1.4 解直角三角形-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

4解直角三角形 A基础题一 知识点1已知两边解直角三角形 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB 第5题图 第6题图 4,欲求∠A的度数，最适宜的做法是() 6.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AC的 A.根据tanA的值求出∠A B.根据sinA的值求出∠A 中点，BC=4,tan∠CAB=2,则AD的长为 C.根据cosA的值求出∠A () D.先根据sinB求出∠B,再利 A.1 B.2 C.4 D.8 用90°-∠B求出∠A 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A, 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，AB= ∠B,∠C所对的边，c=8√3，∠A=60°，求这 2√5，则∠A的度数为 ( 个三角形的其他元素， A.90°B.60°C.45 D.30° 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A, ∠B,∠C所对的边，b=20,c=20√2，则∠A= ,a= 4.(教材P16例1变式)在Rt△ABC中，∠C= 90°.已知BC=2√6，AC=6√2，求这个三角 形的其他元素 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=55°， AC=4,求这个三角形的其他元素.（边长精确 到0.1) 知识点2已知一边、一锐角（或锐角的三角 函数值)解直角三角形 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°， AB=10,则BC的长为 () 易错点对三角形的形状考虑不全致错■ A.10tan50° B.10cos50° C.10sin50 D.10 9.已知在△ABC中，∠A=45°，AB=4√2，BC= C0s50 5,则△ABC的面积为 10名检课发·数华1：九年吸下：的 (2)∠BCD的余弦值. B中档题一 10.若等腰三角形的底边与底边上的高的比是 2√5：1，则它的底角为 () A.15°B.30°C.45 D.609 11.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AD⊥BC于点D,BD=√3.若E,F分别为 AB,BC的中点，则EF的长为 () A 号 C.1 C综合题一 D 15.【类比思想】探究：如图1，在△ABC中，∠A=a (0°<a<90),AB=c,AC=b,试用含b,c,a 12.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2,cosC 的式子表示△ABC的面积. 号，则边AB的长为 B30 图1 图2 第12题图 第13题图 应用：如图2，在口ABCD中，对角线AC,BD 13.如图，已知在△ABC中，AB=3,∠ABC= 相交成的锐角为a.若AC=a,BD=b,试用 90,tan∠ACB=是，点D,E分别在边AC, 含a,b,a的式子表示口ABCD的面积. BC上，且BC=DC.若DE把△ABC的面积 平分，则DE= 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA= 号，点D,E分别在AB,AC上，DE LAC,垂 足为E,DE=2,DB=9.求： (1)BC的长. 4名校11参考答案 第一章 直角三角形的边角关系 7.C 8. D 9. 120* 10.C 1 锐角三角函数 第1课时 正切 -AB-5米,在Rt△ABD中.BAD-90”, D-30 $AD 1.C 2.D 3.6 4.解:'C-90”BC=12 cm,AB-20 cm.AC-AB-BC 16 .n0n1 ×5-5-3.66(米).答:CD的长度约为3.66米. 12.D 13.A 14.18 15.解:乙为锐角, sin(a+15”)-.得a+15*-60”,.a 5.C6.乙7. 8.18 9. B 10. D 11. D 12. D 13.75 14.解:圆圆的木棒CD更陆.理由;'AB-10cm.BE-6cm. 45..原式-2v/②-4×-1+1+3-3. AEB-90$'$AE- AB-BE-8cm.*AB的坡度为 16.解:过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点F,过点C作 AB的垂线,交AB的延长线于点E,又.AB/CD.'.四边形 AECF是矩形.在Rt△BCE中.CBE= BCD=60,BC 4<2②..圆圆的木裤CD更陆. -83-4/5.·乙ADC-135”.A.