9.5 三角形的中位线 （巩固练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.5 三角形的中位线 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】如图，DE是的中位线，若DE＝3，则BC的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例2】如图，是的中线，E、F分别是，的中点，连结．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【例4】在四边形ABCD中，对角线AC ⊥BD且AC=4，BD=8，E、F分别是边AB．CD的中点，则EF=_______ ． 【例5】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．求证：EF＝CD． 【举一反三】 【变式1】若四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结该四边形中点所得的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对 【变式2】如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是　　 A. B． C． D． 【变式3】如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．不确定 【变式4】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm． 【变式5】在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【巩固练习】 1.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 2.如图，O是矩形的对称中心，M是的中点．若，则的长为（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知：如图，、分别是的中线和角平分线，，，的长为（ ） A. 10 B. C. D. 4.如图，的对角线交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④：⑤．其中成立的个数是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，在中，点，，分别是边，，上的中点，且，，则四边形的周长等于　　． 6.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为 　　． 7.如图，在平面直角坐标系中，的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，5，则点B的横坐标是______． 8.如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是　　． 9.如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 10.【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理． 已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：　 　． 证明： 【灵活运用】如图2，四边形中，，E，F分别是的中点，连接，求证：． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，DE是的中位线，若DE＝3，则BC的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【例2】如图，是的中线，E、F分别是，的中点，连结．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】B 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【例4】在四边形ABCD中，对角线AC ⊥BD且AC=4，BD=8，E、F分别是边AB．CD的中点，则EF=_______ ． 【答案】 【例5】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．求证：EF＝CD． 【答案】证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点， 则CD＝AB， ∵E，F分别是边AC，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝AB， ∴EF＝CD． 【举一反三】 【变式1】若四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结该四边形中点所得的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对 【答案】B 【变式2】如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是　　 A. B． C． D． 【答案】C 【变式3】如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】A 【变式4】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm． 【答案】9 【变式5】在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：平分， ． ， ． 在与中， ， ． （2）， ， ． 是的中点，， ． 【巩固练习】 1.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 2.如图，O是矩形的对称中心，M是的中点．若，则的长为（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 3.已知：如图，、分别是的中线和角平分线，，，的长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 4.如图，的对角线交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④：⑤．其中成立的个数是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 5.如图，在中，点，，分别是边，，上的中点，且，，则四边形的周长等于　　． 【答案】26 6.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为 　　． 【答案】1.5 7.如图，在平面直角坐标系中，的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，5，则点B的横坐标是______． 【答案】8 8.如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是　　． 【答案】120 9.如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 10.【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理． 已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：　 　． 证明： 【灵活运用】如图2，四边形中，，E，F分别是的中点，连接，求证：． 【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ∴， ∵点是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，． （2）解：∵如图2，点，，分别是，，的中点，，，，， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的长为． （3）证明：如图3，连接， ∵点，，，分别是，，的中点， ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$