高二数学月考卷02（人教A版2019，范围：导数+计数原理）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A B B B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（0，+∞） 13．9 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本题13分) 【解析】（1）因为f（x）＝x3+3x2﹣ax，所以f'（x）＝3x2+6x﹣a． 因为f（x）在x＝1处取得极值，所以f'（1）＝0，即3+6﹣a＝0，解得a＝9 经检验，符合题意．……（5分） （2）由（1）得f（x）＝x3+3x2﹣9x．所以f'（x）＝3x2+6x﹣9=3(x+3)(x−1)． 令f'（x）＞0，得﹣4≤x＜﹣3或1＜x≤4；令f'（x）＜0，得﹣3＜x＜1．……（2分） 所以f（x）的单调递增区间为[﹣4，﹣3），（1，4]，单调递减区间为（﹣3，1）． 所以f（x）的极大值为f（﹣3）＝27，极小值为f（1）＝﹣5……（3分） 又f（﹣4）＝20，f（4）＝76，所以f（1）＜f（﹣4）＜f（﹣3）＜f（4） 所以f（x）的最大值为76，最小值为﹣5……（3分） 16．（本题15分） 【解析】（1）依题意有2n＝256，解得n＝8．……（3分） （2）当 n＝6时二项式为，由二项式定理通项公式得，……（2分） 令，得r＝2，所以，……（1分） 令，得r＝4，所以，……（1分） 又B＝4A，解得a＝0（舍去）或a＝2或a＝﹣2， 所以a＝2或a＝﹣2．……（1分） （3）当 n＝6，a＝﹣2时二项式为， 由二项式定理通项公式得，……（3分） 设第r项系数最大，则，即，故r＝4，……（3分） 所以二项式的展开式中系数最大的项为．……（1分） 17．（本题15分） 【解析】（1）f′（x）＝ex﹣a，……（1分） 若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 若a＞0，f′（x）＝0，得x＝lna， 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 综上可知，a≤0时，f（x）的增区间是（﹣∞，+∞）， 当a＞0时，f（x）的减区间是（﹣∞，lna），增区间是（lna，+∞）；……（2分） （2）方程f（x）+2＝ex﹣ax＝0，显然当x＝0时，方程不成立，则，x≠0，……（1分） 若方程有两个不等实根，即y＝a与有2个交点，……（1分） 则， 当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣∞，0）和（0，1）单调递减， 并且x∈（﹣∞，0）时，g（x）＜0，当x∈（0，1）时，g（x）＞0； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， x＞0时，当x＝1时，g（x）取得最小值，g（1）＝e，……（2分） 画出函数g（x）的大致图象，如图所示： 由y＝a与有2个交点，得a＞e，所以a的取值范围是{a|a＞e}；……（1分） （3）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣2，f′（x）＝ex﹣1， 所以，……（2分） 当x＞0时，ex﹣1＞0，， 令，x＞0， 则， 由（1）可知，m（x）＝ex﹣x﹣2在（0，+∞）单调递增，且m（1）＜0，m（2）＞0，……（2分） 所以m（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，即h′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点， 设此零点为x0，则x0∈（1，2），且，……（1分） 当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）的最小值为，……（1分） 所以k＜h（x0），所以整数k的最大值为2．……（1分） 18．（本题17分） 【解析】（1）分以下两种情况讨论： ①若队伍左、右两端是两名男生，则不同的排法种数为种； ②若队伍左、右两端是两名女生，则不同的排法种数为种． 综上所述，总共有288×2＝576种不同的排法．……（4分） （2）先考虑歌曲类节目不相邻，只需将3个歌曲类节目插入其余3个节目所形成的空中， 此时共有种不同的排法， 其次考虑语言类节目相邻且3个歌曲类节目不相邻，只需将2个语言类节目捆绑， 则只需将2个语言类节目与舞蹈类节目插入3个歌曲类节目形成的中间的两个空位， 此时共有．因此，不同的排法种数为144﹣24＝120种．……（5分） （3）根据题意，分两步进行： ①首先将四辆车排列有种排法， 再把两个连续的空位捆绑与另一个空车位往4辆车所形成的空位中插入，有种排法， 由乘法原理可知有种不同的排法；……（4分） ②考虑红、白两辆车相邻且恰有两个连续的空车位， 将红、白两辆车捆绑，以及两个连续的空位捆绑， 先将红、白两辆车捆绑形成的“大元素”与其它两辆车进行排序， 然后将两个连续的空位捆绑与另一个空车位插入“大元素”与其它两辆车所形成的空位中， 此时，不同的排法种数为．……（4分） 因此，符合条件的排法种数为480﹣144＝336种． 19．（本题17分） 【解析】（1）f′（x）＝lnx，x＞0， 当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）min＝f（1）＝0．……（3分） （2）令g（x）＝y＝f′（x）+ex＝lnx+ex，则， 设切点为（t，g（t）），则g（t）＝lnt+et，， 则切线方程为，即， 又y＝ax+b是曲线得切线方程，则， 则，令， 则，令h′（t）＝0⇒t＝1， 所以t＞1时，h′（t）＞0，h（t）为单调递增函数； 0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）为单调递减函数； 所以h（t）min＝h（1）＝e，即a+b的最小值为e．……（5分） （3）证明：由（1）可知，xlnx＞x﹣1，即，当n＝1时取等号，……（2分） 令x＝n，（n∈N*，n≥2），则，所以，……（2分） 又，所以，……（2分） 所以，， 累加后可得，……（3分） 即． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章（一元函数的导数及其应用），选择性必修第三册第六章（计数原理）。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么对于函数y＝f（x），下列说法正确的是（　　） A．在（﹣∞，﹣1）上单调递增 B．在（1，+∞）上单调递减 C．在x＝1处取得最大值 D．在x＝2处取得极大值 3．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x的系数为（　　） A．﹣405 B．405 C．﹣81 D．81 4．