专题2.3 平行四边形（分层专项练习）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.3 平行四边形（分层专项练习）（精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 3．（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的边，周长为18，固定A，B两点，拖动边向右下方平行移动至，连接BD′，若，则对角线的长度为（　　）． A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，要在一条河上架一座桥（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得，两地的路程最短的是（   ）       A．与河岸垂直 B．，，共线 C． D．与河岸垂直 7．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在对角线上，连接，，过点作交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2024·浙江台州·一模）如图，将其中一个内角为的平行四边形纸条沿着两条虚线折叠，外面的轮廓线刚好围成一个正六边形，则原来平行四边形纸条的长边和短边的比值是 ． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 11．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．    12．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ． 13．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，，则的长为 ． 14．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（2021·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 16．（本小题满分8分）（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 17．（本小题满分10分）（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，点是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段的长． 18．（本小题满分10分）（21-22八年级上·甘肃张掖·期中）如图在四边形中，，；，，垂足分别为，．    （1）求证：； （2）若与交于点，求证：． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，点E在直线上，，，点F是的中点，平分，则 ． 2．（20-21八年级下·重庆渝中·阶段练习）已知平行四边形中，点和点分别是边和上的点，，，将沿翻折，点落在点处，交于点，则 ． 3．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知点是直线上一点，点是轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点，若的最小值为10，则点的坐标为 ． 4．（22-23八年级下·浙江温州·期中）数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ． 5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）某风力发电设备如图1所示，其示意图如图2，已知三个叶片均匀地分布在支点O上，垂直地面．当光线与地面的夹角为，叶片与光线平行时，测得叶片影子的长为12米，则叶片的长为 米；当转动过程中叶片OB垂直光线（这片刻时间忽略不计，光线与地面的夹角还是60°），则叶片影子的长度是 米． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接． （1）当点在线段的延长线上，且时， ①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 25．（本小题满分10分）（2024·江西吉安·一模）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O，求证：，． 知识应用 （2）在中，点P为的中点．延长到D，使得，延长AC到E，使得，连接．如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 26．（本小题满分10分）（20-21八年级下·上海·期末）已知中，，，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）． （1）求直线BD的表达式． （2）在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形． （3）直线BD上是否存在点F，使为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 27．（本小题满分12分）（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 29．（本小题满分5分）（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．（本小题满分10分）（2014·四川凉山·中考真题）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 平行四边形（分层专项练习）（精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行线平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据平行四边形判定定理进行判断． 解：如图， A、，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； C、， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 2．（2023·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 【点拨】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：A． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的边，周长为18，固定A，B两点，拖动边向右下方平行移动至，连接BD′，若，则对角线的长度为（　　）． A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质求得，进而求得，最后运用勾股定理即可解答． 解：∵的边，周长为18， ∴, ∵固定A，B两点，拖动边向右下方平行移动至， ∴， ∵， ∴． 故选B． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，要在一条河上架一座桥（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得，两地的路程最短的是（   ）       A．与河岸垂直 B．，，共线 C． D．与河岸垂直 【答案】C 【分析】本题考查最短路径中的造桥问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及两点之间线段最短．根据是河的宽最短，即直线（或直线），只要最短即可． 解：如图，过点作，且等于河宽，连接交直线与，作即可．    ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∴，，三点共线，，最短． ∴． 故选：C． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在对角线上，连接，，过点作交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和等知识点，设，用x表示出和，再由和三角形的内角和列出方程求出x，进而即可得解，熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 解：设， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 8．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2024·浙江台州·一模）如图，将其中一个内角为的平行四边形纸条沿着两条虚线折叠，外面的轮廓线刚好围成一个正六边形，则原来平行四边形纸条的长边和短边的比值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查正六边形性质，平行四边形性质等．根据题意设正六边形边长是，继而得到原平行四边形短边为，长边为，即可求得本题答案． 解：设正六边形边长是， 由图可得，原平行四边形短边为，长边为， ∴原来平行四边形纸条的长边和短边的比值为：， 故答案为：4． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 延长到E，使，连接，，根据线段中点的定义得到，推出四边形是平行四边形，得到，，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论． 解：延长到E，使，连接，， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由阿波罗尼奥斯定理得：， ， ， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．    【答案】/90厘米 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质证明． 解：∵在和中， ∴， ∴， ∵为水平线， ∴， ∵，， ∴， ∴为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长． 解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M， 由作图方法可知，BH平分∠ABC， ∴∠ABH=∠CBH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°， ∴∠CBH=∠CHB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键． 13．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的折叠问题，延长交延长线于G，根据折叠得到得到，结合平行四边形的性质得到，，证明，即可得到答案 解：延长交延长线于G， ∵折叠得到， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（2021·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）13 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识， （1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论． （2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形． ∴，，． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线． ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）过点A作，垂足为H，如图： 由（1）知，且，， ∴， ． ∵， ∴， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 16．（本小题满分8分）（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 17．