乙ADF-180*-135*- 15.解:(1):DE 1AC..AED= ACB=90DE//BC.. .A 4$5 .'.△ADF是等腰直角三角形.*DF-AF-CE-43·: FC-AE...FD+DC-AB+BE,即43+2-AB+4.'AB 4..AF-8..AD-VDE+AE-10.(2)'DE/BC. -4、3-2~5.答:垂尾模型中AB的长为5m. #D10..ci16 :ucDrF1- 17.B 3 三角函数的计算 16. 1.A 2. C 3. D 4. 10. 02 5. sin28”<tan26*<cos27” 6.解:(1)原式~0.45.(2)原式~0.52.(3)原式~0.64.(4)原式 第2课时 锐角三角函数 一0.78. 1.A2.C3.64 7.B 8.D 9.B 10.80 11.解:,A.C,E三点在同一条直线上,乙ABD-140”,D-50 '.E-140*-50-90”.在Rt△BDE中,DE-BD·cosD- 560Xc0s50~560×0.64-358.4(米).答:点E与点D之间的 距离约是358.4米. 12.5.7* 13.21m #00-0-#n0-m-0 14.解:(1)证明:.AB-AC。'乙B-ACB,AD-AC。. ADC= ACD.'B十 ACB+ADC+ ACD=180” $.2 ACB+2ACD=180'ACB+ACD=90:即 乙BCD-90”。'.DC1BC.(2)过点E作EF 1BC,垂足为F,在 R△DCB中,乙B-55,BC-1. 8 m..BD-BC 00~口.-8~ 1.8 3.16(m).·DE-2m...BE-BD+DE-5.16m.在 Rt△BEF中,EF-BE·sin55~5.16X0.82~4.2(m).答:曜 110)- 塑的高约为4.2m. 15.解:(1)过点C作OB的垂线,分别交仰角线、俯角线于点E.D 10.201.D1. 交水平线于点F,在Rt△AEF中,tanZEAF-E..EF= 13.12 AF·tan15*~130×0.27-35.1(cm).易证得△ADF2△AEF (ASA)...EF-DF-35.1cm.'.CE-CF+EF-OA+EF- $60+35.1=195.1(cm)...208-195.1=12.9(em).答:小杜 2.*AD=AC+CD- ③+2-13.(2)·D为BC的 最少需要下蹲12.9cm才能被识别.(2)过点B作0B的垂线, 中点..BC=2CD-4.在Rt△ABC中,AB=AC+BC 分别交仰角线、俯角线于点M,N,交水平线于点P,在 #:nBn0_ Rt△APM中 tan之MAP-M AP..MP=AP· tan20'~150X 0.36-54.0(cm).易证得△AMP△ANP(ASA).'MP N$=54.0cm.'$BN=BP-NP=OA-NP-160-54.0 106.0(cm).'小若路起脚尖后头顶的高度为120+3= C一 123(cm)..,小若头顶超出点N的高度为123-106.0= 17.0(cm)>15cm.'.小若踮起脚尖能被识别. 4 解直角三角形 } 1.C 2.D 3.45 20 16.(8.12) 2 30{,45{*,60{}角的三角函数值 乙A-90”-30”-60”,AB-2BC-46 1.D 2.B 3.A 4.5.1 6.解:(1)武-3++-3(2)寸 5.B 6.C 7.解:'乙A-60”.乙B-90”-乙A-30”.,sinA--.cosA- -8、3×=43. 33 BS下,答来 一BF-AF-CG-7.15-1.5~5.7(米).答:无人机到展台的 距离AB约为5.7米。 4 4 .BC-AC 10.解:(1)由题意可得,PQ1AE.PQ-2.6m.AB-CD=EQ tan tan55~2.8.ABAC sinB sin55~4.9. 1.6m.AE-BQ-4m,AC-BD-3mCE-4-3-1(m). 13.- 9.2或14 10.B 11.C 12. PE=2.6-1.6=1(m).CEP=90” $CE=PE.= 1m. CEP=90.CP=v1+1-2(m).过点C作CH $3=3. AB-BD+AD=12.在Rt△ABC中.'AB=12. AH m. 中,AB-12,BC-8.$AC-AB-BC-45.在Rt△DEA 3v17 中,DE-2,AD=3.AF-AD-DE-.'CF-45 5=3V5.CD-VCE+DE-(3)+2-7. 在 6 利用三角函数测高 (D二 1.30* 2.3.7 3.8.4 4.51 5.解:过点C作CDAE交AE的延长线于点D,设CD一tm.在 15.解:探究:过点B作BD1AC于点D..AB=c.A=.'$BD R△CBD中.CBD=45*=BCD.'BD=CD=xm.在 Rt△CAD中.CAD-42*..'.AD- =c·sina..S△ac=AC·BD=hesina.应用:过点C作 tan42-0.9.:AB-10m. . CEIDO于点E..sina= --=10,解得x-90.,,山顶点C处的海拨为1600十90 -1690(m). 