精品解析：辽宁省大连市沙河口区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

沙河口区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 年月，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．民间有过年剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是乙已蛇年的四种窗花，其中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 5，5，10 C. 5，6，12 D. 3，4，7 3. 已知点，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，在的边上，≌，其中，为对应顶点，，为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要用天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工作的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则字母满足的条件是______． 12. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000000000335米，把数据0.000000000335用科学记数法表示为______． 13. 如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________． 14. 如图所示的图形是由一个长方形和两个正方形组成的图形，其中长方形的长为，宽为，若，，则图中两个正方形的面积和是______． 15. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知：如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 19. “双十一”期间，某快递仓库用、两种机器人来搬运快递，机器人比B机器人每小时多搬运30千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运600千克所用的时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少千克快递？ 20. 如图，线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，两点，作直线，点在直线上，连接，，延长至点． 请根据要求完成以下作图与证明． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求证：． 21. 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． （1）请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）请你利用整式运算对小明发现的规律加以证明； （3）请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； （4）通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片，，点在底边上（点不与点，重合），将这个纸片沿折叠，点的对应点是点． 猜想证明： （1）如图1，当时，过点作于点，试判断的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，与相交于点，当点是中点时，求证：； 问题解决： （3）如图2，当为等边三角形时，点在上，，过点作，交于点，连接． ①直接写出的度数； ②求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点，在轴上（点在点的右侧，），点在轴上方． 与关于轴对称，设点是边上任意一点，点关于轴的对称点为点，在运动过程中，当点落在边上时，我们称点为的“特征对称点”． 例如：当时，如图2，点，由题意可知在上，与的交点即为点，因为点在上，所以点是“特征对称点”． （1）当时，点，在图1中作出； （2）如图2，当时，直接写出点的坐标________； （3）如图3，当点为“特征对称点”时，设与重叠部分面积为（即图中阴影部分）， ①求的值（用含的式子表示），并直接写出的取值范围； ②当为何值时，取最大值，并求出其最大值； （4）当点为“特征对称点”时，以为直角边做等腰直角三角形，点在轴下方，请直接写出点的坐标（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙河口区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 年月，中国申报“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．民间有过年剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是乙已蛇年的四种窗花，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 5，5，10 C. 5，6，12 D. 3，4，7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，据此逐一判断即可找到正确选项． 【详解】解：A、5，5，5满足三角形三边关系，符合题意； B、5，5，10因为，不满足三角形三边关系，不符合题意； C、5，6，12因为，不满足三角形三边关系，不符合题意； D、3，4，7因为不满足三角形三边关系，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握“任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”是解题的关键． 3. 已知点，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 故选：C． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，错误，故A选项不符合题意； B、，正确，故B选项符合题意； C、，错误，故C选项不符合题意； D、，错误，故D选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，点，在的边上，≌，其中，为对应顶点，，为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形性质，即可求解． 【详解】解：∵≌， ∴AC=AB，BD=CE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE， ∴，，， 故结论一定成立的有B、C、D． 故选：A 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 6. 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则，进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 7. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，判断一个式子从左到右的变形是否为因式分解，关键在于看是否把一个多项式转化为几个整式乘积的形式。理解整式的乘法和因式分解是互逆的恒等变形过程是解题的关键．根据因式分解的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A． 是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，此选项错误； B．符合因式分解定义，此选项正确； C．是整式的乘法运算，不符合因式分解定义，此选项错误； D．等号右边不是整式的积的形式，不满足因式分解定义，此选项错误． 故选：B． 8. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是理解分式基本性质的适用条件，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、到，分子分母不是同时乘或除以同一个不为0的整式，不符合分式的基本性质，该变形错误． B、，根据分式基本性质，分子分母同时除以，结果应为，而不是，该变形错误． C、到，分子分母不是同时除以同一个不为0的整式，相当于分子除以，分母除以），不符合分式的基本性质，该变形错误． D、，因为（分母不为0），根据分式的基本性质，分子分母同时除以，得到，该变形正确． 故选：D． 9. 甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要用天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工作的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意知：甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再将与相加即可求解． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要用天才能完成这项工程， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工作的：， 故选：D． 10. 如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由，，得，由平分得，所以，则，而，所以，可证明，得，可判断正确；由，可判断正确；求得，可证明，可判断错误；由，且，推导出，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，平分， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， 不是等腰直角三角形， ，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则字母满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是明确分式的分母不能为零． 根据分式有意义的条件，确定分母不为零的情况，从而得出的取值范围． 