二项式的展开式中，第2项的系数为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 5．若正实数a，b满足，则（　　） A．a＞2b B．a＜2b C．a+b＜2 D．a+b＞2 6．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，0] B．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） 7．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（　　） A．51个 B．54个 C．12个 D．45个 8．已知函数，若∀m，n∈（0，+∞），且m≠n时，都有，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣16） B．（﹣∞，﹣16] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（　　） A．a3＝160 B．a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0 C．此二项式展开式的二项式系数和为64 D．此二项式系数最大项为第4项 10．近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（　　） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法 C．若甲不去A区，乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法 11．已知函数f（x）＝（x+1）ex的导函数为f′（x），则（　　） A．函数f（x）的极小值点为 B．f'（﹣2）＝0 C．函数f（x）单调递减区间为（﹣∞，﹣2）D．若函数g（x）＝f（x）﹣a有两个不同的零点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数f（x）＝ex﹣x的单调递增区间为 ． 13．为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有 种．（用数字作答） 14．已知a＞1，若对于任意的，不等式立，则a的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本题13分)已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值和最小值． 16．（本题15分）已知． （1）若展开式的二项式系数和为256，求n的值； （2）当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则求a的值； （3）当n＝6，a＝﹣2时，求二项式的展开式中系数最大的项． 17．（本题15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣2，a∈R，e是自然对数的底数． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若关于x的方程f（x）+2＝0有两个不等实根，求a的取值范围； （3）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，恒成立，求k的最大值． 18．（本题17分）要求解决下列问题，最后用数字作答． （1）3名男学生、3名女学生和2位老师站成一排拍照合影，要求2位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？ （2）2019年12月20日是澳门回归祖国20周年，某高校为庆祝澳门回归20周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晚会，已知该晚会共有1个舞蹈类节目，2个语言类节目，3个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？ （3）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库．当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？ 19．（本题17分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+1． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若直线y＝ax+b是曲线y＝f′（x）+ex的切线，求a+b的最小值； （3）证明：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章（一元函数的导数及其应用），选择性必修第三册第六章（计数原理）。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为；解得：n＝5故选：D． 2．已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么对于函数y＝f（x），下列说法正确的是（　　） A．在（﹣∞，﹣1）上单调递增 B．在（1，+∞）上单调递减 C．在x＝1处取得最大值 D．在x＝2处取得极大值 【答案】D 【解析】由导函数图象可知，当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜2，f′（x）≥0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，在（﹣1，2）上单调递增，故选项A，B错误； 在x＝2处取得极大值，且f（1）＜f（2），故C错误，D正确．故选：D． 3．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x的系数为（　　） A．﹣405 B．405 C．﹣81 D．81 【答案】A 【解析】令x＝1，则（3×1﹣1）n＝32，即n＝5， 则的展开式的通项公式为：， 令，即r＝1，则该展开式中x的系数为：，故选：A． 4．二项式的展开式中，第2项的系数为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【答案】B 【解析】∵二项式的展开式中，第2项为T2•（﹣1）•x2＝﹣4x2， ∴第2项的系数为﹣4．故选：B． 5．若正实数a，b满足，则（　　） A．a＞2b B．a＜2b C．a+b＜2 D．a+b＞2 【答案】B 【解析】：因为正实数a，b满足，可得ea﹣e2b＝lnb﹣lna＝ln2b﹣lna﹣ln2， 因为0＜ln2＜lne＝1，所以ea﹣e2b＜ln2b﹣lna，即ea+lna＜e2b+ln2b， 设f（x）＝ex+lnx，则f（a）＜f（2b）， 易知f（x）＝ex+lnx在（0，+∞）上是增函数，所以a＜2b．