1.6 利用三角函数测高-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

6 利用三角函数测高 A基础题 D知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度 4.【情境素材题】(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市 知识点1 测量倾斜角 著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的 1.(教材P22“活动一”变式)测量倾斜角可以用 美誉,在一次综合实践活动中,某数学小组用 测倾器,简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组 无人机测量黄鹤楼AB的高度,具体过程如 成(如图1).测量时,使支杆OM、铅垂线和度 下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面 盘的0刻度线重合(如图1),转动度盘,使观 102m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为 测目标P与直径两端点A,B共线(如图2) 45^{*},底端B的俯角为63^{},则测得黄鹤楼的高 度是 此时目标P的仰角 POC一 m.(参考数据:tan63*~2) 63 102m _-.C 水平线 面 )) 5.(2024·陕西)如图所示,一座小山顶的水平 观景台的海拔为1600m,小明想利用这个观 图1 图2 景台测量对面山顶点C处的海拔,他在该观 D知识点2 测量底部可以到达的物体的高度 景台上选定了一点A,在点A处测得点C的 2.如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地 仰角 CAE=42*,再在AE上选一点B,在点 面点D处测得标志物的仰角为32*,若点D到 B处测得点C的仰角g=45^{*,AB=10m.求 电线杆底部点B的距离为3米,则电线杆AB 山顶点C处的海拔.(小明身高忽略不计,参 的长为 米.(结果精确到0.1米,参考数 考数据:sin42*~0.67,cos42*~0.74,tan42* 据:sin32~0.53,cos32~0.85,tan32*~0.62) 0.90) - ### 第2题图 第3题图 3.如图,某数学小组要测量校园内旗杆AB的高 度,其中一名同学站在距离旗杆12米的点C 处,测得旗杆顶端A的仰角是30{*},此时该同 学的眼睛到地面的高CD为1.5米,则旗杆的 高度为 米,(结果精确到0.1米./③~ 1.73) 16 名校课·数学1·九年级下:B8 B中档题 开展了“测量风电塔简高度”的实践活动,如 图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪 6.(2023·宁波)某综合实践研究小组为了测量 CD.EF在AH两侧,CD-EF-1.6m,点C与 观察目标时的仰角和俯角,利用量角器和铅 点E相距182m(点C,H,E在同一条直线上). 锤自制了一个简易测角仪,如图1所示。 在D处测得简尖顶点A的仰角为45^{},在F处 (1)如图2,在点P观察所测物体最高点C,当量 测得简尖顶点A的仰角为53{},求风电塔简 角器零刻度线上A,B两点均在视线PC上 时,测得视线与铅垂线所夹的锐角为&.设仰 角为3,请直接用含a的代数式表示B (2)如图3,为了测量广场上气球A离地面的 高度,该小组利用自制的简易测角仪在点 B,C分别测得气球A的仰角ABD为 37*. /ACD为45*},地面上点B,C.D在回 3F 一水平直线上,BC一20m,求气球A离地 面的高度AD.(参考数据:sin37{}~0.60. cos37*~0.80,tan37*~0.75) ### # 图1 图2 图3 C综合题 7.(2024·甘肃)习近平总书记于2021年指出; 中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前 实现碳中和,甘肃省风能资源丰富,风力发电 发展迅速,某学习小组成员查阅资料得知,在 风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的 高度是一个重要的设计参数,于是小组成员 A&178.解：∠A=902-∠B=90°-55°=35.：1anB=AC, BC,sinB= AC 一BF-AF-CG-7.15一1.55.7（米）.答：无人机到展台的 AB 距离AB约为5,7米. ∴BC=AC=an55≈2.8，AB-m点=← nE5in53≈4.9 10.解：(1)由题意可得，PQAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ= 1.6m,AE=BQ=4m,AC=BD=3m,.CE=4-3=1(m), 9.2或1410.B11.C2.913. PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°..CE=PE.∴.3 PE 1 1+.解：(1)在Rt△DEA中，：DE=2,inA= 3AD=DE 2 nA=2 ∠PCE=45,ana=tn∠PAE-AE=T.(2):CE=PE- 1m.∠CEP=g0',.CP=√T+1=2(m).过点C作CHI ×2=3.AB=BD+AD=12.在R△ABC中，：AB=I2, CH I AP于点H.:tna=tan∠PAE=A月=子CH=rm,则 smA-号BC-AB·nA-12×号-&.(2)在R△ABC AH=4rm+(4=9,解得r=7.“CH=3y .m. 中，AB=12,BC=8,∴.AC=AB-BC=45,在Rt△DEA 317 中，DE=2,AD=3,.AE=AD-DE=5.∴CE=45 17 334 5=35.∴.CD=CE+DB=/(3,5)+2=7,在 sin∠Pc-C是_ CP 34 R△DBC啡，os∠CDE--号，'DE/BC,∠CDE 6利用三角函数测高 1.30°2.3.73.8.44.51 ∠BCD.cos∠BCD=cos∠CDE= 5.解：过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D,设CD=xm,在 7 Rt△CBD中，∠CBD=45°=∠BCD,.BD=CD=xm.