精品解析：江苏省南京市南京联合体2024-2025学年九年级下学期期初调研数学试卷

20242025学年第二学期期初调研试卷九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，对称轴为，顶点坐标为． 2. 如图，在中，，则下列结论正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易得，然后根据相似三角形的性质可排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项A，B均错误， ∴，故选项C正确， ∴，故选项D错误， 故选：C． 3. 如图，在中，于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，根据勾股定理求得，然后根据余角的性质，可得，根据等角的正弦相等，可得答案． 【详解】解：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 4. 若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　） A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，关键是掌握方差计算方法和平均数的计算方法． 根据平均数和方差计算方法计算可得答案． 【详解】解：原数据平均数为：， 2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数后数据4，6，8，则新数据平均数为， ∴平均数不变， 原数据方差为：， 新数据方差为：， ∴平均数不变，方差变小， 故选：A． 5. 二次函数中的与的部分对应值如下表： ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 0 6 0 ．．． 下列结论：①函数的图像开口向下；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，可根据表格数据求出对称轴，进而利用二次函数的图像与性质逐个判断即可． 【详解】解：∵当或3时，，当时，， ∴对称轴为直线， ∵由表知，在对称轴左侧，函数值随自变量增大而增大， ∴抛物线开口向下，故①正确， ∴当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∴当时，，即③正确． 又∵， ∴，即②正确． 故正确的有：①②③， 故选：D． 6. 如图，在半径为5的中，弦与相交于点，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、角平分线的判定定理、解直角三角形等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点作于点，作于点，连接，先求出，再根据垂径定理可得，，利用勾股定理可得，从而可得平分，则，然后解直角三角形可得的长，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：若，则，， 故答案为：． 8. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是关键．把原方程变形为，得到或，即可得到方程的解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得， 故答案为：， 9. 已知一组数据：的极差是3，则整数可以是___________（只写一个）． 【答案】（答案不唯一，其中一个） 【解析】 【分析】此题考查了极差，分情况讨论，当��是数据中最小的数时，当x是数据中最大的数时，当��是数据中既非最大也非最小的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：①当��是数据中最小的数时，，解得； ②当��是数据中最大的数时，解得； ③当��是数据中既非最大也非最小的数时，此时这组数据的极差为也符合题意， ∴此时整数可以是0或1． 故答案为：（其中一个）． 10. 将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度所得图象的函数表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将函数 的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度所得图像的函数表达式是， 故答案为：． 11. 一元二次方程的两个根分别为．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．根据根与系数的关系得到，得出即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴ 所以 ． 故答案为． 12. 圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则此圆锥的底面半径是___. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：将圆锥侧面展开为一扇形，圆锥的母线为扇形的半径，圆锥的底面周长为扇形的弧长.扇形（半圆）半径为，故弧长为，即圆锥的底面周长为，故半径为. 考点：圆锥侧面展开图的性质. 13. 如图，在扇形中，点在上，是的内接正八边形的边，是的内接正六边形的边，与交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的内接多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理；根据正多边形的内角与外角的关系得出，进而求得中心角，根据圆周角定理求得，进而根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内接正八边形的边， ∴，， ∵是的内接正六边形的边， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，．若，则的长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据三角形内角和定理与等腰三角形的性质求得，根据角平分线的性质得出，得出，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵．， ∴， ∵是的角平分线， ∴ 又， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 解得：（负值舍去） 故答案为：． 15. 在中，，，若，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据题意得出，进而勾股定理求得的长，结合图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，过点C作，过点B作，连接，则，，，在可求得，利用等腰三角形的性质求得，，进一步证明，则，求得，和，在利用勾股定理即可求得． 【详解】解：过点C作，过点B作，连接，如图， ∵，，， ∴，，， 在中，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则，解得：，， 则， 在，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程形式选择合适的求解方法正确计算是解题的关键 （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， ， . ． ； 【小问2详解】 解： ， ． 18. 