故选：B． 6．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，0] B．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） 【答案】B 【解析】设切点坐标为（x0，y0），由，得y′， ∴过切点的切线方程为y， 又切线过坐标原点，∴， 又曲线存在过坐标原点的切线，∴该方程有实根，即有实数根， ∴Δ＝a2+4a≥0，解得a∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）故选：B． 7．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（　　） A．51个 B．54个 C．12个 D．45个 【答案】A 【解析】①当这个三位数中，数字2和3都有时，需从剩余3个数中再选一个数，方法有3种， 再把这3个数进行排列，方法有种，故含有数字2和3的三位数共有318个． 其中满足2排在3的前面的三位数占总数的一半，故满足条件的三位数共有 189个． ②当这个三位数中，2和3只有一个时，这样的三位数的个数为 ••36． ③当这个三位数中，2和3都没有时，这样的三位数的个数为 6． 综上可得，满足条件的三位数的个数为 9+36+6＝51，故选：A． 8．已知函数，若∀m，n∈（0，+∞），且m≠n时，都有，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣16） B．（﹣∞，﹣16] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2] 【答案】D 【解析】令， 因为∀m，n∈（0，+∞），且m≠n时，都有， 即∀m，n∈（0，+∞），且m≠n时，都有， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，即g′（x）＝1在（0，+∞）上恒成立， 即2a⩽x3﹣3x2在（0，+∞）上恒成立．令h（x）＝x3﹣3x2， x∈（0，+∞），所以h′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）， 令h′（x）＞0，解得x＞2，令h′（x）＜0，解得0＜x＜2， 所以h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 所以h（x）min＝h（2）＝﹣4，所以2a⩽﹣4，即a⩽﹣2．故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（　　） A．a3＝160 B．a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0 C．此二项式展开式的二项式系数和为64 D．此二项式系数最大项为第4项 【答案】BCD 【解析】通项为， A：当r＝3时，，故A错误； B：令x＝1，， 令x＝0，，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0，故B正确； C：此二项式展开式的二项式系数和为26＝64，故C正确； D：因为二项式系数为，所以当r＝3时，最大，即第4项最大，故D正确；故选：BCD． 10．近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（　　） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法 C．若甲不去A区，乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法 【答案】ABD 【解析】对于A，若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法．故A正确； 对于B，若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法．故B正确； 对于C，若甲不去A 区，乙不去B 区，且每区均有人去，则共有14种不同的安排方法．故C不正确； 对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有84种不同的安排方法．故D正确．故选：ABD． 11．已知函数f（x）＝（x+1）ex的导函数为f′（x），则（　　） A．函数f（x）的极小值点为 B．f'（﹣2）＝0 C．函数f（x）单调递减区间为（﹣∞，﹣2）D．若函数g（x）＝f（x）﹣a有两个不同的零点，则 【答案】BCD 【解析】由f（x）＝（x+1）ex，得f'（x）＝（x+2）ex，当x＝﹣2时，f'（﹣2）＝0，B正确； 当x＜﹣2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞﹣2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增， 因此函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，递减区间为（﹣∞，﹣2），A错误，C正确； 函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，且恒有f（x）＜0，在（﹣2，+∞）上单调递增，f（﹣1）＝0，， 函数g（x）＝f（x）﹣a有两个不同的零点，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝a有两个公共点， 在同一坐标系内作出直线y＝a与函数y＝f（x）的部分图象，如图， 观察图象知，当时，直线y＝a与函数y＝f（x）的图象有两个公共点， 所以函数g（x）＝f（x）﹣a有两个不同的零点时，，D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数f（x）＝ex﹣x的单调递增区间为 ． 【答案】（0，+∞） 【解析】函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1， 由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）． 13．为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有 种．（用数字作答） 【答案】9 【解析】将这6名选手平均分为三组，有种分组方案， 其中来自A学校的3名选手都不在同一组，有种分组方案， 所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有15﹣6＝9种．故答案为：9． 14．已知a＞1，若对于任意的，不等式立，则a的最小值为 ． 