（本小题满分10分）（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，点是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理， （1）如图所示，连接交于O，根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用勾股定理求出，进而求出，则． 解：（1）证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（本小题满分10分）（21-22八年级上·甘肃张掖·期中）如图在四边形中，，；，，垂足分别为，．    （1）求证：； （2）若与交于点，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（1）利用“”即可求证； （2）证明四边形是平行四边形即可求证． 解：（1）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）证明：如图    由（1），得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．熟记相关定理内容是进行几何推导的前提． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，点E在直线上，，，点F是的中点，平分，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，画出图形，根据勾股定理解三角形全等的性质求解． 解：（1）当E再线段上时：如图1， 延长AF交的延长线于M，过E作于G 设，则 在中，，， ， 平分 ∴4+x+4＝3x， 解得： 在中，， ， ． 当E在的延长线上时，如图2，延长交的延长线于M，过E作于G， 设，则 在中，，， ， 平分 解得： 在中，， ， 故答案为或． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，本题的解题关键在于熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质．运用了数形结合的思维． 2．（20-21八年级下·重庆渝中·阶段练习）已知平行四边形中，点和点分别是边和上的点，，，将沿翻折，点落在点处，交于点，则 ． 【答案】 【分析】先利用内角和求，再通过折叠的性质求，可求得，再通过平行四边形性质得到，利用平行线的性质即可得到，得到答案． 解：∵， ∴ ∵沿翻折 ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴． 故答案为：92°． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠性质以及内角和定理，能利用内角和定理求角度，并且发现平行四边形中对边平行是解答此题的关键． 3．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知点是直线上一点，点是轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点，若的最小值为10，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】直线与坐标轴夹角为，在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，此时点与点关于直线成轴对称，，的值最小．根据已知求得点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，，，在中，应用勾股定理，列出一元二次方程，求解即可，本题考查了一次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，解题的关键是：根据一次函数图象上点的坐标表示出线段长． 解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点， 直线是两坐标轴夹角的角平分线， 点与点关于直线成轴对称， ， ， 将点代入， ， 点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， 则，， 四边形是平行四边形， ， 轴，， 在中，，即：， 解得：（舍去），， ， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·浙江温州·期中）数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用直角性质求得，，由折叠的性质以及，推出是线段的垂直平分线，则，求得，证明四边形是平行四边形，得到，在求得即可． 解：连接， ∵平行四边形纸片，且，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质知，，，是线段的垂直平分线，则， ∵， ∴，即， ∴，由平行四边形的性质得，∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）某风力发电设备如图1所示，其示意图如图2，已知三个叶片均匀地分布在支点O上，垂直地面．当光线与地面的夹角为，叶片与光线平行时，测得叶片影子的长为12米，则叶片的长为 米；当转动过程中叶片OB垂直光线（这片刻时间忽略不计，光线与地面的夹角还是60°），则叶片影子的长度是 米． 【答案】 6 【分析】延长交延长交于点E，通过证明四边形为平行四边形，为等边三角形，即可求解；根据题意画出叶片OB垂直光线的图形，延长交于点D，过点P作于点F，通过证明四边形为平行四边形，得出，最后根据勾股定理列出方程求解即可． 解：延长交延长交于点E， ∵， ∴， ∵与光线平行， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，则， ∴，解得， 如图：当垂直光线时，延长交于点D，过点P作于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，即， 解得． 故答案为：①6，②． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关定理内容，正确作出辅助线求解． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接． （1）当点在线段的延长线上，且时， ①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2），证明见分析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据题意补全图形即可；②由等边对等角得出，由平行四边形的性质得出，推出，证明，即可得证； （2）延长至点，使得，连接，由全等三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质得出，从而推出，即可得证． 解：（1）解：① 依题意补全图形                       ②证明：∵， ∴． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． （2）解：线段，和的数量关系为． 证明：延长至点，使得，连接． 由（1）②可得 ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ． 25．（本小题满分10分）（2024·江西吉安·一模）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O，求证：，． 知识应用 （2）在中，点P为的中点．延长到D，使得，延长AC到E，使得，连接．如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等： （1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明，； （2）过点B作交于H，连接，则，先证明是等边三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则． 解：证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2），证明如下： 如图所示，过点B作交于H，连接， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∵点P为的中点， ∴A、P、H三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 26．（本小题满分10分）（20-21八年级下·上海·期末）已知中，，，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）． （1）求直线BD的表达式． （2）在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形． （3）直线BD上是否存在点F，使为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或或 【分析】（1）分别求出B、D点的坐标，利用待定系数法求解析式即可求出直线BD的表达式； （2）设点E的坐标为，利用求出t值，即可得出E点坐标； （3）设点F的坐标为，分三种情况进行讨论，得出结果即可． 解：（1）∵，由题可得， ∴，，又∵点D是AC的中点， ∴，∴设直线BD的表达式为：代入B，D可得： ，解得：，， ∴直线BD的表达式为：． （2）设点E的坐标为， ∵四边形ABCE是平行四边形，∴， ∴，，∴点E的坐标为． （3）∵点F在BD上，∴设点F的坐标为， ∴． ，∵是以AC为腰的等腰三角形， ∴当时，则，∴， ∴，解得：或． ∴点F的坐标为：或， 当时，则，∴， ，解得：或， ∴点F的坐标为或． ∴综上，点F的坐标为或或或． 【点拨】本题主要考查的是一次函数及其图像与平行四边形、等腰三角形的综合，分情况讨论是本题的关键． 27．（本小题满分12分）（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（）根据等边三角形得和，以及和，则，可证，有，，再证，即可得出结论； （）由等边三角形得和，则，可得，进一步得，即可得出结论； （）过作于，则，由（）可知，，求得，结合等边三角形求得和，利用勾股定理得，然后用面积公式即可求解． 解：证明：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图，过作于， 则， 由（）可知，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 29．（本小题满分5分）（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 30．（本小题满分10分）（2014·四川凉山·中考真题）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，可得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF． （2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF//AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． 解：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC． 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF． ∴AF=BC． ∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA， ∴△AFE≌△BCA（HL）． ∴AC=EF． （2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD． ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°． ∴EF//AD． ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD． ∴四边形ADFE是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$