4.2.5正态分布学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

4．2.5　正态分布 [课标解读]　1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.3.了解正态分布的作用，进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用． 【教材要点】 知识点一　二项分布与正态曲线 当n充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．一般地φ(x)＝对应的图像称为正态曲线，具有类似的特点． 知识点二　正态曲线及正态曲线的性质 1．正态变量的概率密度函数的图像叫做正态曲线 正态变量概率密度曲线的函数表达式为φ(x)＝______________________. 其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的________和________． 2．正态曲线的性质 (1)曲线在________的上方，并且关于直线________对称； (2)曲线在________时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“________，________”的形状； (3)曲线的形状由参数σ确定，________，曲线越“矮胖”；________，曲线越“高瘦”． 知识点三　正态分布 一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布．记作：X～N(μ，σ2). 知识点四　正态总体在三个特殊区间的概率 1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 若X～N(μ，σ2)(σ>0)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________． 上述结果可用图表示如下： 2．3σ原则 由P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997知，正态变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值的概率为0.3%.于是若X～N(μ，σ2)，则正态变量X的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，即在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，这就是正态分布的3σ原则． 知识点五　标准正态分布 (1)标准正态分布的定义：____________的正态分布称为标准正态分布． (2)Φ(a)的概念：如果____________，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X<a)，即Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积． (3)Φ(a)的性质：Φ(－a)＋Φ(a)＝________． 【基础自测】 1．下列判断正确的是________． (1)正态分布变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差． (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量． (3)正态曲线是一条钟形曲线． (4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述． 2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号) ①曲线b仍然是正态曲线； ②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等； ③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2； ④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2. 3．关于正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，下列说法正确的是________．(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件； ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件； ③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件； ④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件． 4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． 题型1　正态分布的概念及正态曲线的性质 例1　如图所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式． 方法归纳 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下： (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图像求μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图像可求σ. 跟踪训练1　(1)设两个正态分布N(μ1，)(σ1>0)和N(μ2，)(σ2>0)的密度函数图像如图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 (2)如图所示是正态分布N(μ，)，N(μ，)，N(μ，)(σ1，σ2