某部门为选出一名选手参加单位组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对小张和小李进行了六次一分钟跳绳测试，两人成绩如下（单位：个）： 小张：181，162，174，185，175，185． 小李：181，177，175，183，171，175． 人员 平均数 中位数 众数 方差 小张 177 185 63.67 小李 177 176 c （1）___________，___________，___________； （2）你会选择哪一位选手参加比赛？请说明理由． 【答案】（1）178，175，16 （2）选小李，理由见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、方差的定义解答即可； （2）根据平均数以及方差的意义分析即可． 本题考查了平均数，众数，中位数以及方差，解题的关键是掌握平均数，众数，中位数以及方差的意义． 【小问1详解】 解： 162，174，175，181，185，185， ∴小张的测试成绩中位数为， ∵小李的测试成绩中175出现次数最多， ∴， 小李测试成绩的方差为： ， 故答案为：178，175，16； 【小问2详解】 解：选小李，理由是：小张和小李的平均数相同，小李的方差较小，成绩比较稳定，故选小李． 19. 甲、乙、丙、丁四人随机站成一排照相． （1）甲不在两端的概率是_________； （2）若甲站在外端，求丙与丁相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，即事件A的概率=事件A的结果数÷所有等可能的结果数，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先写出所有等可能的情况，再得出甲不在两端的的情况，利用概率公式求解即可； （2）先写出所有等可能的情况，再得出丙与丁相邻的情况，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 甲、乙、丙、丁四人随机排成一横排，可以是（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（乙甲丙丁），（乙丙甲丁），（丙甲乙丁），（丙乙甲丁），（甲乙丁丙），（甲丙丁乙），（乙甲丁丙），（乙丙丁甲），（丙甲丁乙），（丙乙丁甲），（甲丁乙丙），（甲丁丙乙），（乙丁甲丙），（乙丁丙甲），（丙丁甲乙），（丙丁乙甲），（丁甲乙丙），（丁甲丙乙），（丁乙甲丙），（丁乙丙甲），（丁丙甲乙），（丁丙乙甲）共24种情况，其中甲不在两端的的情况有12种情况， 甲不在两端的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 甲、乙、丙、丁四人随机排成一横排，甲站在外端的有12种情况，分别是（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（甲乙丁丙），（甲丙丁乙），（乙丙丁甲），（丙乙丁甲），（甲丁乙丙），（甲丁丙乙），（乙丁丙甲），（丙丁乙甲），（丁乙丙甲），（丁丙乙甲）共12种情况，其中丙与丁相邻的情况有8种情况， 丙与丁相邻的概率为． 20. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）连接，．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明并得到是解题的关键． （1）由等式的性质可得，然后根据，可证三角形相似； （2）由相似三角形的性质可得，然后结合可证，从而利用相似三角形的性质分析计算． 【小问1详解】 证明：， .. 在和中， ， . 【小问2详解】 解：连接， ， ． . 在和中， ， ． ， ． ． 21. 已知二次函数的图像经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数值的取值范围： （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，二次函数的图像开口向下，从而得到在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，再根据时取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小， 而，则时取得最小值，当时，， ∴当时，． 22. 如图，，，均与垂直，垂足分别为点，，，的延长线与交于点，延长线与交于点，，．若，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长，交于点，先证明，所以，则，从而求出，再证明，根据性质得，即，得，可证，然后再证明，，即，求出，最后利用线段和差即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵，，均与垂直，垂足分别为点，，， 即，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为． 23. 某商店销售一种文具套装，每套成本为40元．经市场调研，当销售单价为60元时，每天可售出100套，销售单价每上涨1元，日销售量将减少2套． （1）若商店希望每日利润为2400元，求此时的销售单价； （2）若商店追求每日利润最大，则销售单价应为多少元？最大每日利润是多少元？ 【答案】（1）销售单价为70元或80元 （2）销售单价为75元时，日销售利润最大，最大每日利润为2450元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值． （1）根据“单件利润×数量=总利润”列方程计算求解； （2）根据等量关系“利润=(=(售价−进价)×)×销量”列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 【小问1详解】 解：设销售单价 x 元， 根据题意，得，. 即 解得． 答：此时销售单价为70元或80元； 小问2详解】 解：设销售单价元，每日销售利润元． 根据题意，得 . ． ， 当时，有最大值2450. 答：销售单价为75元时，日销售利润最大，最大每日利润为2450元． 24. 如图，四边形内接于是的直径，与的延长线交于点与的延长线交于点． （1）求证：； （2）连接，．求证：； （3）若，，，则的长是___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）由直径所对圆周角等于可得，进而利用两角对应相等的两个三角形相似证明，即可证明结论； （2）根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形的性质即可得出结论； （3）根据已知可得垂直平分，从而可得，在中，，再证明，由相似三角形性质得出求出，进而由求解． 本题考查了直径所对圆周角等于，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵，是的直径， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 25. 已知线段和上一点，利用直尺和圆规在上作点，分别满足下列条件： （1）如图①，使得； （2）如图②，使得，且． （要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理以及等腰三角形的性质与判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角，作直径，再在圆上任取一点，连接，即可求解； （2）过点作直径，设的垂直平分线与交于点，以为圆心的长为半径作圆，以为圆心为半径作圆，两圆交于点，交于点，即可求解． 