【答案】 【解析】原不等式等价于e﹣ln4x﹣x+ln4x≤e﹣（lna+x）+lna⇔e﹣ln4x+ln4x≤e﹣（lna+x）+lna+x， 由题意可知a＞1，且时，有﹣ln4x＜0，﹣x﹣lna＜0， 令f（x）＝ex﹣x（x＜0）⇒f′（x）＝ex﹣1＜0，即f（x）此时单调递减， 则有﹣ln4x≥﹣x﹣lna⇒ln4x﹣x≤lna， 令，易知g（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以，所以a的最小值为．故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本题13分)已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值和最小值． 【解析】（1）因为f（x）＝x3+3x2﹣ax，所以f'（x）＝3x2+6x﹣a． 因为f（x）在x＝1处取得极值，所以f'（1）＝0，即3+6﹣a＝0，解得a＝9 经检验，符合题意．……（5分） （2）由（1）得f（x）＝x3+3x2﹣9x．所以f'（x）＝3x2+6x﹣9=3(x+3)(x−1)． 令f'（x）＞0，得﹣4≤x＜﹣3或1＜x≤4；令f'（x）＜0，得﹣3＜x＜1．……（2分） 所以f（x）的单调递增区间为[﹣4，﹣3），（1，4]，单调递减区间为（﹣3，1）． 所以f（x）的极大值为f（﹣3）＝27，极小值为f（1）＝﹣5……（3分） 又f（﹣4）＝20，f（4）＝76，所以f（1）＜f（﹣4）＜f（﹣3）＜f（4） 所以f（x）的最大值为76，最小值为﹣5……（3分） 16．（本题15分）已知． （1）若展开式的二项式系数和为256，求n的值； （2）当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则求a的值； （3）当n＝6，a＝﹣2时，求二项式的展开式中系数最大的项． 【解析】（1）依题意有2n＝256，解得n＝8．……（3分） （2）当 n＝6时二项式为，由二项式定理通项公式得，……（2分） 令，得r＝2，所以，……（1分） 令，得r＝4，所以，……（1分） 又B＝4A，解得a＝0（舍去）或a＝2或a＝﹣2， 所以a＝2或a＝﹣2．……（1分） （3）当 n＝6，a＝﹣2时二项式为， 由二项式定理通项公式得，……（3分） 设第r项系数最大，则，即，故r＝4，……（3分） 所以二项式的展开式中系数最大的项为．……（1分） 17．（本题15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣2，a∈R，e是自然对数的底数． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若关于x的方程f（x）+2＝0有两个不等实根，求a的取值范围； （3）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，恒成立，求k的最大值． 【解析】（1）f′（x）＝ex﹣a，……（1分） 若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 若a＞0，f′（x）＝0，得x＝lna， 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 综上可知，a≤0时，f（x）的增区间是（﹣∞，+∞）， 当a＞0时，f（x）的减区间是（﹣∞，lna），增区间是（lna，+∞）；……（2分） （2）方程f（x）+2＝ex﹣ax＝0，显然当x＝0时，方程不成立，则，x≠0，……（1分） 若方程有两个不等实根，即y＝a与有2个交点，……（1分） 则， 当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣∞，0）和（0，1）单调递减， 并且x∈（﹣∞，0）时，g（x）＜0，当x∈（0，1）时，g（x）＞0； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， x＞0时，当x＝1时，g（x）取得最小值，g（1）＝e，……（2分） 画出函数g（x）的大致图象，如图所示： 由y＝a与有2个交点，得a＞e，所以a的取值范围是{a|a＞e}；……（1分） （3）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣2，f′（x）＝ex﹣1， 所以，……（2分） 当x＞0时，ex﹣1＞0，， 令，x＞0， 则， 由（1）可知，m（x）＝ex﹣x﹣2在（0，+∞）单调递增，且m（1）＜0，m（2）＞0，……（2分） 所以m（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，即h′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点， 设此零点为x0，则x0∈（1，2），且，……（1分） 当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）的最小值为，……（1分） 所以k＜h（x0），所以整数k的最大值为2．……（1分） 18．（本题17分）要求解决下列问题，最后用数字作答． （1）3名男学生、3名女学生和2位老师站成一排拍照合影，要求2位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？ （2）2019年12月20日是澳门回归祖国20周年，某高校为庆祝澳门回归20周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晚会，已知该晚会共有1个舞蹈类节目，2个语言类节目，3个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？ （3）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库．当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？ 【解析】（1）分以下两种情况讨论： ①若队伍左、右两端是两名男生，则不同的排法种数为种； ②若队伍左、右两端是两名女生，则不同的排法种数为种． 综上所述，总共有288×2＝576种不同的排法．……（4分） （2）先考虑歌曲类节目不相邻，只需将3个歌曲类节目插入其余3个节目所形成的空中， 此时共有种不同的排法， 其次考虑语言类节目相邻且3个歌曲类节目不相邻，只需将2个语言类节目捆绑， 则只需将2个语言类节目与舞蹈类节目插入3个歌曲类节目形成的中间的两个空位， 此时共有．因此，不同的排法种数为144﹣24＝120种．……（5分） （3）根据题意，分两步进行： ①首先将四辆车排列有种排法， 再把两个连续的空位捆绑与另一个空车位往4辆车所形成的空位中插入，有种排法， 由乘法原理可知有种不同的排法；……（4分） ②考虑红、白两辆车相邻且恰有两个连续的空车位， 将红、白两辆车捆绑，以及两个连续的空位捆绑， 先将红、白两辆车捆绑形成的“大元素”与其它两辆车进行排序， 然后将两个连续的空位捆绑与另一个空车位插入“大元素”与其它两辆车所形成的空位中， 此时，不同的排法种数为．……（4分） 因此，符合条件的排法种数为480﹣144＝336种． 19．（本题17分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+1． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若直线y＝ax+b是曲线y＝f′（x）+ex的切线，求a+b的最小值； （3）证明：． 【解析】（1）f′（x）＝lnx，x＞0， 当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）min＝f（1）＝0．……（3分） （2）令g（x）＝y＝f′（x）+ex＝lnx+ex，则， 设切点为（t，g（t）），则g（t）＝lnt+et，， 则切线方程为，即， 又y＝ax+b是曲线得切线方程，则， 则，令， 则，令h′（t）＝0⇒t＝1， 所以t＞1时，h′（t）＞0，h（t）为单调递增函数； 0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）为单调递减函数； 所以h（t）min＝h（1）＝e，即a+b的最小值为e．……（5分） （3）证明：由（1）可知，xlnx＞x﹣1，即，当n＝1时取等号，……（2分） 令x＝n，（n∈N*，n≥2），则，所以，……（2分） 又，所以，……（2分） 所以，， 累加后可得，……（3分） 即． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章（一元函数的导数及其应用），选择性必修第三册第六章（计数原理）。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么对于函数y＝f（x），下列说法正确的是（　　） A．在（﹣∞，﹣1）上单调递增 B．在（1，+∞）上单调递减 C．在x＝1处取得最大值 D．在x＝2处取得极大值 3．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x的系数为（　　） A．﹣405 B．405 C．﹣81 D．81 4．二项式的展开式中，第2项的系数为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 5．若正实数a，b满足，则（　　） A．a＞2b B．a＜2b C．a+b＜2 D．a+b＞2 6．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，0] B．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） 7．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（　　） A．51个 B．54个 C．12个 D．45个 8．已知函数，若∀m，n∈（0，+∞），且m≠n时，都有，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣16） B．（﹣∞，﹣16] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（　　） A．a3＝160 B．a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0 C．此二项式展开式的二项式系数和为64 D．此二项式系数最大项为第4项 10．近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（　　） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法 C．若甲不去A区，乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法 11．已知函数f（x）＝（x+1）ex的导函数为f′（x），则（　　） A．函数f（x）的极小值点为 B．f'（﹣2）＝0 C．函数f（x）单调递减区间为（﹣∞，﹣2） D．若函数g（x）＝f（x）﹣a有两个不同的零点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数f（x）＝ex﹣x的单调递增区间为 ． 13．为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有 种．（用数字作答） 14．已知a＞1，若对于任意的，不等式立，则a的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本题13分)已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值和最小值． 16．（本题15分）已知． （1）若展开式的二项式系数和为256，求n的值； （2）当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则求a的值； （3）当n＝6，a＝﹣2时，求二项式的展开式中系数最大的项． 17．（本题15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣2，a∈R，e是自然对数的底数． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若关于x的方程f（x）+2＝0有两个不等实根，求a的取值范围； （3）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，恒成立，求k的最大值． 18．（本题17分）要求解决下列问题，最后用数字作答． （1）3名男学生、3名女学生和2位老师站成一排拍照合影，要求2位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？ （2）2019年12月20日是澳门回归祖国20周年，某高校为庆祝澳门回归20周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晚会，已知该晚会共有1个舞蹈类节目，2个语言类节目，3个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？ （3）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库．当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？ 19．（本题17分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+1． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若直线y＝ax+b是曲线y＝f′（x）+ex的切线，求a+b的最小值； （3）证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$