②无论x取何值，函数值y都 SM=2X4X2=4. 是非负数(4)a<b 16.解：(1)当x=1时，函数有最小值，为一4：当x=4时，函数有 小专题4根据函数性质判断函数图象 最大值，为(4一1)一4=5..当一1≤≤4时，二次函数的最 1.B2.D3.C4.D5.D6.C 大值是5，最小值是一4，(2)，二次函数y=(x一1)一4，∴，该 3 确定二次函数的表达式 二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x=1,①若点M在 对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧，则 第1课时利用待定系数法求二次函数表达式 n-2<1, 1.C2.y=-4x3+5.r+1 2n+3>1, 解得一1<u<3:②若点N在对称 3.解：(1)把(1，-2)，(-2,13)代人y-dx+br+1,得 1-(n-2)>2m+3-1. H-2>1, 站i。解得（公二42）由得，抛物线的表达式 轴的左侧，点M在对称轴的右侧，则2n十3<1， 为y=x2-r十1，把x=5代人y=x2一4x+1,得y=6,,y 1-(2n+3)<n-2-1, =12一y=6.”y=为，抛物线的对称轴为直线x=2,.5-2 此不等式组无解，综上所述，：的取值范围是一1<< =2一m.,m=一. 4.y=-(x+2)+15y=-(r-2)+36.y=+2r+3 第4课时二次函数y=ax2十br十c的图象与性质 7,解：(1)由题意可设二次函数的表达式为y=a(r一4)一3(4 1.y=(x一2)'+12.x=一20一2a 3.(1)x=-5 0.把A(1,0)代人，得0=a1-4-3,解得a=子.六该二次 (-5,-30)(2r=11.5)4.5 5.-26.直线x=1 8 函数的表达式为y=言(x-4)-3,即y=言-号+子 7.A8.B9.C 10.解：(1)：y=一x2十2.x十3=一《x一1)F十4，.函数图象的顶 (2)令r=0,则y=子∴(0C=号：二次函数图象的颜点坐标 点坐标为(1.4)图象略.(2)①，<为②当-1<<4时，y 为(4，一3)..点B与点A关于直线x=4对称.又A(1,0), 的取值范围是一5<y4. 11.(1)y=一2一x一2(2)右（或下）1（或2）下（或右） 2(或1)12.D13.C14.2.5min B(7,0.∴.OB=7..tan∠ABC=OB=7 15.解：(1)，点D(3,0)在抛物线y=2-2x+c上，.9一6十c 0,解得c■一3..y=x一2x一3=(x一1)一4..点A的坐标 y=-r+r+89r+2+8 3 为(1，一4)，'点4在直线y=x一4上，.1-a=一4，解得a 3 5.(2)h(1)可知，y=x-2x一3..B(0,一3)..BD=(0 10.ay=-3+1251y=-音r-号+号 3)'+(-3-0)2=18,AB=(0-1)+[-3-(-4)]=2 12.解：(1)图路，以水而所在直线AB为x轴，水面AB的垂直平 A0=(1-3)1+(-4-0)=20..BD+AB=AD). 分线为y轴建立平面直角坐标系，，A(一10,0)，C(0.4),设这 △AD是直角三角形， 个二次函数的表达式为y=a.r十4(a≠0)，则100a十4=0.解 16.解：(1)：抛物线y=一x2十b.x十c(b,c是常数)经过点A(一1. 0),0=一1一十c,.=b十1，.当b=2时，心=3..抛物线 得@=一2方·六这个二次函数的表达式为y=一23不+4. 的表达式为y=一x十2x十3=一(x一1)十4.抛物线顶点 P的坐标为(1,4)，(2)由题意得，抛物线的对称轴为直线x (2)当水面宽10m,即r三5时，y=一石×子+4=3.此时水面 之，D当点Cb1+)和点D(b+1,0)都在对称轴的左制时， 离拱顶4一3=1(m),1÷0.2=5(h).答：达到警戒水位后，再过 5h此桥孔将被淹没， 则合≥6十1，解得≤-2.：当自变量满足b≤≤b十1时：少 13.解：(1)当m=1时，抛物线的表达式为y=一一2r,则其对 称轴为直线x=一1.