第九章 平面直角坐标系（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，辽宁专用）

第九章 平面直角坐标系 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．东经，北纬 B．某地静安路 C．某班教室第列 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查确定位置的要素，只有方向和距离都有才可以确定一个点的位置，进行解答，即可． 【详解】解：A、有两个量，可以确定位置，故符合题意； B、只有一个量，无法确定位置，故不符合题意； C、只有一个量，无法确定位置，故不符合题意； D、只有方向一个量，无法确定位置，故不符合题意； 故选：A． 2．点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由纵坐标为0可得：，进而求解m的值，则问题得解． 【详解】解：由点P在直角坐标系的轴上，可得： ，解得：， ， 点； 故选A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解题的关键． 3．下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，据此逐一判断即可，熟知平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． 【详解】①x轴上的点，其纵坐标均为0，故正确； ②当时，点在第四象限或第一象限，故错误； ③若，则点在第一象限，故正确； ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应，故正确； 故正确的有3个， 故选：C． 4．若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 故选:D． 5．如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，结合全等三角形的性质可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， 由题意可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第三象限， ∴． 故选：B． 6．点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的性质，根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数，角平分线上的点到角的两边的距离相等列出方程进行计算即可得解，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及第一象限内点的坐标的符号是解题的关键． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得：， ∴的坐标为， 故选：． 7．已知平面直角坐标系中有和两点，且点位于第三象限，且直线轴，则（   ） A．3 B． C． D．或3 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线轴，得出、两点的纵坐标相等，进而得出的值，再根据点位于第三象限，，得出的值，代入即可得出答案． 【详解】解：直线轴， 、两点的纵坐标相等， ， ， 或1， 点位于第三象限， ， ． 故选：A． 8．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了长方形的性质，根据长方形的性质可知，长方形的对边平行且相等，故连接各个顶点，数形结合，可以作出点可能的位置，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：长方形的三个顶点的坐标分别为，，． 第四个顶点的坐标为， 故选：B． 9．已知点，，点在轴上，且的面积为5，则点的坐标为（    ） A． B．． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设．利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设． ∵，，且的面积为5， ∴， 解得或3， ∴或． 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，由对称可知，，，，，得，则，设，在中，，列出方程求解即可． 【详解】解：点A的坐标为，过点A作轴于点B， ∴，，轴，则， 由对称可知，，，，， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．在平面直角坐标系中，点一定在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的坐标，先判断横、纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标的特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴点一定在第四象限， 故答案为：四． 12．若与互为相反数，则点到x轴距离是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，点到坐标轴的距离．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据相反数的概念列式，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，再进一步解答即可． 【详解】解：由题意得：， 则：，， 解得：，， 则点到x轴距离是， 故答案为：1． 13．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立直角坐标系，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为， 那么若以点为原点建立平面直角坐标系，则点在点左3个单位，下4个单位处， 故点坐标为． 故答案为： 14．对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的符号特征，根据新定义求出，再根据点的符号特征，判断点所在的安象限即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第三象限， ∴， ∴， ∵ ∴在第四象限； 故答案为：四． 15．在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点，N， ∴线段MN的中点 ∵点恰好位于轴上，且到轴的距离是3， ∴ 解得：或 ∴或 综上所述，的值等于或 故答案为：或． 三、解答题 （共75分) 16．（1）已知点到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求m的值； （2）如下图，网格中每个小正方形的边长都是1．任选一点作为原点，建立平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D，E的坐标．    【答案】（1）或（2）见解析，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为 【分析】本题考查坐标与图形： （1）根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可； （2）以点为原点，建立直角坐标系，进而写出其他点的坐标即可． 【详解】解：（1）由题意，得， 解得或． （2）以点A为坐标原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图． 则：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为． 17．已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标： (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，代数式求值等知识点，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）由轴上的点的坐标特征可知点的纵坐标为，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入即可求出点的横坐标，于是得解； （2）由直线轴可知点、的横坐标相等，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入即可求出点的纵坐标，于是得解； （3）由“点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等”可知点的横纵坐标之和为，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为， ， 解得：， ， ； （2）解：直线轴， 点、的横坐标相等， ， 解得：， ， ； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ， 解得：， ． 18．已知当m，n都是实数，且满足时，就称点为“爱心点”． (1)点中哪个点为“爱心点”？请说明理由； (2)若点是“爱心点”，则点M在第几象限？请说明理由． 【答案】(1)点是“爱心点”，理由见解析 (2)点M在第三象限．理由见解析 【分析】此题考查一元一次方程的应用，点所在的象限的性质， （1）根据“爱心点”定义判断即可； （2）根据“爱心点”定义得到，代入，求出a的值即可判断点M所在象限． 【详解】（1）解：点是“爱心点”． 理由：当时， 解得，则， ，∴点是“爱心点”； 当时， 解得，显然， ∴点B不是“爱心点”． （2）点M在第三象限．理由： ∵点是“爱心点”， ， ， 代入，得， 解得， ， ． 故点M在第三象限． 19．如图，在平面直角坐标系中． (1)请画出关于轴对称的，并写出、的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置，并求点坐标及最小值． 