中,AC-a,BD-b.CO-.'S-CE·BD-x 6.解:(1)根据题意,得$-90”一a.(2)设AD=rm,'乙ACD- $ 5 ADB=90”.ACD-CAD=45'$CD=AD-rm. lasing b--absin.'.Sno=2s-absina. .BC-20m.',BD-(20+x)m.在Rt△ABD中,tan乙ABD- AD 小专题1 解直角三角形的常用方法 5.A 6.B 60m.答:气球A离地面的高度AD约为60m 7.解:连接DF交AH于点G.·DC ICE,FEICE.'.DC/FE. 7.解:'在△ABC中. ACB=90*AC=BC-4. A= B.由$ ·DC-EF-1.6m...四边形DCEF为平行四边形.'.DF/ 折叠的性质,得△AEF△DEF,'EDF=乙A,AE=DE= CE.DF-CE-182m.'AHE-AGF.AH 1CE.' 3.$ EDF-乙B:CDE十 BDF+EDF= BFD+ AHE- AGF- AGD= DGH=90$ $四边形$D[CHG$$$ BBDF+ B-180 $ CDE= BFD.:AE=3,AC=4.$ 为矩形.*.DC=GH=1.6m.设AG=xm,在Rt△ADG中. tan ADG-A. an45”-一DG.. G-r m.在Rt△AFG中. AG tanAFG-AG: an53'.:Fo~m.- AG _ 8.B9.D 10.D1.C 12. 182.解得x-104.AG-104m.*AH-AG+GH-105.6m. '.风电塔筒AH的高度约为105.6m. 14.解:过点B作BD AC.交AC的延长线于点D,则 BCD 小专题2 构造直角三角形解决实际应用问题 180*- BCA-45”*.BD-CD-BC.设AC-(t>0).则 1.解:过点C作CD1AB于点D,在Rt△ADC中,AC-6千米, 乙CAD-60”:cos CAD-AD B-2AC-2k.:.BD-CD-2BC-k.:. AD-AC+CD- cos CAD-6Xcos60”-3(千米),CD-AC·sin CAD-6 米,1n CnD.~ sin60”-33(千米).在Rt△CDB中.CBD-37*.CD-33千 15.解;过点A作AD BC,交CB的延长线于点D:则/ADC 90”,在R△ADC中,C=45”.. AD-DC-AC=6/2.' 米)AB-AD+DB=3+43~3+4X1.73~9.9(千米).答 改造后公路AB的长约为9.9千来。 ABC=120”.乙ABD-60”.在Rt△ABD中,'tan乙ABD 2.解:(1)根据题意,得乙NAC-80”,乙BAS-25”,CAB $8 0*-NAC- BAS-75: ABC=45 ACB=180° 一乙CAB一乙ABC-60*(2)过点A作AD1BC,垂足为D,在 -6/2-26. R△ABD中,AB-3/2km, ABD-45 .AD-AB·sin45* 三角函数的应用 5 -3(km),BD-AB·cos45'-3/2x2-3(km). /x2 1.C 2.10.4 3.解;过点P作PC1AB于点C,由题意,得乙A-37*。乙B-45。 在Rt△APC中,'乙A-37”,AP-100海里.'PC-AP·sinA -100·sin37*~100X0.60-60(海里),AC-AP·cos37*-100 '.BC-BD+CD-(3+3)km.答:检查点B和C之间的距离 $0.80=80(海里).在Rt△PBC中..B-45..'.BC-PC (3十/③)km. 60海里..'.AB-AC+BC-80+60-140(海里).答:B处距离 3.解:过点C作CFIAB,垂足为F.'AEIAB, EAD-45*. A处140海里. BAD-45。在Rt△ABD中.BD-AB-873m.AB 4.A 5.3m 6.6/2 7.1.6 8.B BD.CF AB.DC BD..'CDB= BCFB-90 .四 9.解:延长AB交DE于点F,过点C作CG 1EF于点G,则四边 形CDBF是短形...BF=CD.CF=BD-873m..CF/IAE. 形BCGF为短形...BF=CG.FG-BC-2米.在Rt△CDG中. tan CDG-i-3:4.CD-2.5米...设CG-3r米,则DG-4r 来,:CG+DG-CD..(3r)+(4r)-2.5,解得x-0.5 -CF·tan ACF-873Xtan37 654.75(m)...CD-FB (值舍去)..CG-1.5米,DG-2米...EF=FG+DG+DE AB-AF-873-654.75-218.25~218.3(m).答;塔的高度 -2+2+1-5(米).在Rt△AEF中.乙AEF-55,tan乙AEF- CD约为218.3m. 4.解:延长BA交PQ的延长线于点C,则乙ACQ一90*,根据题意, 341s九下.参考88 得BC-225m.PQ-200m:在Rt△BCO中. BOC=45.