当r=0时，y=一x一2x=0,故点A的 随x的增大而增大，.m=0.n=1十h.:m一一3，.0一b一1 坐标为(0,0).(2)P,O.C三点共线，由OP=3C如，xr =3,解得6=一4②当点C(b,1十)和点D(h+1,0)都在：对称 3,抛物线的对称轴为直线x=一m,x,=一m,= 轴的右测时，则名<6，解得6≥0.：当自变量满足仁≤6+1 .当x一一时·y一5一一，之点C的坐标 时，y随r的增大而藏小，.m=1十b,=0.m一n=3,.1十 b一0一3，解得b一2.综上所述，b的值为一4或2. 为( 了m,一加入.将点C的坐标代人地物线表达式，得 微专题1 【例】-25-10<x=一1一3下增大一3< m=一(-m)-2m·(-子m)-m+m,解得m=0 下x=一1小远<小大 (舍去)或m=3..抛物线的表达式为y=一一x一6， 【变式1】y<h<为【变式2】< 第2课时由三点确定二次函数表达式 微专题2 1.22.1-83.04.10 y=r-x-22.y=-石+是x+4 368九下·多考每实 3.解：(1)3(2)描点，连线，画出函数图象略，(3)①（一3,0）和(1， 0)(一1,4)②减小③y=-x一2x+3 号x)=-号2+80r=-号-60+240,:-号<0， 4.A 当x=60时，S影o取最大值，此时PN=60mm,PQ=80 5.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(2,一3) fa-b十e=0, 二号×60=40(mm.答：达到这个最大值时矩形零件的两条边 fa=1. C(0,-3),)4a+26+c一-3，解得6--2，抛物线的表达 长分别为60mm和40mm =-3, c=-3. 10.1.5 式为y=x2一2.x一3.(2)存在，理由如下：”y=x2一2x一3=(x 第2课时利用二次函数解决利润问题 -1)-4,.D(1,-4).又B(2,-3),C(0-3),.BC∥x 1.B2.25 轴，BC=2.S6m=之X2X1=1,设点P的坐标为(m,m 3,解：(1)设y关于x的一次函数表达式为y=r十b,把r=20,y 2m-3,5=子×2×m-2m-3-(-31=m-2m =360和x=30,y=60代人.得(20t士360·解得 30k+b=60, =4.解得m=1士√5..点P的坐标为(1十5,1)或(1一5,1). 怎一30·y=-30r+960(10≤r≤32).(2)设每月所获得的 b=960. 小专题5求二次函数表达式 利润为W元，根据题意，得W=(-30x十960)(x一10)= 1.解：设这个二次函数的表达式为y=a.x+bx十c,根据题意，得 -30(x-21)9+3630.-30<0,10≤x≤32，.当x■21时 W取最大值，最大值为3630.故当每件商品的销售价格定为21 a+h+c=-2, =-1, /a=1. 元时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元 解得)=一2，，二次函数的表达式为y=x 4.(30-x）(20十x)一+10r+600(0≤r≤30，且r为整数) c=-1. 56255.202400 6,解：(1)20.(2)设销售单价为元，当天销售这款免洗洗手液 -2x-1. 2.解：二次函数y=ax2一5a.r十c的图象过点D(0.4),.e=4 的利润为元，根据题意，得=[200一20(x一16)门(x一16) -20.x2+840x-8320=-20(x-21)2+500.-20<0,∴.当 y二改函数y-ar-5r+e的最小值为-子， x=21时，取最大值，最大值为500.答：当销售单价为21元 时，当天销售这款免洗洗手液的利润最大，最大利润为500元， 4a·4-(-5a)2 9 =一且a>0.一a=1.一这个二次函数的表 7.解：(1)？抛物线的顶点坐标为(2，千)心设抛物线的表达式 达式是y=x2-5x+4. 