【小问1详解】 如图①，点，即为所求： ∵为直径， ∴，点，即为所求： 【小问2详解】 如图②，点即为所求： 理由如下，过点作直径，设的垂直平分线与交于点，以为圆心的长为半径作圆，以为圆心为半径作圆，两圆交于点，连接，交于点， 由作图可得 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∴即 又∵为直径， ∴， ∴点即为所求 26. 已知二次函数的图象过点． （1）___________（用含的式子表示）； （2）若该函数的图象与轴有交点，求的取值范围； （3）已知，若该函数的图象与线段有两个不同交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入中，即可解答； （2）由（1）得二次函数，根据该函数图象与轴有交点，即一元二次方程有实数根，利用判别式建立不等式即可解答； （3）根据题意，二次函数图象过定点，分和，两种情讨论，结合图象，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意：， ， 则； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵二次函数的图象与轴有交点，即一元二次方程有实数根， ∴，即， ∴，即或， 解得：或，即或， ∵， ∴或； 【小问3详解】 解：由（1）得：，则二次函数图象的对称轴为， 当时，， ∴二次函数图象过定点， 当时，如图，函数图象开口向上， ∵该函数的图象与线段有两个不同交点， ∴当时，，即， 解得：； 当时，函数图象开口向下， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当二次函数与直线相切时，函数的图象与线段只有一个交点，即点A，如图， 此时，只有一个交点A， ∴方程只有一个实数解， 即方程只有一个实数解， ∴，即， 解得：， 此时，，则二次函数顶点坐标为， ∴当时，函数的图象与线段有两个不同交点， ∴， 综上，当或时，该函数的图象与线段有两个不同交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与线段的综合等，解决问题的关键是熟练掌握配方法将二次函数解析式的一般式化成顶点式，二次函数图象与线段的位置关系，解一元二次方程，解不等式． 27. 如图，在四边形中，过点，且与相交于点． （1）如图①，求证：是的切线． （2）如图②，连接，若． （I）求的长． （II）直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）（I）3；（II） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，并延长交于，交于，证明，根据垂径定理证明，再结合平行线的性质与切线的判定可得结论； （2）（I）如图，连接，并延长交于，连接，证明，可得，可得，再进一步可得； （II）过作于，过作于，证明四边形为矩形，求解，，可得，结合，可得，求解，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，并延长交于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：（I）如图，连接，并延长交于，连接， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， 解得：，（负根舍去）， ∴； （II）过作于，过作于， 由（1）得：，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，矩形的判定与性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20242025学年第二学期期初调研试卷九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　） A 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 5. 二次函数中的与的部分对应值如下表： ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 0 6 0 ．．． 下列结论：①函数的图像开口向下；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 如图，在半径为5的中，弦与相交于点，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7 若，则___________． 8. 方程的解是______． 9. 已知一组数据：的极差是3，则整数可以是___________（只写一个）． 10. 将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度所得图象的函数表达式是___________． 11. 一元二次方程的两个根分别为．若，则___________． 12. 圆锥侧面展开图是一个半径为的半圆，则此圆锥的底面半径是___. 13. 如图，在扇形中，点在上，是的内接正八边形的边，是的内接正六边形的边，与交于点，则___________． 14. 如图，是的角平分线，．若，则的长是___________． 15. 在中，，，若，则的长是___________． 16. 如图，在四边形中，，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某部门为选出一名选手参加单位组织一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对小张和小李进行了六次一分钟跳绳测试，两人成绩如下（单位：个）： 小张：181，162，174，185，175，185． 小李：181，177，175，183，171，175． 人员 平均数 中位数 众数 方差 小张 177 185 63.67 小李 177 176 c （1）___________，___________，___________； （2）你会选择哪一位选手参加比赛？请说明理由． 19. 甲、乙、丙、丁四人随机站成一排照相． （1）甲不在两端的概率是_________； （2）若甲站在外端，求丙与丁相邻的概率． 20. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）连接，．若，求的长． 21. 已知二次函数的图像经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围是___________． 22. 如图，，，均与垂直，垂足分别为点，，，的延长线与交于点，延长线与交于点，，．若，求的长． 23. 某商店销售一种文具套装，每套成本为40元．经市场调研，当销售单价为60元时，每天可售出100套，销售单价每上涨1元，日销售量将减少2套． （1）若商店希望每日利润为2400元，求此时的销售单价； （2）若商店追求每日利润最大，则销售单价应为多少元？最大每日利润多少元？ 24. 如图，四边形内接于是的直径，与的延长线交于点与的延长线交于点． （1）求证：； （2）连接，．求证：； （3）若，，，则的长是___________． 25. 已知线段和上一点，利用直尺和圆规在上作点，分别满足下列条件： （1）如图①，使得； （2）如图②，使得，且． （要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 已知二次函数的图象过点． （1）___________（用含的式子表示）； （2）若该函数的图象与轴有交点，求的取值范围； （3）已知，若该函数的图象与线段有两个不同交点，直接写出的取值范围． 27. 如图，在四边形中，过点，且与相交于点． （1）如图①，求证：是的切线． （2）如图②，连接，若． （I）求的长． （II）直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$