9.5 三角形的中位线 （分层练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.5 三角形的中位线 （分层练习） （满分100分，时间90分钟） 1、 选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    ) A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 2.如图，在平坦的地面上，为测量位于水塘旁的两点A，B间的距离，先确定一点O，分别取的中点C，D，量得m，则A，B之间的距离是（    ）    A．20m B．40m C．60m D．80m 3.如图，分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是（      ）    A． B． C． D． 4.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 5.如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6.如图，在中，D是斜边的中点，E是上一点，F是的中点．若，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 7. 如图，在矩形中，，点E在上且，点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为（　　） A. B. 10 C. 20 D. 8 8.如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（　　） A．1002 B．1001 C．1000 D．999 2、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．若CD的长为3，则EF的长是 　 　． 11.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ． 12.如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，则AC＝　 　． 13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，连接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB＝DE＝2，则BD的长为 　　． 14.如图，已知D是的中点，F是的中点．的值为 ． 15.在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______． 16. 如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则 . 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，猜想四边形EHFG的形状并说明理由． 18.如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使．连接、、．若，求的长． 19.△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D． （1）求证：DM＝（AC﹣AB）； （2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长． 20.如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E． (1)求证：四边形DGFE是平行四边形； (2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由. 21.如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足，． （1）求证：； （2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由． 22.我们定义：若一个凸四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，如矩形，正方形都是等对角线四边形． （1）如图1，已知点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出所有符合条件的格点D，使四边形是等对角线四边形． （2）如图2，已知凸四边形是等对角线四边形，对角线交于点O，点E，F分别为边的中点，连结，分别与对角线交于点M，N，若与夹角 ①直接回答与的数量关系 ． ②请判断的形状，并说明理由？ 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    ) A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】C 2.如图，在平坦的地面上，为测量位于水塘旁的两点A，B间的距离，先确定一点O，分别取的中点C，D，量得m，则A，B之间的距离是（    ）    A．20m B．40m C．60m D．80m 【答案】D 3.如图，分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 4.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】A 5.如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 6.如图，在中，D是斜边的中点，E是上一点，F是的中点．若，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 7. 如图，在矩形中，，点E在上且，点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为（　　） A. B. 10 C. 20 D. 8 【答案】C 8.如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（　　） A．1002 B．1001 C．1000 D．999 【答案】A 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    【答案】40° 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．若CD的长为3，则EF的长是 　 　． 【答案】3 11.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】3 12.如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，则AC＝　 　． 【答案】9 13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，连接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB＝DE＝2，则BD的长为 　　． 【答案】 14.如图，已知D是的中点，F是的中点．的值为 ． 【答案】 15.在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______． 【答案】 17. 如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则 . 【答案】 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，猜想四边形EHFG的形状并说明理由． 【答案】∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点， ∴FG∥AB，HE∥AB，FH∥CD，GE∥DC， ∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一条直线的两直线平行）； ∴四边形GFHE是平行四边形， ∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点， ∴FG是△ABD的中位线，GE是△BCD的中位线， ∴GF＝AB，GE＝CD， ∵AB＝CD， ∴GF＝GE， ∴四边形EHFG是菱形． 18.如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使．连接、、．若，求的长． 【答案】连接， ，是的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， ，又， 四边形是平行四边形， ． 19.△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D． （1）求证：DM＝（AC﹣AB）； （2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长． 【答案】（1）证明：延长BD交AC于E， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠EAD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△BAD≌△EAD（SAS）， ∴AB＝AE，BD＝DE， ∵M为BC的中点， ∴DM＝CE＝（AC﹣AB）； （2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8， ∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10， ∵DM＝2，DM＝CE， ∴CE＝4， ∴AC＝10+4＝14． 20.如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E． (1)求证：四边形DGFE是平行四边形； (2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由. 【答案】（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点． ∴DE∥BC，DE＝BC． ∵点G、F分别是OB、OC的中点， ∴GF∥BC，GF＝BC． ∴DE∥GF，DE＝GF． ∴四边形DEFG是平行四边形； （2） 解：OA＝BC，理由如下： 连接OA． ∵四边形DEFG是菱形， ∴DG＝GF， ∵D是AB的中点，点G、F分别是OB、OC的中点， ∴DG＝OA，GF＝BC， ∴OA＝BC． 21.如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足，． （1）求证：； （2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴在与中，， ∴； （2）∵由（1）知，，则，同理证得，则， ∴四边形EFGH是平行四边形； （3） 四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度． 理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值． 连接AC， ∵CG′=CG=AE，AB∥CG′， ∴四边形AEG′C为平行四边形， ∴EG′=AC． 在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC， ∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度． 22.我们定义：若一个凸四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，如矩形，正方形都是等对角线四边形． （1）如图1，已知点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出所有符合条件的格点D，使四边形是等对角线四边形． （2）如图2，已知凸四边形是等对角线四边形，对角线交于点O，点E，F分别为边的中点，连结，分别与对角线交于点M，N，若与夹角 ①直接回答与的数量关系 ． ②请判断的形状，并说明理由？ 【答案】（1） ∵，， ∴； （2）①取的中点G，的中点P，连接， ∵P，F分别是的中点， ∴由中位线定理，可得， ∴，， ∵F，G分别是的中点， ∴由中位线定理，得到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E，G分别是的中点， ∴由中位线定理，可知，， ∴， ∵凸四边形是等对角线四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为： ②是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$