3,解：(1)抛物线y=ax十r十c与x轴的交点坐标分别是 为的■a(x一 子义：抛物线过点(2，号4十子 （一1,0)，(3,0)，这条抛物线的对称轴为直线r=十3-1 (2),抛物线y=a.r+br十e与r轴的交点坐标分别是(-1， 4a=%=(红-文)+子 ，(2)由题意，得当销售量x 0),(3.0)+.y-a(r+1)(x-3)-ar-2dr-3a-a(r-1)F 之时，成本最低，为子又：销售量在0,4吨至3.5吃之间时。 4,“该抛物线最高点到轴的距离为，·最高点的纵坐标为 4或一4，且<0.当最高点的纵坐标为4时，一4a一4，解得a= 饰售额与销售量x的函数表达式，=5…当=立时，销 一1：当最高点的纵坐标为一4时，一4a=一4，解得a=1(不合题 意，舍去)，y=一十2r十3. 售额%=5r=5×号=2.5.六此时利润为2.5-乙 =0.75(万 4.(1)y=-(x-4)(或y=-x2十8.x-16) 元).答：当成本最低时，销售产品所获利润是0,75万元.(3)设 (2)y=(x-1)1-2(或y=x-2x-1) (3)y=-(x+1)2+2(或y=-x2-2x+1) 利润为0万元，由题意，得0=y一头=5江一【（一之”十子门 4二次函数的应用 一r十6x-2=一(x一3)十7.一1<0，，当r=3时，取 第1课时利用二次函数解决面积问题 最大值，最大值为7.客：当销售量是3吨时，可获得最大利润 最大利润是7万元 1.C2.450 8.解：(1)略(2)观察表格可知，销售量是售价的一次函数.设销 3.解：设AW=xm,则MB=(2一x)m,截取的两块相邻正方形板 售量为y盆，售价为x元，y与工之间的两数关系式为y■kx十 料的总面积为ym.根据题意，得y=x十(2一x)=2(x一1) +2.2>0,.当x=1时，y取最小值.答：当AM的长为1m 公把18y一5r一20y一50分别代人，得28十有6：解 时，截取的两块相邻的正方形板料的总面积最小， 4.50 得大二2y-一2r+90,(3)①根据题意，得(-15)(-2r 1b=90. 5.解：(1)号(4-号)(2)①根据题意，得y-BD·BF-(4 十90)=400，解得x=25或x=35,答：要想每天获得400元的 利润，应定价为25元/盆或35元盆.②设每天获得的利润为 受y-2+@当x -4 =4时，y的值最 元，根据题意，得=(x一15)（一2x十90）=一2x2十120x-1 2×(-立 350=一2(r-30)十450.一2<0..当x=30时，o取最大 大，最大值是8. 值.答：当售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润. 第3课时利用二次函数解决实物抛物线问题 6.解：1BC=rm,AB=寸(60-r)m.∴y=x·方(60-) 1.162.y=-(x+6)+4 =-3+200<x≤25.(2)y=- 7+20.x= 1 3,解：(1)由题意得，地物线的顶点P(5,9).,可以假设抛物线的 3-30)十300.0<≤25，当x=25时，y的值最大 表达式为y=a(t一5)+9.把点(0.0)代人，可得a=25 最大值为-言×(25-0护十300-，答：当一25时，养鸡 抛物线的表达式为y=一 25(r-6)十9.(2)令y=6,得 场的而积最大，最大面积是8三 9 m2. 3 -5+9=6，解得名=55+5,6=-55+5. 3 3 7.1.58.4 9.解：(1)设正方形PQMN的边长为rmm,则PN=PQ=D A5-5 .6).B(5+53 xmm..AE=AD-ED=(80一x)mm.'PN∥BC.,.△APN 4.2 △AC院-能即高-0解得一8，答：加T成 5.解：(1)根据题意可得，抛物线过点(0,10)，(3,7)，对称轴为直线 x=1,设y关于r的函数表达式为y=ax十b缸十c,则 的正方形零件的边长是48mm,(2)设PN一rmm,矩形PQMW =10, 1a=-1. 的面积为Smm,易证△APN△ABC,六院-带即高 9阳十3动+c=7解得2，∴y关于r的函数表达式为￥ 80P,∴PQ-(80-是r)mm.Ssow=PN·PQ=r80 2a =1 e=10. 80 x2十2x+10.(2)在y=-2十2x+10中，令y=0.则0= 8九下：参考答南37