【详解】要使其有意义，则有， 解得． 故答案为：． 12. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000000000335米，把数据0.000000000335用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 13. 如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由得到，由得到，根据两个三角形全等的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用判定；要么选择，利用判定，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况： ①：取， 在和中， ， ； ②：取， 在和中， ， ； ③：取， 在和中， ， ； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 14. 如图所示的图形是由一个长方形和两个正方形组成的图形，其中长方形的长为，宽为，若，，则图中两个正方形的面积和是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式几何意义的应用能力，解答本题的关键是理解并运用该知识和数形结合思想． 逆运用完全平方公式进行求解． 【详解】解：， ， 当，时， 图中两个正方形的面积和为：， 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的点．连接交于点Q，连接，根据两点之间线段最短，得出C、P、D在同一直线上时，最小，即最小，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点Q，连接，， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴C、P、D在同一直线上时，最小，即最小， 是的中点，为等边三角形， ∴，， 的最小值， 故答案为：5． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分解因式： （1）先计算单项式乘多项式，完全平方公式，再合并同类项； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的性质和运算法则对分式进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 已知：如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到． 证明，即可解答． 【详解】证明：， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ． 19. “双十一”期间，某快递仓库用、两种机器人来搬运快递，机器人比B机器人每小时多搬运30千克，机器人搬运900千克所用的时间与机器人搬运600千克所用的时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少千克快递？ 【答案】机器人每小时搬运90千克快递、机器人每小时搬运60千克快递 【解析】 【分析】设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料（x＋30）千克，再根据A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，即可列出关于x的分式方程，由此即可得出结论． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料（x＋30）千克， ∵A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等， ∴， 解得：， 经检验是原分式方程的根且符合题意， ∴． 答：A、B两种机器人每小时分别搬运90、60千克快递． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键． 20. 如图，线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，两点，作直线，点在直线上，连接，，延长至点． 请根据要求完成以下作图与证明． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，结合平分，可得，即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：由作图知垂直平分， ． ， ， ． 即， 平分， ， ． ． 【点睛】本题考查角平分线的作法，平行线的判定，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，等边对等角等，难度不大，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 21. 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． （1）请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； （3）请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； （4）通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】（1）符合 （2）见解析 （3）①；② （4） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究： （1）利用8，9，15，16四个数进行验证即可； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式进行即可； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； （4）根据中的规律，推出相应的规律即可． 【小问1详解】 解：选取8，9，15，16四个数字，则：； 故符合此规律； 【小问2详解】 设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ∴； 【小问3详解】 ①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； 【小问4详解】 当时，； 当时，； 当时，； ∴． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片，，点在底边上（点不与点，重合），将这个纸片沿折叠，点的对应点是点． 猜想证明： （1）如图1，当时，过点作于点，试判断的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，与相交于点，当点是中点时，求证：； 问题解决： （3）如图2，当为等边三角形时，点在上，，过点作，交于点，连接． ①直接写出的度数； ②求证：． 【答案】（1）为等腰直角三角形；证明见解析；（2）见解析；（3）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质证明，进而可以解决问题； （2）证明，得，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）①根据为等边三角形，得，根据，得，进而可以解决问题； ②在上取一点，使，连接，证明是等边三角形，得，，然后证明，得到，进而可以解决问题； 本题主要考查几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【详解】（1）为等腰直角三角形； 证明：有题意可得 则． ， ， ． ． （2）证明：点是中点， ． ，， 又． ． ． ． ，， ． （3）① ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴； ②在上取一点，使，连接， 是等边三角形， ，． ， ，，． ， 是等边三角形． ，． ． ，， ∵ ． 即． ． ． ． ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点，在轴上（点在点的右侧，），点在轴上方． 与关于轴对称，设点是边上任意一点，点关于轴的对称点为点，在运动过程中，当点落在边上时，我们称点为的“特征对称点”． 例如：当时，如图2，点，由题意可知在上，与的交点即为点，因为点在上，所以点是“特征对称点”． （1）当时，点，在图1中作出； （2）如图2，当时，直接写出点的坐标________； （3）如图3，当点为“特征对称点”时，设与重叠部分的面积为（即图中阴影部分）， ①求的值（用含的式子表示），并直接写出的取值范围； ②当为何值时，取最大值，并求出其最大值； （4）当点为“特征对称点”时，以为直角边做等腰直角三角形，点在轴下方，请直接写出点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②当时，取最大值是 （4）或 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，非负数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）把代入求出坐标，从而求出，再根据轴对称变换的性质求解即可； （3）根据，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （4）分两种情形，当时，当时，过点作交的延长线于点，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求： 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 如图， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 解：①由题意可知，平移m个单位长度后点， 点， 由对称性可得，点，点， ， ， 都等腰直角三角形， ∴ ， ∴m的取值范围是； ②， 因为， 所以， 所以当时，取最大值是； 【小问4详解】 解：如下图， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点Q作于点T． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， 过点作交的延长线于点， 同法可证， 可得． 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $