1.7 平面向量的应用举例 （教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版 必修第二册 1.7 平面向量的应用举例 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 向量在几何问题中的应用（如距离、角度、共线等）。 向量在物理问题中的应用（如力的合成、速度分解等）。 难点 3 如何将复杂的几何或物理问题转化为向量问题。 在实际问题中正确选择向量方法进行求解。 解平面向量在几何和物理问题中的应用 新课导入 问题1：向量是什么？它在数学和物理学中有什么作用？ 问题2：回顾向量的基本运算（加法、减法、数乘、点积）及其几何意义。 今天我们将通过一些实际案例，学习如何运用向量方法解决几何和物理问题。 向量是沟通几何与代数的桥梁，是实现几何问题与代数问题相互转化的强有力工具。 向量不仅可以在解决数学问题中发挥重要作用，其在物理学及其他科学领域中也有着广泛的应用。 一、向量在几何问题中的应用 新课讲授 新课讲授 问题3：如何利用向量方法求解几何问题中的最小值？ 一、向量在几何问题中的应用 新课讲授 新课讲授 二、向量在物理问题中的应用 新课讲授 新课讲授 问题4：如何利用向量方法解决物理中的速度合成问题？ 二、向量在物理问题中的应用 新课讲授 新课讲授 解题思路：将速度分解为水平和竖直方向的分量，利用向量的合成。 三、向量在力学中的应用 新课讲授 新课讲授 问题5：如何利用向量方法解决力学中的力的分解问题？ 三、向量在力学中的应用 新课讲授 新课讲授 三、向量在力学中的应用 新课讲授 新课讲授 总结：通过向量的坐标表示和力的平衡条件，可以解决力学中的力的分解问题。 三、向量在力学中的应用 新课讲授 典例分析 三、向量在力学中的应用 新课讲授 典例分析 三、向量在力学中的应用 新课讲授 典例分析 学后总结 知识点　向量在物理中的应用 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． (3)利用向量方法解决物理问题的基本步骤 ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 学以致用 15 学以致用 16 学以致用 【感悟提升】　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤 ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． 17 学以致用 18 学以致用 19 学以致用 4．已知船速的大小为5 m/s，且船速的大小大于水速的大小，河宽为20 m．如图所示，船从O点垂直到达B点所用的时间为5 s，求水流速度的大小． 20 学以致用 21 学以致用 22 课堂小结 课堂小结 用向量解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等等； 把运算结果“翻译”成几何关系. 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 例1:如图1.7 - 1， 是等边三角形，边长为2， 是平面上任意一点。 求 的最小值。 解题思路：取等边三角形的中心O，利用向量的加法和减法性质。 解：取等边 的中心 。记 ， ， ， ，则 。 又 ， ， 所以 当 时，上式取得最小值 。因为等边 的边长为2， 所以 ，即 。所以 。 因此，当点 满足 时， 取最小值，其最小值为 。 总结：通过向量的加法和减法，可以将几何问题转化为向量问题，从而求解最小值。 例2:如图1.7-2，四边形ABCD是平行四边形， ， 分别是AD，DC的中点，BE，DF分别交AC于 ， 。 求证： ， 三等分AC。 证明：设 ， ， ， 。 因为 ， 由于 与 ， 与 分别共线， 但 与 不共线，所以 ， 。 因此 是AC的一个三等分点。 同理可证 ， 。 因此 也是AC的一个三等分点。 例题3. ， ， ， 是四台喷气发动机， ， 的连线与空间一个固定坐标系的 轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率 向正 方向平动，要使探测器改为向正 偏负 方向以原来的速率 平动，则可（ ） (A) 先开动 适当时间，再开动 适当时间 (B) 先开动 适当时间，再开动 适当时间 (C) 先开动 适当时间，再开动 适当时间 (D) 先开动 适当时间，再开动 适当时间 分析：探测器原以 的速率向正 方向平动，先考察需产生一个什么样的速度，才能使得它与原来的速度合成为向正 偏负 且大小为 的速度，然后再分析要产生这样的速度需开动哪几台发动机。 解：如图1.7 - 4，设探测器原以 方向平动，速率为 ，现要求探测器向 方向平动，其中 ， 。 以PQ为一边，PR为对角线作平行四边形PQRS，则 就是需要加给探测器的速度。 因为 ， ，所以 ，这说明 为菱形，因而 。 由于四台发动机提供的推力均沿 轴或 轴，于是将 沿 轴与 轴分解， 得 。因为 指向负 方向，故可开动发动机 一定时间， 使它产生速度 。又 指向负 方向，故可开动发动机 一定时间，使它产生速度 。 所以(A)是正确的选项。 例4:如图1.7 - 5，一个物体用两根绳子悬挂起来。 已知物体所受的重力 大小为 ， 两根绳子与铅垂线的夹角分别为 与 ， 求这两根绳子所受拉力的大小（精确到 ）。 解题思路：建立坐标系，利用向量的坐标表示和正弦定理。 解法一:如图1.7 - 6，以 ， 的公共作用点 为原点， 以水平方向为 轴，以铅垂线方向为 轴，建立平面直角坐标系。 由题意知 ， 的合力 的大小为 ，方向与重力方向相反， 即为 轴正方向，因此 的坐标为 。 设 ， ，则 ， 。又 ，所以 解方程组得 ， 。 解法二:如图1.7 - 7，在 中， ， ， 所以 。而 。 由正弦定理知 。 用计算器算得 ， 。 因此，这两根绳子所受拉力的大小分别约为 和 。 例5:已知地球半径 ，地面附近重力加速度 。 要发射人造卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，卫星速度应达到多少？ 解：设卫星质量为 ，绕地球做圆周运动的速度大小为 。 由于使卫星做圆周运动的向心力ma是由地球引力mg提供的，因此 ，即 。 如图1.7 - 8，由于卫星在地表附近绕地球旋转，因而其运动轨道半径可近似看作是地球的半径 ， 于是卫星旋转一圈的路程是 ，卫星 运转一周的时间 。 设地球球心为 ，卫星运动的方向为以 为圆心， 为半径的圆的切线方向，大小为 。从地心 作 。则 ， 且 的方向与 相同，均垂直于OP，即 。 虽然卫星速度 的大小不变，但其方向不断改变，这导致表示速度 的有向线段 的终点 始终在以 为圆心， 为半径的圆上旋转，且 的旋转速度就是卫星速度 ，而 点的加速度 等于卫星的加速度 。 在卫星旋转过程中，OP，OC的长度都不变，夹角 也不变，因而 始终保持全等。 因此卫星 旋转一圈， 也跟着旋转了一圈，点 也旋转了一圈，时间仍为 。 