在 15.解：探究：过点B作BD⊥AC于点D.AB=c,∠A=a,BD =c·ina.Sam=之AC·BD=专bosine,.应用：过点C作 R△CADt.∠CAD=42.AD=am2=09“AB=10m, CE CE⊥D0于点E.ina=C品CE=CO·sina.在□ABCD 六0.9一x=10,解得r=90.山顶点C处的海拔为1600+0 -1690(m). 中，AC=a,BD-6.C0-za.Sm-2CE·BD-× 6.解：(1)根据题意，得3=90°一a,(2)设AD=xm,,'∠ACD 45.∠ADB=90°.∴∠ACD=∠CAD=45..CD=AD=xm 7 asina·=-ubsina.∴5mn=2Sm=7 absina… BC=20m,.BD=(20十x)m.在Rt△ABD中，tan∠ABD AD 小专题1解直角三角形的常用方法 D六tnn37-20十，甲0,520千，解得x-60.AD 1A2.c3D4.号5A6.B 60m.答：气球A高地面的高度AD约为60m, T,解：连接DF交AH于点G.,DC⊥CE,FE⊥CE,∴.DC∥FE 7.解：，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC=4,∠A=∠B.由 :DC=EF=I.6m,.四边形DCEF为平行四边形..DF∥ 折叠的性质，得△AEF≌△DEF,.∠EDF=∠A,AE=DE= CE,DF=CE=182m..∠AHE=∠AGF.AH⊥CE, 3.·∠EDF=∠B..∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+ ∠AHE=∠AGF=∠AGD=∠DGH=90°，，四边形DCHG ∠BDF+∠B=180',∴.∠CDE=∠BFD,:AE=3.AC=4, 为矩形..DC=GH=1.6m.设AG=xm,在Rt△ADG巾， CE=4-3=1.'在Rt△BCD中，in∠CDE=票= 1 ∠ADG-瓷m5-六DG=rm.在R△AFG中 ÷sin∠BFD- 3 m∠APG-瓷an53=元FG子mr+子r 182,解得x=104.AG=104m,.AH=AG+GH=105.6m 8B9D10.D.C12.号1a8 ∴.风电塔筒AH的高度约为105.6m, 10 I4.解：过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,则∠BCD 小专题2构造直角三角形解决实际应用问题 180°-∠BCA=45BD=CD=号BC.设AC=k(k>0),则 1.解：过点C作CD⊥AB于点D,在R1△ADC中，AC一6千米 AD ∠CAD=60'.cos∠CAD= AC.AD-AC. C=EAC=k.BD=CD-号BC-无AD=AC+(CD AC·sin∠CAD-CP. eos∠CAD=6Xcos60°=3（千米），CD=AC·sin∠CAD=6X 2kamA-0-嘉- sin60°-33（千米）.在Rt△CDB中，∠CBD-37,CD-33千 CD CD 33.35 15.解：过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,则∠ADC 米.an∠CBD=D品DB-an CBD-an分≈.元-4，（千 90,在R△ADC中，∠C=45dAD=DC-号AC=6,反.y 米).∴.AB=AD+DB=3+433+4×1.73≈9.9（千米）.答： 改造后公路AB的长约为9.9千米。 ∠ABC=120°，·∠ABD=60.在R1△ABD中，，n∠ABD 2.解：(1)根据题意，得∠NAC=80°，∠BAS=25,,∠CAB= BD=tan60*=/3,AD=6:BD=26.BC=DC-DB 180°-∠NAC-∠BA5=75°.∠ABC=45..∠ACB=180 一∠CAB一∠ABC一60°，(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,在 =6√2-26， Rt△ABD中，AB=3,2km,∠ABD=45",.AD=AB·sinl5 5三角函数的应用 =3v2×-3(km,BD=AB·cos45=32×号-3(kn. 1.C2.10.4 3.解：过点P作PC⊥AB于点C,由题意，得∠A-37°，∠B-45 在R△ADC中，∠ACD=60,∴.CD= AD 3 =√3(km) 在R△APC中，，∠A=37,AP=100海里，.PC=AP·simA =100·sin37≈100×0.60=60（海里），AC=AP·cos37=100 .BC=BD+(CD=(3十3)km.答：检查点B和C之间的距离 ×0,80=80(海里).在R△PBC中，，∠B=45,.BC=PC (3+√3)km 60海里..AB=AC+BC=80十60=140（海里）.答：B处距离 3.解：过点C作CF LAB.垂足为F,,”AE LAB,∠EAD=45”, A处140海里. ∠BAD=45..在R1△ABD中，BD=AB=873m.ABI 4.A5.3m6.627.1.68.B BD.CF⊥AB,DC⊥BD,.∠CDB=∠B=∠CFB=90..四边 9.解：延长AB交DE于点F,过点C作CG⊥EF于点G,则四边 形CDBF是矩形，.BF=CD,CF=BD=873m,,'CF∥AE, 形BCGF为矩形，，BF=CG,PG=BC=2米，在R1△CG中， tan∠CDG=i-3t4.CD=2.5米，∴.设CG=3.r米.则DG=4u ∠EAC=∠ACF=37.在R△ACF中，tanLACF=F,:AF 米.，CG+DG=CD,,(3.x)十(4x)=2.5,解得T=0.5 =CF·tan,∠ACF=873×tan37≈654.75(m)..CD-FB (负值舍去)，.CG=1.5米.DG=2米..EF=FG十DG+DE AB-AF=873-654.75=218.25≈218.3(m).答：吉塔的高度 =2+2+1=5(米).在Rt△AEF中，∠AEF=55,tan∠AEF CD约为218.3m. AF=EF·tan∠AEF≈5X1,43-7,15(米)，AB=AF AF 4.解：延长BA交PQ的延长线于点C,则∠ACQ=90°，根据题意 得BC=225m.PQ=200m,在Rt△BCQ中，∠BQC=45,. 34心九下·参考每贵