【答案】(1)画图见解析，， (2) (3)点在坐标轴上的位置见解析，，最小值为 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握轴对称性质，关于坐标轴对称的点坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与x轴交点的求法，是解题的关键． （1）取点，依次连接，即得； （2）的矩形面积减去周围3个三角形的面积，即可得出答案； （3）作C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，点P即为所求作．根据求出直线的解析式，当时，得，得．由，，当点P运动到上时，，取得最小值，根据，即可得出的最小值； 【详解】（1）如图，即为关于y轴对称的三角形，点坐标为；点的坐标为； （2）； （3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，点P即为所求作． ∴． 设的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 当时， ， 解得， 故． ∵，当点P运动到上时，此时的值最小，． ∴的值最小值为． 20．【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【知识应用】 (1)若点，，则的长度为______． (2)已知点，若轴，且，求点D的坐标． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）由和可得轴，根据题意即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴轴， ∴． 故答案为：12． （2）解：∵，且轴， ∴点D的横坐标为． ∵， ∴或， ∴点D的坐标为或． 21．如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在．点P的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）由（1），得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）存在． ∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 22．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点P从点A出发，沿路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为，点Q的运动速度为． (1)当P，Q两点出发时，试求三角形的面积； (2)设两点运动的时间为，用含t的式子表示运动过程中三角形的面积S（单位：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平行线的性质，难点在于（3）根据点、的位置，分情况讨论． （1）先求出点、的坐标，再求出、，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）分①时点在上，点在上，利用三角形面积公式列式即可；②时，点在上，点在上，过点作交的延长线于，根据，列式整理即可；③时，点在上，点在上，过点作，过点作交于，交于，，列式整理即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，，； 当时，点运动的路程为，， 点运动的路程为， ， 点运动到点就停止，点与点重合， ，， ，， ； （2）解：①如图1，当时，点在上，点在上， 易知， 则； ②如图2，当时，点在上，点在上， 过点作轴交的延长线于点， 易知，，，， 则， ； ③如图3，当时，点在上，点停在了点处， 过点作轴交的延长线于点，连接． 则，， ． 综上所述，． 23．如下图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点B的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点C作轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形的面积为_____________． 过点C作轴于点，_____________． ， ∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________； 【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标； 【问题拓展】（3）若点在直线上，且的面积等于3，请直接写出点H的坐标． 【答案】（1）6，m，， （2）点P的纵坐标为． （3）点H的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形的综合题、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系内求三角形的面积的方法是解题的关键． （1）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可； （2）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可； （3）根据的面积等于3，可得k的值，分情况讨论：①当点H在y轴右侧的直线上时，根据列方程求解即可；②当点H在y轴左侧的直线上时，根据列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∵的面积， 又∵， ∴，解得∶， ∴点B坐标为， 故答案为：6，m，，． （2）过点P作轴于点G，轴于点M，连接， 则的面积为，的面积为，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点P纵坐标为； （3）∵的面积为， ∵的面积等于3，， ∴， ∴， 如图：当点H在y轴右侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点H坐标为； ②如图：当点H在y轴左侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点H坐标为， 综上所述，点H坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 平面直角坐标系 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．东经，北纬 B．某地静安路 C．某班教室第列 D．北偏东 2．点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D．或 5．如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知平面直角坐标系中有和两点，且点位于第三象限，且直线轴，则（   ） A．3 B． C． D．或3 8．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．已知点，，点在轴上，且的面积为5，则点的坐标为（    ） A． B．． C．或 D．或 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．在平面直角坐标系中，点一定在第 象限． 12．若与互为相反数，则点到x轴距离是 ． 13．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立直角坐标系，则点的坐标是 ． 14．对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 15．在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 三、解答题 （共75分) 16．（1）已知点到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求m的值； （2）如下图，网格中每个小正方形的边长都是1．任选一点作为原点，建立平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D，E的坐标．    17．已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标： (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 18．已知当m，n都是实数，且满足时，就称点为“爱心点”． (1)点中哪个点为“爱心点”？请说明理由； (2)若点是“爱心点”，则点M在第几象限？请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中． (1)请画出关于轴对称的，并写出、的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置，并求点坐标及最小值． 20．【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【知识应用】 (1)若点，，则的长度为______． (2)已知点，若轴，且，求点D的坐标． 21．如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点P从点A出发，沿路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为，点Q的运动速度为． (1)当P，Q两点出发时，试求三角形的面积； (2)设两点运动的时间为，用含t的式子表示运动过程中三角形的面积S（单位：）． 23．如下图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点B的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点C作轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形的面积为_____________． 过点C作轴于点，_____________． ， ∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________； 【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标； 【问题拓展】（3）若点在直线上，且的面积等于3，请直接写出点H的坐标． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$