点 在轨道上旋转一圈的路程等于圆周长 ，因而其速度大小为 。 因为 ，且 ，所以 ，即 。 计算可得： 所以，卫星速度应达到 ，即 。 1.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB， 求证：AC⊥BC. 证明　证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB， 故可设eq \o(AD,\s\up17(→))＝e1，eq \o(DC,\s\up17(→))＝e2，|e1|＝|e2|，则eq \o(AB,\s\up17(→))＝2e2. ∴eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＝e1＋e2，eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2. 而eq \o(AC,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq \o\al(2,1)－eeq \o\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0， ∴eq \o(AC,\s\up17(→))⊥eq \o(BC,\s\up17(→))，即AC⊥BC. 证法二：如图，建立平面直角坐标系， 设CD＝1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)． ∴eq \o(BC,\s\up17(→))＝(－1，1)，eq \o(AC,\s\up17(→))＝(1，1)． ∴eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝(－1，1)·(1，1)＝－1＋1＝0. ∴AC⊥BC. 2．在△ABC中，D是边BC的中点，∠BAC＝120°，AB＝3，AD＝eq \f(\r(19),2)，则AC＝(　　) A．5 B．6 C.eq \r(31) D.eq \r(33) 解析：如图所示，由题意，得eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))，所以eq \o(AD,\s\up17(→))2＝eq \f(1,4)(eq \o(AB,\s\up17(→))2＋eq \o(AC,\s\up17(→))2＋2eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→)))＝eq \f(19,4)，即eq \f(9,4)＋eq \f(1,4)|eq \o(AC,\s\up17(→))|2－eq \f(3,4)|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝eq \f(19,4)，解得|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝5，即AC＝5.故选A. 3．(2024·江苏常州高级中学高一下期末)在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足eq \o(BM,\s\up17(→))＋3eq \o(CM,\s\up17(→))＝0，若eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(AM,\s\up17(→))＝1，则BC的值为(　　) A．1 B．eq \r(3) C．2 D．3 解析：取BC的中点O，连接AO，∵eq \o(BM,\s\up17(→))＋3eq \o(CM,\s\up17(→))＝0，即eq \o(BM,\s\up17(→))＝3eq \o(MC,\s\up17(→))，∴M为BC边上靠近C的四等分点，eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(AM,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))·(eq \o(AO,\s\up17(→))＋eq \o(OM,\s\up17(→)))＝eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(AO,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(OM,\s\up17(→))，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(AO,\s\up17(→))＝0，又eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up17(→))，∴eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(AM,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \f(1,4)|eq \o(BC,\s\up17(→))|2＝1，∴|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝2.故选C. 解：如图，设船速为v1，水速为v2，船的实际速度为v3. 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝eq \f(20,5) m/s＝4 m/s. 由v3＝v1＋v2，v2⊥v3， 得|v2|＝eq \r(|v1|2－|v3|2)＝eq \r(52－42)＝3 m/s. 所以水流速度的大小为3 m/s. 5．某人在静水中游泳时，速度的大小为4eq \r(3) km/h.如果水流的速度的大小为4 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　) A．90° B．30° C．45° D．60° 解析：如图，用eq \o(OA,\s\up17(→))表示水速，eq \o(OB,\s\up17(→))表示某人径直游向对岸的速度， 则实际前进的方向与河岸的夹角为∠AOC.于是tan∠AOC＝eq \f(|\o(AC,\s\up17(→))|,|\o(OA,\s\up17(→))|) ＝eq \f(|\o(OB,\s\up17(→))|,|\o(OA,\s\up17(→))|)＝eq \f(|v静|,|v水|)＝eq \r(3)，所以∠AOC＝60°.故选D. 利用向量方法解决物理问题的步骤. (1)问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; (2)模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; (3)参数的获得,即求出数学模型的有关解一一理论参数值; (4)问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. $$